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Ch02 陣列

Ch02 陣列. JAVA 程式設計入門 (II). 本章大綱. 一維陣列宣告與配置 二維陣列宣告與配置 陣列的應用. 何謂陣列. 生活上的例子:一汽車旅館有六間房間,某天住宿的情形. 我們可以記錄成 :. 以陣列表示成:. 0號房間有3個房客 1號房間有2個房客 2號房間有2個房客 3號房間有0個房客 4號房間有4個房客 5號房間有1個房客. 何謂陣列. 陣列-「 多個擁有相同名稱且同型別的變數集合 」 陣列是一段連續的區域，裡面由數個相同型別的陣列元素組成 陣列元素有相同的名稱，為了區別每個陣列元素，它們有各自的位置編號

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  1. Ch02 陣列 JAVA程式設計入門(II)

  2. 本章大綱 • 一維陣列宣告與配置 • 二維陣列宣告與配置 • 陣列的應用

  3. 何謂陣列 生活上的例子:一汽車旅館有六間房間,某天住宿的情形 我們可以記錄成: 以陣列表示成: 0號房間有3個房客 1號房間有2個房客 2號房間有2個房客 3號房間有0個房客 4號房間有4個房客 5號房間有1個房客

  4. 何謂陣列 • 陣列-「多個擁有相同名稱且同型別的變數集合」 • 陣列是一段連續的區域，裡面由數個相同型別的陣列元素組成 • 陣列元素有相同的名稱，為了區別每個陣列元素，它們有各自的位置編號 • 陣列元素以陣列名稱，後接一對中括弧“[]”，中括弧內放入位置編號。 • 位置編號一般也稱為索引，索引一律由0開始，接著是1、2、3…至元素個數減一。 • 陣列的索引必須是大於或等於0的整數，或結果為整數的運算式。

  5. 陣列的宣告與配置(I) • 陣列的宣告方式： 資料型別　陣列名稱[]; 資料型別 [] 陣列名稱; • 同時宣告兩個int型別 int[] arr1, arr2; • 配置陣列：(陣列初始化) 陣列名稱 = new資料型別[元素個數]; • 宣告與配置陣列的方法一: char cArr[]; cArr = new char[3];

  6. 陣列的宣告與配置(II) • 宣告並配置： 資料型別　陣列名稱[] = new 資料型別[元素個數]; • 宣告與配置一陣列的方法二: char cArr[] = new char[3];

  7. 陣列的宣告與配置 • 陣列變數其實是一種參照變數（reference variable） • 陣列名稱是指向陣列實體的一個參照變數 • JVM中陣列的宣告與配置

  8. 使用陣列元素 • 使用陣列元素的語法： • 使用陣列的敘述： • 取得陣列的長度 陣列名稱[索引] int iArr[] = new int[3]; //宣告並配置陣列 iArr[1] = 123; //設定第2個元素值為123 iArr[2] = 456; //設定第3個元素值為456 //將第2和第3個元素值相加後設定給第1個元素 iArr[0] = iArr[1] + iArr[2]; 陣列名稱.length

  9. 使用陣列元素 • 元素預設值 • 陣列在配置後，元素的內容就會被填入預設值。 • 陣列的基底型態為整數者預設值為0。 • 浮點數則為0.0f或0.0d。 • boolean型別為false。 • 物件為null。

  10. 範例1:Ch06_01.java:以迴圈設值並列出 • int[] a = new int[5]; • for(int i=0; i<a.length; i++) • a[i] = a.length-i; • for(int i=0; i<a.length; i++) • System.out.println("a[" + i + "]=" + a[i]);

  11. 以大括號配置陣列並設值 法一:資料型別　陣列名稱[] = new 資料型別[] {元素值1, 元素2,..., 元素值N}; 法二:資料型別　陣列名稱[] = {元素值1,元素值2,...,元素值N}; • 宣告並設定陣列內容 例子: • 宣告並設定初值時，勿在中括號內填入元素的個數 • 已宣告的陣列不可以使用大括號配置陣列及設值 int myArray[] = new int[] {10, 20, 30, 40, 50, 60}; int myArray[] = {10, 20, 30, 40, 50, 60}; int myArray[3] = {1, 2, 3}; // 錯誤 int myArray[]; myArray = {1, 2, 3}; //錯誤

  12. 範例2:Ch06_02.java:以大括號設值與陣列預設值 • int[] a = {10, 20, 30, 40, 50, 60}; • int[] b = new int[3]; • for(int i=0; i<a.length; i++) • System.out.print("a[" + i + "]=" + a[i] +"\t"); • System.out.print("\n"); • for(int i=0; i<b.length; i++) • System.out.print("b[" + i + "]=" + b[i] +"\t");

  13. 二維陣列 二維陣列可以想成有好幾列的房間 13

  14. 二維陣列的宣告與配置 宣告二維陣列的語法 配置陣列： 宣告並配置的例子： 資料型別　陣列名稱[][ ]; 資料型別[]陣列名稱[ ]; 資料型別[][ ]陣列名稱; 陣列名稱 = new資料型別[列數][行數]; int[][] arr = new int[3][5]; 14

  15. 使用元素 元素的表示法： int[][] a = new int[3][4]; 15

  16. JVM中的二維陣列 • 建立陣列實體，再指定給參照變數 16

  17. 範例2:Ch06_06.java使用二維陣列 int[][] a = new int[3][4]; for(int i=0; i<a.length; i++) for(int j=0; j<a[i].length; j++) 　　　a[i][j] = i*10 + j; for(int i=0; i<a.length; i++) { 　　　for(int j=0; j<a[i].length; j++) System.out.print("a["+i+"]["+j+"]="+a[i][j]+"\t"); System.out.print("\n"); } System.out.println("\na=\t" +a); System.out.println("a[0]=\t"+a[0]); System.out.println("a[1]=\t"+a[1]); System.out.println("a[2]=\t"+a[2]); 17

  18. 範例2:Ch06_06.java結果 18

  19. 使用大括號建立二維陣列 非矩形二維陣列 int[][] a = {{1, 3, 5}, {2, 4}, {9, 8, 7, 6}}; 19

  20. 使用大括號建立二維陣列 若某列只有一個元素時，同樣必須以大括號包起來 int[][] a = {{1, 3, 5}, {2, 4}, {9}}; int[][] a = {{1, 3, 5}, {2, 4}, 9}; //錯誤 20

  21. 範例3:Ch06_07.java使用非矩形的二維陣列 int[][] a = {{1, 3, 5}, {2, 4}, {9, 8, 7, 6}}; int b[][] = new int[3][]; b[0] = a[2]; b[1] = new int[2]; b[2] = new int[3]; 21

  22. 範例3:Ch06_07.java使用非矩形的二維陣列 int[][] a = {{1, 3, 5}, {2, 4}, {9, 8, 7, 6}}; int b[][] = new int[3][]; b[0] = a[2]; b[1] = new int[2]; b[2] = new int[3]; b[0][0] = 10; for(int i=0; i<a.length; i++) { for(int j=0; j<a[i].length; j++) 　System.out.print("a["+i+"]["+j+"]="+a[i][j]+"\t"); System.out.print("\n"); } System.out.print("\n"); for(int i=0; i<b.length; i++) { for(int j=0; j<b[i].length; j++) System.out.print("b["+i+"]["+j+"]="+b[i][j]+"\t"); System.out.print("\n"); } 22

  23. 範例3:Ch06_07.java結果 23

  24. 多維陣列 N維陣列的宣告 配置陣列： 使用元素 建立三維陣列的例子： 資料型別　陣列名稱[][]…[]; 資料型別[][]…[]陣列名稱; 陣列名稱 = new 資料型別[個數1][個數2]…[個數N]; 陣列名稱[索引1][索引2]…[索引N] int[][][]ar = new int[3][4][5]; int[]b[][] = {{{9}}}; 24

  25. 範例一：求三階行列式的值 本程式的學習目標：學會宣告及配置陣列，並且可以使用每一個陣列中的元素 • class 行列式 • { • public static void main(String [] args) • { • int [][] A ={{1,2,3}, {5,7,9}, {10,5,8}}; • int result = 0; • result = A[0][0]*A[1][1]*A[2][2]+A[0][1]*A[1][2]*A[2][0]+A[0][2]*A[1][0]*A[2][1]- A[0][2]*A[1][1]*A[2][0]-A[1][2]*A[2][1]*A[0][0]-A[2][2]*A[1][0]*A[0][1]; • System.out.println("行列式的值=" + result); • } • }

  26. 範例二：求三階行列式的值＿呼叫方法 本程式的學習目標：學會建立一個方法（函數），並且呼叫方法及傳送參數 • class 行列式1 • { public static void main(String [] args) • { int [][] A ={{1,2,3}, {5,7,9}, {10,5,8}}; • //int result = 0; • //result = A[0][0]*A[1][1]*A[2][2]+A[0][1]*A[1][2]*A[2][0]+A[0][2]*A[1][0]*A[2][1]- • // A[0][2]*A[1][1]*A[2][0]-A[1][2]*A[2][1]*A[0][0]-A[2][2]*A[1][0]*A[0][1]; • System.out.println("行列式的值=" + 三階行列式(A)); • } • static int 三階行列式(int [][] A) • {int result = 0; • result = A[0][0]*A[1][1]*A[2][2]+A[0][1]*A[1][2]*A[2][0]+A[0][2]*A[1][0]*A[2][1]- • A[0][2]*A[1][1]*A[2][0]-A[1][2]*A[2][1]*A[0][0]-A[2][2]*A[1][0]*A[0][1]; • return result; • } • }

  27. 練習一：求一個四階行列式的值 • 參考範例一及範例二建立一個程式求一個四階行列式的值 • 四階行列式請自行設定 • 四階行列式的值必須經過降階為三階或二階行列式計算 • 程式必須使用呼叫方法（函數）的方式處理

  28. 專題討論-矩陣的應用 補充教材(選擇性閱讀)

  29. 大綱 矩陣運算 高斯消去法 圖形的最短路徑

  30. 摘要 矩陣的操作是科學和工程計算的核心，很多線性代數的問題都可以利用矩陣操作來求得答案 除了基礎的入門介紹，再討論可降低矩陣相乘時間的Strassen 演算法，最後再介紹如何利用矩陣的操作，來解決線性方程式的問題

  31. 矩陣基本性質 矩陣與向量 矩陣操作的定義 反矩陣

  32. 矩陣（matrix）是數字所排列的陣列 轉置矩陣（transpose）AT是把行列互換 矩陣

  33. 向量 所謂的向量（vector）則是數字的一維陣列 單位向量（unit vector）就是指第i個元素為1，其他皆為0的向量 零矩陣（zero matrix）則是指所有的元素都為0的矩陣

  34. 正方形的矩陣n×n的基本特性 對角線矩陣（diagonal matrix）是指除了對角線上的元素之外，其他元素皆為0 的矩陣 n×n 單位矩陣（identity matrix）In是指對角線上的元素都是1，其他都是0 的對角線矩陣

  35. 正方形的矩陣n×n的基本特性(續) 三對角線矩陣（tridiagonal matrix）T 是一種帶狀的對角線矩陣，其除了對角線、對角線正上方一排與對角線正下方一排之外，其他元素皆為0 的矩陣

  36. 正方形的矩陣n×n的基本特性(續) 上三角矩陣（upper-triangular matrix）U是對角線上方元素不為0，其下方元素全為0的一種矩陣

  37. 正方形的矩陣n×n的基本特性(續) 下三角矩陣（lower-triangular matrix）L則和上三角矩陣相反，是指對角線以下元素不為0，對角線以上都為0的矩陣

  38. 正方形的矩陣n×n的基本特性(續) 排列組合矩陣（permutation matrix）P在每一列或是每一行只有一個1，其他都是0 對稱矩陣（symmetric matrix）A滿足A=AT的條件

  39. 矩陣操作的定義 矩陣加法（matrix addition） 如果A=(aij)與B=(bij)是m×n的矩陣，則矩陣C=(cij)=A+B，也是m×n的矩陣，則表示為 cij= aij+ bij，其中i=1,2…,m，j=1,2,…,n。 矩陣減法（matrix subtraction） 就是加上一個負的矩陣，例如： B=A+(-B)

  40. 矩陣操作的定義(續) 矩陣乘法（matrix multiplication） 假設A與B矩陣為兩個相容矩陣，也就是說A的行數等於B的列數，如果A=(aij)為一個m×n的矩陣，B=(bjk)為一個n×p的矩陣，則矩陣乘積C=AB=(cik)為一個m×p的矩陣，其表示為 其中i=1,2,…,m，k=1,2,…,p

  41. 反矩陣 n×n矩陣A的反矩陣也是n×n矩陣，並且表示為A-1，而且AA-1=A-1A，例如： 不過並非每個n×n矩陣都有反矩陣，如果A具有反矩陣，我們說A是可反轉（invertible）或非奇異（non-singular）矩陣； 否則，則說A是不可反轉（non-invertible）或奇異（singular）矩陣。 如果A與B是非奇異n×n矩陣，則(BA)-1=A-1B-1

  42. Strassen演算法 假設A與B矩陣皆為矩陣，且n為2的冪次方（也就是說n為1、2、4、8、16…），如果n=1，則矩陣乘積就是直接A與B相乘，若我們考慮n>1，則我們可以把這個矩陣分成4個的小矩陣，表示如下：

  43. Strassen演算法 (續) 採用Strassen方法來得到7個小矩陣D、E、….、J，其分別定義為：

  44. Strassen演算法 (續) 矩陣D到J需要7次矩陣乘法，6次矩陣加法，和4次矩陣減法運算才能得到。這時候我們可以計算C矩陣，如下： 總共透過6次矩陣加法與2次矩陣減法得到C矩陣。

  45. 時間複雜度 假設t(n)為Strassen演算法所需要的運算時間，因為大的矩陣都會被分割成小的矩陣，直到每個矩陣小於或等於k（k至少為8或是更大），其次數的遞迴公式表示如下： 其中cn2表示完成矩陣加減法及把大矩陣分割成小矩陣所需的時間。 Strassen演算法可以在O(n2.81)時間內執行完，因此當n足夠大的時候，其會比直接計算的O(n3)還要來的快。

  46. 線性方程式 假設我們有n個未知數x1,x2,…,xn，它的線性方程式如下 則我們可以很方便的重寫成

  47. 線性方程式 (續) 或是用簡潔一點的表示法，讓A=(aij)，x=(xi)，以及b=(bi)，則 Ax=b 如果A不是奇異矩陣，則A具有反轉矩陣A-1，則可得 x=A-1b 這就是解答。

  48. LUP分解 LUP分解是找出3個n×n的矩陣L、U、P，讓 PA=LU 其中L是一個單位下三角矩陣，U是上三角矩陣，P是一個排列組合矩陣。我們將滿足此方程式的矩陣L、U、P稱為A矩陣的LUP分解 因此當我們將Ax=b兩邊同乘上P，可以得到PAx=Pb，然後把PA分解成LU矩陣，可以得到 LUx=Pb 讓我們定義y=Ux，其中x是我們所要的解答

  49. LUP分解 (續) 正向取代的方式來解決未知向量y的下三角系統： Ly=Pb 反向取代的方式來解決未知數x的上三角系統： Ux=y 這樣就會得到我們要的x向量。 證明如下： Ax=P-1Lux =P-1Ly =P-1Pb =b

  50. 高斯消去法 如果A為一個n×n非奇異矩陣，P為單位矩陣，我們只需要找到A=LU，此稱L與U為A的LU分解。執行LU分解的過程稱為高斯消去法（Gaussian elimination）

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