Cursul 3 PLANUL ÎN SPAŢIU

1. Cursul 3PLANUL ÎN SPAŢIU Fie E3 = (E3 ,V3 , ) s.g.v.l si R = { O; } In E3 un plan  este unic determinat in de catre: 1) trei puncte necoliniare 2) un punct şi două drepte neparalele 3) un punct şi o dreaptă perpendiculară pe plan. 1.Planul prin trei puncte Consideram M0, M1, M2  E3trei puncte necoliniare Un punct M   , ,   R Notand cu atunci ecuatia vectoriala a planului  este data de (1) ,   R

2. (2)ecuatiile carteziene parametrice ale planului prin trei puncte Coplanaritatea vectorilor este caracterizata de adica (3) sau • ecuatia carteziana a planului prin trei puncte. C.P. planul prin punctele A(a,0,0) , B(0,b,0) , C(0,0,c) este caracterizat de ecuatia: (4) • ecuatia prin taieturi a planului  Remarca.Conditia necesara si suficienta (5) ca patru puncte sa apartina unui plan este:

3. 2. Planul printr-un punct, parale cu doua directii date Fie MoE3 si dreptele distincte d1, d2 - cu directiile Un punct M  daca si numai daca Obtinem (6) - ecuatia vectorialaa planului printr-un punct, paralel cu doua directii In coordonate: (7) , R – ecuatiile parametrice… Sau folosind produsul mixt:- ecuatia vectoriala… (8) - ecuatia carteziana a planului printr-un punct, paralel cu doua directii

4. 3. Planul printr-un punct, perpendicular pe o dreaptă Fie un punct M0 (xo, y0, z0) E3 şi vectorul nenul N(A, B, C)V3 în spaţiul punctual euclidian E3. Un punct M(x,y,z)    (9) A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 – ecuatia planului printr-un punct si de normala data (10)Ax + By + Cz + D = 0- ecuatia generala a planului (11) - ecatia normala a planului unde p – distanta de la origine la plan (12) Ax + By + Cz =  , R- familia planelor de normala data Pozitia relativa a doua plane - se reduce la studiul siatemului Pozitia relativa a trei plane  (A1x + B1y + C1z + D1) + (A2x + B2y + C2z + D2) = 0

5. Dreapta in spatiu In E3 o dreapta d este unic determinata de: 1) un punct şi de o direcţie dată 2) două puncte distincte 3) intersecţia a două plane 1) Dreapta determinata de un punct si o directie Fie MoE3 si directia data de (1), λR - ecuatia vectoriala (2) - ecuatiile parametrice (3) - ecuatiile carteziene sub forma de rapoarte

6. 2) Dreapta determinata de doua puncte distincte Fie punctele M1 si M2 , atunci (4) sau - ecuatia vectoriala Intr-un reper cartezian obtinem ecuatiile carteziene: (5) - ecuatiile parametrice (6) - ecuatiile sub forma de rapoarte 3) Dreapta ca intersectie a doua plane (7) ,

7. Unghiul si distante Unghiul a două drepte în spaţiu Fie dreptele (d1) şi (d2) de vectori directori = (l1, m1, n1) şi respectiv = (l2, m2, n2). Prin unghiul dreptelor (d1) şi (d2) vom înţelege unghiul  [0, ], unghiul dintre vectorii şi , dat de (1) cos = In particular : d1d2= 0 l1l2+m1m2+n1n2 = 0 × = 0  Unghiul a două plane Fie planele neparalele 1 şi 2, date de (1) A1x + B1y + C1z + D1 = 0 (2) A2x + B2y + C2z + D2 = 0 Acceptăm ca unghiul diedru determinat de planele orientate 1 şi 2 să fie măsurat prin unghiul dintre 1şi 2 . Acest unghi este dat de (1) cos = , 12 A1A2+B1B2+C1C2 = 0

8. Unghiul dintre o dreaptă şi un planFie dreapta (d) cu vectorul director = (l, m, n) şi palnul  de normala (2) = In particular (3) (4) Distanta de la un punct la o dreapta (5) (6) (M0, ) = Distanta dintre doua drepte in spatiu Fie (d1) (d2)