A koordinátázás kérdése

1. A koordinátázás kérdése • Ha a világban meg kell adni egy helyet: • fizikai koordináták (x,y,z) (origó és egység) • postai címzés pl. R. ép. 317 szoba, BME, Budapest • Műegyetemrakpart 3 • Ez utóbbi módszer igen elterjedt, lényege: • cím:=(s1,s2,s3,…), ahol siSi és az Si hamazok • hierarchiát alkotnak. Amennyiben S1 S2 S3 ez a leírás matematikailag korrekt.

2. A hierarchikus koordinátázásnak a fizikában is van szerepe, pl. a kétszer periódikus szerkezetek így könnyen leírhatóak. 1,Szabályos rács, benne egy másik szabályos rács (elemi cella, makro- cella). Ebben a szerkezetben egy rácshely megadható a makrocella indexével és a rácshely indexével a makrocellában. A koordinátázás ebben az esetben pl.: (x1,y1,x2,y2). 2, Sík leírása kierarchikus koordi- nátákkal Első lépés: definíció: házhely H00:={(x,y),0x10; 0y10}. Definíció:falu F00:={Hij, 0i10; 0j10}. Definíció: megye: M:={Fmn, 0m10; 0n10}, stb.

3. Ebben a leírásban egy pont megadásához egy számsor tartozik: • (xM, yM, xF,yF, xH, yH, x, y). Mi értelme van? • Könnyen eldöthető, hogy egy összefüggés milyen szintre vonat- • kozik. • Ebben a koordinátázásban elválaszthatóak az egyes szintek ese- • ményei, követhető a hierarchia. A Hilbert-módszerhez illeszkedő koordinátázás ahol

4. Itt tn és rn más térbeli ill. időbeli skálát jelent ahogyan n változik. Ez a ház-falu-megye elválasztásnak felel meg. A különféle skálák jelenlétét ellenőrizni lehet, ha nem egy struktúra nélküli közeget vizsgálunk, hanem pl. térben periódikus közeget. Ekkor azt kell látnunk, hogy az n>1 skálák függetlenné válnak a periodicitástól. Erre alkalmas példát a szilárd testek elméletében találunk. Egy kristályrácsban a szabad elektronok ní- vóit a Schrödinger-egyenletből lehet meghatározni: Itt a V(r) potenciál periodikus függvény. Maga a kristály nagy, de véges térfogatot foglal el. A kristály peremén előírt peremfeltétel lehet pl. F(r)=0 a kristály határán. A megoldás ismert, az egyenlet partikuláris megoldásai Bloch-függvények:

5. ahol uB(r) periodikus függvény. B értékére megkötést jelent: Mivel a megoldandó egyenlet lineáris, az általános egyenlet a partikuláris megoldások lineárkombinációjaként is felírható: Mivel |B|1/L, ezért alkalmazható az alábbi sorfejtés: Ezt behelyettesítve, a megoldás:

6. ahol Vegyük észre, hogy bevezethető a lassú térbeli változó: r1=Br, és a megoldás a gyors “ui(r)” és a lassú F(r1) függvényekkel fe- jezhető ki. Nyilván az F(r1)-re vonatkozó egyenletben a független változó r1 lesz. Tehát a megfogalmazott sejtés a szilárd testek le- írásánál beigazolódott.

7. A reaktorfizika aszimptotikus elmélete • Vizsgáljuk a neutrongáz leírására szolgáló lineáris Botzmann- • egyenletet. Az egyenletet az alábbi közelítésben tekintjük: • független változók: (r,v,t), de: t=t/e2 (l-hoz egységnyi t kell) • a szórás helyett prompt ütközési operátort használunk, ebben • benne van a hasadási hkrm is • figyelembe vesszük a későneutronokat is. • A következő feltevésekkel élünk: • 1, a tipikus szabad úthossz és a cella átmérőjének aránya kb. 1. • 2, a tipikus szabad úthossz és a vizsgált térrész átmérőjének • aránya e<1.

8. 3, A vizsgált térrészben az anyagi tulajdonságok periodikusak és függetlenek az időtől kivéve egy e2 rendű perturbációt. 4, a belső források és a későneutronok e rendű kis mennyiségek 5, feltesszük, hogy a cellák szimmetrikusak, van egy középpontjuk, amit a szimmetriák helyben hagynak. Mivel le rendű, ezért írtunk Ss/e, St/e-t, a bomlási állandó, forrás kicsi.

9. Ss, St és i argumentumában r/e és e2t áll, mert ezek térben gyorsan változnak egy szabad úthosszon belül, időben viszont lassan változnak. Taylor sor e-ban: A hatáskeresztmetszetekről feltesszük, hogy a cellán belül szimmet- rikus függvényei a helynek (r-nek). A zöld egyenleteket kell tehát megoldani. Ehhez bevezetjük a gyors helyváltozót r’=r/e definíció- val és feltesszük, hogy r és r’ függetlenek. A fenti hkrm-ekkel defi- niáljuk az Ln operátorokat:

10. Ezzel a fluxusra és a későneutron anyamagokra vonatkozó egyenlet (t helyett t-t írunk, felhasználjuk t:

11. A megoldás menete Ezt behelyettesítve kékbe, e hatványainak együtthatói: Itt és a negatív indexű tagok nullák. Az első egyenlet n=0-ra:

12. Ebben az egyenletben r és t paraméter, a hkrm-ek periodikusak r’- ben. Az egyenlet megoldása: Pozitív, egyértelmű (normálástól eltekintve) és r’-ben periodikus megoldást keresünk. A megoldás r’-től függő része kielégíti Ez egy homogén egyenlet, akkor megoldható, ha a hkrm-ek megfe- lelőek (ne feledjük, Ss0 tartalmazza a hasadást is!), ez a kritikusság (megoldhatóság) feltétele. Az n=1 egyenlet inhomogén probléma:

13. Ennek általános megoldása: Az n=2 egyenlet: Ez az egyenlet akkor oldható meg, ha

14. Hátra van még az egyenlet Qi-re: A levezetésben kihasználtuk az alábbi összefüggéseket:

15. Eddig a következő eredményre jutottunk: • Kizárólag a TE alapján a megoldás gyors részére kaptunk egy • egyenletet, ami a végtelen közegre vonatkozó TE. • A megoldás lassan változó részére viszont egy másik egyenletet • kaptunk. Az új egyenlet nagyon hasonlít a DE-re. Miben áll a • különbség? Az M0 mátrix nem diagonális (D viszont igen), nem • függ a neutronok sebességétől (D viszont igen).

16. Lényegében a szilárd testekre korábban kapott eredményt kaptuk • vissza: • A megoldás két függvény szorzata, az egyik kielégíti a DE-t, a másik • pedig a TE-t. • Ehhez jön egy korrekció, amit itt nem részletezünk. A kezdeti érték és a peremérték problémája A levezetett összefüggés az aszimptotikus tagra vonatkozik. Amennyiben feltesszük, hogy a megoldás a vizsgált tartomány határától néhány szabad úthossznyira így közelíthető: yia belső régióban érvényes megoldás, y0 pedig csökken a határtól távolodva (határréteg).

17. A határréteget is sorbafejtjük: És megköveteljük y0-tól, hogy elégítse ki a zöld egyenleteket , de most S=0: A T0 operátor definíciója: -vel, és integráljuk Szorozzuk meg az egyenletet v-re és r’-re:

18. 0-hoz tart t esetén, ehhez Azt kell biztosítanunk, hogy elegendő, hogy Amennyiben yi=A0f, az amplitudóra vonatkozó kezdeti feltétel:

19. Ezt felhasználva: Későbbi időpontokra formális integrálással kapjuk meg a kezdeti réteghez tartozó tagot. A peremérték problémája Feltesszük, hogy a perem közelében Itt a yb tag csökken a peremtől távolodva, kielégíti a zöld egyen- leteket. Ismét S=0 mellett. Ebből egy egyenlet adódik A0(r,t)-re, ahol r a tartomány peremére mutat.

20. Végezetül a követezőekben lehet összefoglalni a Hilbert-sorfejtés • következtetéseit: • Matematikai eszközökkel bizonyítható egyes esetekben a megoldás • létezése. Bonyolult ütközési integrálok esetén ez nem triviális. • A fázistérbeli sűrűségfüggvényből megkaphatunk makroszkopikus • változókat, ezek nagyobb skálán végbemenő folyamatokat írnak le, • de származtathatóak a mikroszkopikus folyamatokból. • Két esetben is azt láttuk, hogy a makroszkopikus folyamatokat • leíró eloszlásfüggvény általános tulajdonságokat mutat. • A statisztikus leírás a következő szintekre épül: • 1, G-tér: N részecske, 2N koordináta. Leírás: mozgásegyenletek, • Függő változó: statisztikus operátor. • 2, m-tér: 7 koordináta (r,v,t), Leírás: Boltzmann-egyenlet, függő • változó: sűrűségfüggvény

21. 3, Makroszkopikus (hidrodinamikai) szint. Változók: r,v,t. Függő Változók: sűrűség, sebesség, hőmérséklet, stb. Az egyenletekben Új anyagi állandók jelennek meg (nyomás, hővezetési együttható, Viszkozitás, stb.). Ezeket a sűrűségfüggvényből lehet származtatni.