材料之應力與應變分析 1. 楊氏彈性模量 ( Young’s Modulus ) 2. 扭擺 (Torsion Pendulum)

1. 材料之應力與應變分析1.楊氏彈性模量(Young’s Modulus) 2.扭擺(Torsion Pendulum)

2. 楊氏系數_目的 (Object) • 利用虎克定律的關係，及在彈性限度內，應力與應變的關係維持一固定值。 • 拉長或壓縮一個線狀或棒狀彈性物體，應力與應變比值應滿足一常數，即 楊氏模量（Young’s Modulus） • 利用光槓桿(optical level)來測量金屬線的楊氏模量 • 學習光槓桿的原理與操作

3. 彈性體與楊氏彈性模量 • 彈性體受外力作用時會變形，若外力移去，在彈性限度內可完全回復原狀，由虎克定律得， • 拉長及壓縮一線狀彈性體時，此常數稱為楊氏模量(Y) ，隨材料的不同而異。則

4. 楊氏儀與光槓桿 • 彈性體受拉張力產生的伸長量很小，所以利用楊氏儀（圖一）＞附測量微位移的光槓桿（圖二），可精確測量伸長量。

5. 楊氏儀與光槓桿 • 光槓桿原理：從望遠鏡附設米尺的A點發出之光線AO，垂直投射於平面鏡而由原路反射。若平面鏡轉θ角(平面鏡切圓柱面，會隨圓柱轉相同角度) ，則由米尺的B點發出之光線BO，反射後沿OA進入望遠鏡(ON是法線)，則∠BON＝∠NOA＝θ。 • →平面鏡轉θ角，反射線轉2θ角。

6. 楊氏模量的計算 • 由楊氏儀測金屬線伸長量：(1)望遠鏡裝於米尺A點附近，由望遠鏡讀出的間隔變化(金屬線伸長帶動光槓桿的轉動)D與米尺至平面鏡之距離R，可求2θ，即 • (2)金屬線繞在半徑為r(cm)的銅圓柱，故伸長量 • （θ用弧度， ） • 求楊氏模量：(1)量金屬線的長度l0與截面積A(2)作用力F→砝碼掛重(3)伸長量

7. 扭擺_1.目的（object） • 剛體物體均具有某種程度的彈性，可由拉、推、扭或壓縮物體，使其體積作少許改變。 • 切應力（shear stress）是負重轉動中的軸承彎曲變形，或彎曲造成骨折等問題的重要因素。 • 利用扭擺（torsion pendulum）測擺動週期（period），並計算金屬棒之切變係數（shear modulus）。

8. 扭擺_2.理論（theory） • 切變係數S之定義為切應力（shear stress）與切應變（shear strain）之比，如圖1所示。 F:應力(stress) A:作用面積(Area) x:剪切位移(shear displacement) h:樣本高度(height) 圖 1 切變係數說明

9. 扭擺_棒狀剛體之扭力形變位移 • 設一棒之部份環形沿環之截面受dFi之力作用而扭轉了一角度θ（弧度），其所對應的相對位移為x，如圖2所示。 x＝rθ dA＝2πr．dr r:棒之部分環形之內徑。 圖2 棒之恢復力矩說明

10. 扭擺_棒狀剛體之恢復力矩 • 根據定義， • 此力所生的恢復力矩(dLi)為

11. 扭擺_棒狀剛體之切變係數 • 作用於整個棒上的總恢復力矩L為 • 今將高度h改為棒之全長l，則總力矩變為 • 於是切變係數S為

12. 扭擺_棒狀剛體之切變係數 • 長為l，半徑r之實心金屬棒的切變係數為

13. 扭擺_3.方法（method） • 對一做角度簡諧運動（simple harmonic motion）的物體，若其轉動慣量為I，力矩常數（torque constant）為 K'，則其擺動週期為 ……………………..………….……………(2) • K'乃力矩L與扭轉角（angle of torsion）（角位移）θ之比 ……………………………………………….(3)

14. 扭擺_角度簡諧運動物體之切變係數 • 將(3)式代入(1)得　……………..(4) • 由(2)、(4)式消去得　……….......(5) ……….(1) ， ……….(3) ……….(2)