Číselné obory -Zákony, uzavřenost a operace

1. Číselné obory-Zákony, uzavřenost a operace Ondřej Nebeský T4A

2. Druhy čísel • Přirozená číslaN – slouží k vyjádření počtu osob, zvířat předmětů atd.1,2,3,4 … • Celá číslaZ – umožňují vyjádřit změny těchto počtů a jejich porovnání (přírůstek, úbytek)…, -2, -1, 0, 1, 2 …

3. Druhy čísel • Racionální číslaQ se používají k vyjádření počtu dílů celku jako jsou zlomky, mohou být kladná i záporná1/2 ; -0,83; 0; 8,1; -3 • Reálná číslaR umožňují vyjádření výsledků měření; stejná jako racionální, navíc zahrnují i čísla iracionální ; -0,1; ; 1; sin45°

4. Schéma číselných oborů Reálná R -5,479 Racionální Q tg 60° -3/4 Celá Z 0 -2 1 0,583 Přirozená N 8 5 -8

5. Věty • Věta o asociativnosti sčítání a násobení – sčítance při součtu a činitele při násobení můžeme libovolně sdružovat (nezáleží na pořadí závorek.)a + (b + c) = (a + b) +c • Věta o komutativnosti sčítání a násobení – pořadí sčítanců při součtu a pořadí činitelů při násobení můžeme měnita + b = b + a a * b = b * a • Věta o neutrálnosti čísla 1 – při násobení jakéhokoliv čísla x číslem 1 dostáváme vždy číslo x1 * x = x • Věta o distributivnosti násobení vzhledem ke sčítání – násobíme-li číslem součet dvou nebo více čísel, vynásobíme tímto číslem každého sčítancea(b + c) = ab + ac

6. Přirozená čísla • Přirozená čísla dovedeme jmenovat, zapisovat číslicemi a znázorňovat na číselné ose • Základní operace: sčítání a násobení • Uzavřenost: při sčítání nebo násobení dvou přirozených čísel dostáváme vždy číslo přirozené • Ostatní operace v oboru přirozených čísel při zachování uzavřenosti (odčítání, dělení a umocňování) můžeme definovat pomocí základních operacía € N /\ b € N • Rozdíl a - b a = b+x (x€N /\ a > b) • Podíl a : b a = b * x (x€N) • Mocnina ab a = a1 * a2 * … ab

7. Celá čísla • Jsou to Přirozená čísla rozšířená o nulu a záporná čísla. • Uzavřenost: při sčítání, odčítání nebo násobení dvou celých čísel dostáváme vždy číslo celé • Operace při uzavřenosti oboru jsou podobné jako u přirozených čísel(a, b, x € Z) • Rozdíla – b = x • Podíla = b * x • Mocninaa = 1 * a1 * a2 * … ab (b € N0)

8. Racionální čísla • Množinu racionálních čísel lze vyjádřit ve tvaru zlomku p/q, kde p je celé číslo a q je přirozené číslo a jejich společným dělitelem je pouze číslo jedna (zlomek v základním tvaru) • Uzavřenost: při sčítání, odčítání, násobení nebo dělení dvou racionálních čísel dostáváme vždy číslo racionální. Výjimkou je dělení nulou. • Možné tvary zápisu: • Zlomek 1/3 • Desetinné číslo s konečným periodickým rozvojem 0,8 • Nekonečný periodický desetinný rozvoj s vyznačenou periodou 0,3

9. Racionální čísla - zlomky • Základní početní operace se zlomky odčítání sčítání násobení dělení

10. Racionální čísla • Perioda – nekonečná řada neustále se opakující skupiny čísel za desetinnou čárkou • Značí se vodorovnou čárkou nad číslicemi • V rozvoji se před periodou může vyskytovat ještě skupina číslic (tzv. předperioda) a jedná se o rozvoj neryze periodický • Každé desetinné číslo můžeme zapsat také jako desetinný zlomek, v jehož jmenovateli je přirozená mocnina deseti (tj. 10n, n € N)

11. Reálná čísla • Skládá se z množiny čísel racionálních a iracionálních • Iracionální čísla lze zapsat jenom takovým desetinným rozvojem který je nekonečný a neperiodický • Patří mezi ně některé odmocniny (2,3,5), Ludolfovo číslo a hodnoty některých goniometrických funkcí např. sin 45°, cos 30°, tg 60° atd. • Pro iracionální čísla není zaveden žádný obor protože výsledky operací s iracionálními čísly nemusí být iracionální číslo. Např. pro iracionální čísla \/2 a -\/2 je součet i součin racionální.Množina všech iracionálních čísel není uzavřená vzhledem ke sčítání a násobení.

12. Reálná čísla • Pro každá tři reálná čísla a, b, c platí: • Jestliže a > b a zároveň b > c, pak a > c. • Jestliže a > b a zároveň c > 0, pak ac > bc. • Jestliže a > b a c je libovolné reálné číslo,pak a + c > b + c • Zaokrouhlování: V praxi se iracionální čísla nahrazují desetinnými čísly, která jsou tvořena částí desetinného rozvoje zaokrouhleného na zvolený počet desetinných míst, jenž je určen požadovanou přesností výsledku. Výsledek nebude nikdy absolutně přesný. • Např. = 3,141 592 653 589 79 … se běžně zaokrouhluje na 3,142 nebo 3,14