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Dominique Barth, PRiSM-UVSQ

Petite introduction thématique à la théorie des graphes; quelques applications à la modélisation moléculaire. Dominique Barth, PRiSM-UVSQ.

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Dominique Barth, PRiSM-UVSQ

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Presentation Transcript

  1. Petite introduction thématique à la théorie des graphes; quelques applications à la modélisation moléculaire Dominique Barth, PRiSM-UVSQ Journées Simulation Numérique 2013 15/11/2013

  2. Quelques questions concernant la modélisation moléculaire… • Type de modèle : discret (combinatoire, graphes, proc. Stochastique) ou continu (EDP,…) • Approche : statique (structure, architecture, états) ou dynamique (évolution temporelle) • Granularité : fine (élément de base = niveau atomique ou petite molécule) ou élevée (élément de base =molécule de grande taille) 4. Simulation : le but est il de calculer un modèle ou de simuler in silico un phénomène réel? 5. Application : en biologie, en pharmacologie ou autre (matériaux,…) Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  3. Quelques réponses par la théorie et l’algorithmique des graphes… • Type de modèle : discret (combinatoire, graphes, proc. Stochastique) ou continu (EDP,…) • Approche : statique(structure, architecture, états) ou dynamique (évolution temporelle) • Granularité : fine (élément de base = niveau atomique ou petite molécule) ou élevée (élément de base =molécule de grande taille) 4. Simulation : le but est il de calculer un modèle ou de simuler in silico un phénomène réel? 5. Application : en biologie, en pharmacologie ou autre (matériaux,…) Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  4. « Il peut ne pas être entièrement sans intérêt pour les lecteurs de Nature d'être au courant d'une analogie qui m'a récemment fortement impressionné entre des branches de la connaissance humaine apparemment aussi dissemblables que la chimie et l'algèbre moderne. […] Chaque invariant et covariant devient donc exprimable par un graphe précisément identique à un diagramme Kékuléan ou chemicograph. » James Joseph Sylvester (1814-1897) Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  5. Fonctions, objectifs . Comportement stat/dyn . Granularité Modélisation Caractérisation . RMN . Spectro … Identification Propriétés, structures Résolution de systèmes, Algorithimique de graphes Prédiction Axe T1 du Labex CHARMMMAT : Modélisation, Caractérisation et Simulation 1 Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  6. Plan • Introduction et concepts de base • Coloration de graphes • Planarité • Comparaison de graphes • Application à la modélisation moléculaire • Conclusion Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  7. Introduction et concepts de base Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  8. Graphes : relation (application de V*V dans {Vrai,Faux}) Graphe de la relation, matrice d’adjacence, listes par extension • Degrés • Distances, diamètre • Chaine, chemin, cycle, circuits • Connexité, forte-connexité, k-connexité • pondération, étiquetage (vrai) graphe orienté Graphe orienté symétrique Graphe non-orienté Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  9. Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  10. Une veille science en informatique… L.P. Euler (1707 – 1783) W.R. Hamilton (1805 – 1865) Claude Berge (1926 – 2002) Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  11. Coloration de graphes Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  12. Un problème de géographe Francis Guthrie (1831-1899) Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  13. Un problème de géographe Francis Guthrie (1831-1899) Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  14. Un problème de géographe Conjecture : 4 couleurs suffisent pour chaque carte géographique Francis Guthrie (1831-1899) Paul erdos (1913-1996) Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  15. G=(V,E), graphe non-orienté Coloration de G: application f de V dans un ensemble de couleurs Coloration propre : (u,v) une arête de E implique f(u) différent de f(v) Taille d’une coloration(propre) : cardinal de f(V) Nombre chromatique de G : taille minimum d’une coloration propre de G Une coloration du graphe de Petersen avec 3 couleurs. Problème historique des 4 couleurs Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  16. Théorème : Un graphe est 2-coloriable ssi il ne contient pas de cycles de longueur impaire. Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  17. Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  18. Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  19. 5 3 4 3 1 1 3 2 4 2 0 Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  20. 5 3 4 3 1 1 3 2 4 2 Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  21. 2 1 1 1 2 1 2 2 c 1 Pair/impair Pair/impair 1 1 Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  22. Théorème : Décider si un graphe peut ou non être colorié avec au plus 3 couleurs est un problème NP-complet Difficulté d’un problème : plus petite complexité d’un algorithme le résolvant Taille d’un problème : nombre de sommets, de liens Complexité Nombre de données processeur x 1000 traitées / 24h Linéaire 1 million x1000 Polynomial (deg. 4) 4000 x 2 Exponentielle 150 +20 Factorielle 12 +2 } Classe P Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  23. Classe P: problèmes « faciles », pouvant être résolus en temps polynomial fonction du nombre de sommets et d’arêtes. Classe NP: problèmes pour lesquels pour chaque instance, vérifier si une solution possible est une solution réalisable ou optimale est « facile » (d’où algorithme exponentiel). Contient la classe P. Problème NP-complet : problème X de NP tel que tout autre problème de NP peut de facon « facile » se ramener à un sous-problème de X (donc, problèmes les plus durs de NP). Hiérarchie de classes de problèmes Question : P=NP ? Si un des problèmes NP-complet est dans P, alors P=NP Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  24. Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  25. Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  26. Savoir si un problème est NP-complet : « Si un problème X est au moins aussi difficile qu’un problème connu comme étant l’un des plus difficiles (NP-complet) alors X est aussi un des problèmes les plus difficiles (NP-complet). » Que faire si un problème est NP-complet : • Heuristiques polynomiales • Approximation, garanties de performances • Liens entre invariants et complexité Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  27. Théorème : Décider si un graphe peut ou non être colorié avec au plus 3 couleurs est un problème NP-complet Problème : enchevêtrement de cycles 5 7 4 3 2 3 Invariant de complexité : largeur arborescente (calcul NP-complet) Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  28. Planarité Un graphe est planaire si et seulement si il existe une facon de le dessiner sur une sphère sans que deux arête ne se croisent Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  29. La terre est ronde Francis Guthrie (1831-1899) Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  30. La terre est ronde Francis Guthrie (1831-1899) Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  31. Conjecture : 4 couleurs suffisent pour chaque carte géographique graphe planaire Comment décider qu’un graphe est ou non planaire sans disposer de plusieurs siècles? Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  32. Graphe planaire : graphe que l’on peut dessiner sur un plan (une sphère) Sans que deux arêtes ne se croisent K3 K4 oui oui K5 non K3,3 non ? Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  33. Graphe homéomorphe à Théorème (Kuratowski ) : Un graphe est planaire ssi il n’est homéomorphe ni à K5, ni à K3,3 Décider si un graphe est planaire est dans P. Kutlaw Kuratowski (1896-1980) Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  34. Carte planaire : dessin planaire d’un graphe planaire b f d a c e (abdfec),(abc),(bdec),(dfe) (abdec),(abc),(bdfec),(def) = caractérisation par un graphe + parcours des arêtes décrivant les faces Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  35. Question : un graphe est-il « rond » ou « long »? • Existe-t-il un critère mesurable pour cette question? Est-il « facile » à calculer? • Si non, utilisation de critères croisés : - Excentricité moyenne (calcul polynomial) - Taille de séparateur (NP-complet, critère négatif) - Heuristique de largeur de bande Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  36. Comparaisons de graphes Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  37. Morphisme d’un graphe G=(V,E) dans un graphe H=(V’,E’) : Application f de V dans V’ tel que (u,v) dans E implique (f(u),f(v)) dans E’. f est un isomorphisme ssi f est une bijection (donc l’inverse de f est un (iso)morphisme) Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  38. f est un automorphisme ssi f est un isomorphisme et G=H - groupe d’automorphismes d’un graphe, - classes d’équivalence de sommets, - symétries (involutions) - graphes sommet-transitifs Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  39. f homéomorphisme ssi isomorphisme – injectivité (contraction de V dans V’) (puis notion de mineur) Graphe homéomorphe à Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  40. Comparaison de sous-graphes : plus grand sous-graphes de G Et de H qui ont la propriété de morphisme visée. Plongement de graphes: f:V -> V’, injectif. Critère : minimiser dist(f(u),f(v)) pour tout (u,v) de E Transformation (édition, mineur) d’un graphe à un autre en minimisant Le nombre d’opérations élémentaires Application de la généralisation à la notion de distance entre graphes • Statique : comparaisons de structures a priori similaire, • Dynamique : mesure de l’évolution d’une structure dans le temps Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  41. Quelques applications …. • Identifier la bonne structure moléculaire, • Prédire la structure tridimensionnelle d’une molécule, Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  42. 1 Exemple d’application : génération de topologies de cages moléculaires construites à partir de motifs de base Y Y Y V V ? Verrous : Faire face à l’explosion combinatoire et à la sélection sur critères Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  43. 1 Exemple d’application : génération de topologies de cages moléculaires construites à partir de motifs de base Y Y Y V V ? Verrous : Faire face à l’explosion combinatoire et à la sélection sur critères Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  44. Exemple d’application : génération de topologies de cages moléculaires construites à partir de motifs de base Question : un graphe est-il « rond » ou « long »? • Existe-t-il un critère mesurable pour cette question? Est-il « facile » à calculer? • Si non, utilisation de critères croisés : - Excentricité moyenne (calcul polynomial) - Taille de séparateur (NP-complet, critère négatif) - Heuristique de largeur de bande Verrous : Faire face à l’explosion combinatoire et à la sélection sur critères Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  45. Excentricité (calcul exact) 7 2 8 5 11 9 1 3 6 10 4 Largeur de bande(calcul approché) Séparateur (calcul approché) + nombre de classes d’équivalence + test de planarité Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  46. Conclusion • Le choix du modèle dépend du problème (structure, granularité,..) • Importance des caractéristiques des instances • Déterminer la difficulté intrinsèque (NP-complétude, explosion combinatoire) • Produire la bonne approche (cout/performance) • Un des objectifs du groupe de travail transverse sur la modélisation moléculaire • CHARMMMAT – LERMIT - PALM  Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  47. Axe T1 du labex CHARMMMAT: Modélisation, Caractérisation et Simulation • Objectifs de l’axe : • appréhender les structures complexes observées dans le LABEX, à la fois expérimentalementet d'un point de vue algorithmique, • proposer des modèles et des stratégies pour la corrélation des techniques expérimentales sur un même objet étudié • modéliser des propriétés et des fonctions identifiées par les quatre thèmes et proposer/identifier des architectures moléculaires cibles.. Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

  48. « Il peut ne pas être entièrement sans intérêt pour les lecteurs de Nature d'être au courant d'une analogie qui m'a récemment fortement impressionné entre des branches de la connaissance humaine apparemment aussi dissemblables que la chimie et l'algèbre moderne. […] Chaque invariant et covariant devient donc exprimable par un graphe précisément identique à un diagramme Kékuléan ou chemicograph. » James Joseph Sylvester (1814-1897) Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013

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