Zeros de Funções

1. Zeros de Funções

2. Métodos Iterativos - Zeros • Método da Bissecção OK • Método da Posição Falsa OK • Método do Ponto Fixo • Método de Newton-Raphson • Método da Secante

3. Método do Ponto Fixo (MPF) • Seja contínua em , intervalo este contendo uma raiz da equação . • O MPF consiste em transformar esta equação em uma equação equivalente e a partir de um gerar uma seqüência de aproximações para através da relação =>Processo Recursivo

4. Método do ponto fixo (MPF) • Exemplo1. Considere a equação • Possíveis funções de iterações

5. Método do ponto fixo (MPF) • Forma geral das funções de iteração: com a condição . Exemplo:

6. Método do ponto fixo (MPF) • As raízes da equação são e . Consideremos e a função de iteração . Tomando , temos não está convergindo para

7. Método do ponto fixo (MPF) x2 x1 x0 y=6-x2

8. Método do ponto fixo (MPF) • Consideremos agora a função de iteração com está convergindo para

9. Método do ponto fixo (MPF) x2 x1 x0 x0 x1

10. Método do ponto fixo (MPF) • Teorema: Seja uma raiz da equação , isolada num intervalo I centrado em . E seja uma função de iteração de . Se (i) e são contínuas em I, (ii) e (iii) , então converge para .

11. Método do ponto fixo (MPF) • Demonstração do teorema MPF: • 1ª parte: se , então . Se , então: . Do Teorema do Valor Médio, se é contínua e diferenciável, então: Obs: O intervalo seguinte é menor e centrado em .

12. Método do ponto fixo (MPF) • Demonstração do teorema MPF: • 2ª parte:Provar que . Obs: Como , então .

13. Estudo da Convergência do MPF • Estudo da raiz da equação quando consideramos a função de iteração • A- e contínuas. • B- . Não existe intervalo em torno de que satisfaça a condição do teorema MPF.

14. Estudo da Convergência do MPF • Estudo da raiz da equação quando consideramos a função de iteração • A- e contínuas se . Em torno de condição satisfeita. • B- No intervalo em torno de a condição do teorema MPF é satisfeita.

15. Método do ponto fixo (MPF) • Critérios de Parada do MPF Critério 1: Critério2:

16. Método do ponto fixo (MPF) • Exemplo do critério de parada do MPF • Seja a função com equação equivalente , e .

17. Método do ponto fixo (MPF) • Ordem de convergência Seja uma seqüência que converge para e seja o erro na iteração . Se existir um número e uma constante , tais que Então é chamada de ordem da convergência e é a constante assintótica.

18. Método do ponto fixo (MPF) • Ordem de convergência do MPF Vimos que no MPF para que haja convergência. Obs1: O MPF converge linearmente. Obs2: A convergência é mais rápida quanto menos for o valor de .

19. Método Newton-Raphson (MNR) Vimos que no MPF, para que haja convergência, 1: e 2: a convergência é mais rápida quanto menos for o valor de . O MNR é MPF com convergência acelerada. Consiste em escolher tal que .

20. Método Newton-Raphson (MNR) Temos para o Método de Newton-Raphson

21. Método Newton-Raphson (MNR) Exemplo do Método de Newton-Raphson. Seja a função com . Seja . Do MNR devemos escolher a função equivalente Obtemos • A convergência do MNR é mais rápida que aquela do MPF

22. Método Newton-Raphson (MNR) Teorema: Sejam contínuas num intervalo que contem a raiz de . Suponha que , então existe um intervalo contendo a raiz , tal que se , a seqüência gerada pela fórmula recursiva , convergirá para a raiz.

23. Método Newton-Raphson (MNR) • Ordem de convergência do MNR Suponha que o MNR gere uma seqüência que converge para . A ordem de convergência do MNR é quadrática. Comentário: A ordem de convergência do MPF é linear, mas o fato da exigência de , faz a convergência do MNR ser quadrática.

24. Método da Secante No método de Newton há a necessidade de calcular e o seu valor numérico a cada Iteração. Esta é uma desvantagem do MNR. O Método da Secante substitui a derivada pela secante. Assim Note que são necessárias duas aproximações para iniciar o Método da Secante.

25. Método da Secante Exemplo do Método da Secante Seja a função com . Seja e . Do Método da Secante obtemos a seqüência

26. Método da Secante Ordem de Convergência do Método da Secante Mostra-se que a ordem de convergência do Método da Secante é maior que aquela do MPF (p=1) e menor que aquela do MNR (p=2). Verifica-se que a ordem de convergência do Método da Secante é p=1.618 ...

27. Comparação dos Métodos • O MPF, MNR e MS têm convergência mais rápida que os Métodos da Bissecção e da Posição Falsa, considerando apenas o número de iterações. • Por outro lado, o MNR é aquele que efetua o maior de operações, pois calcula o valor da derivada de f(x) a cada iteração. • O esforço computacional depende do número de operações efetuadas a cada iteração, a complexidade destas operações, de número de decisões lógicas, do número de avaliações de funções a cada iteração e do número de iterações.

28. Comparação dos Métodos No caso geral, não há método melhor!!!!! Obs: Se o cálculo da derivada de f(x) não for muito elaborado, o MNR é indicado, caso contrário o MS é aconselhável.

29. Exercícios Resolver os seguintes exercícios do capítulo 2 2, 5, 10, 16, 19