Type Reconstruction (II) - Algorithm W -

Type Reconstruction (II)- Algorithm W - 20110205 CSE 김민철(id: rucatia) 6/4 POSTECH 무은재기념관307호

Implicit let-polymorphism • Type Annotation X • Type Abstraction X • Type Application X A :: = A  A | α U :: = A | ∀α.U e :: = x | λx.e| e e | let x = e in e Γ :: = · | Γ , x : U , α type

Rules for typing judgementΓ▷e:U Bottom up Algorithm W를 간단하게!

Type reconstruction • Implicit let-polymorphism에서 type reconstruction! • A :: = A A | α • U :: = A | ∀α.U • e :: x | λx.e | e e | let x = e in e • Γ :: = · | Γ , x : U [모든 type이 유효하다는 Assumption! (No Γ,α type)]

Revised version of Gen, Spec rule 의도하지 않은 중복 방지! Top down Approach Polytype -> Monotype

Algorithm W • W(Γ, e) = (S, A) [A(monotype)인 이유는 W를 보다 편하게 하기 위해서] • S :: = id | {A/α} | S o S [{U/α}가 될 수 없는 이유는 α는 monotype이니까] • Γ + x:U = (Overriding of type binding!) • Soundness of Algorithm W If W(Γ, e) = (S, A), then S·Γ ▷ e:A. S는 A에 영향을 주지 않는다! (A라는 type이 S가 Γ에 적용된 후에 얻어지기 때문!) • Completeness of Algorithm W

Algorithm W • 1. W(Γ, x) = (id, {/}·A) if ∀.A ∈ Γ , fresh Why id? : α가 모두 Γ에 있기 때문에 Substitution은 따로 없다. ({A/α}∀α.U = ∀α.U 가 그렇죠.) • 2. W(Γ, λx.e) = let (S, A) = W(Γ+x:α, e) in (S, (S·α)  A) fresh α Soundness of W에 의해, typing context는 S·Γ+x:S·α, expression e는 A type이 됨! Ex> λx.x+1 을 알아봅시다. λx. x+1 Body에서 x가 int임을 얻음 {int/α} Function body를 안 봐서 x의 타입은 그냥 임의로 α  ({int/α}·αA) 가 최종 type

Algorithm W Γ e1 e2 • 3. W(Γ, e1 e2) = let (S1, A1) = W(Γ, e1) in let (S2, A2) = W(S1·Γ, e2) in let S3 = Unify(S2·A1 = A2  α) in fresh α (S3 o S2 o S1, S3·α) Application Rule을 잘 생각해보면? Unify는 안의 Equation의 type이 같도록 하는 Substitution을 return한다. ??? A1 S1·Γ A2 S2·A1 S2·S1·Γ S3·S2·A1 S3·A2

Unify Function • type equations E ::= · | A = A • Unify(E) = S [Substitution S를 적용하면 type equation E는 true  S·E] • Unify(·) = id • Unify(E,α = A) = if α = A then Unify(E) else if α ∈ ftv(A) then fail else Unify({A/α}·E) o {A/α} • Unify(E, A1A2 = B1B2) = Unify(E, A1=B1, A2=B2) Unify(α = αint) E가 α를 가지고 있을 때를 생각해보자. Unify(αβ = βα, α = int)

Algorithm W Γ e1 e2 • 4. W(Γ, let x = e1 in e2) = let (S1, A1) = W(Γ, e1) in let (S2, A2) = W(S1·Γ+x:(A1), e2) in (S2 o S1, A2) A1(e1의 type)이 monotype이므로, x에 그대로 쓰면 polymorphism의 의도와 X 따라서 이를 Generalize하는 것이 필요하다! Gen Function은 A1의 themost general type을 return한다! – Gen rule여러 개 ??? A1 S1·Γ A2 S2·S1·Γ x USE Gen(A1) Gen Rule Gen Rule ∀β.∀α.αβ ∀α.αβ αβ Gen Function

Completeness of Algorithm W • If W(Γ, e) = (S, A), then S·Γ ▷ e:A. (Soundness of W) • 여기에서 monotype A는 free type variable들을 가지고 있기 때문에, A를 Generalize하기만 하면 e의 most general type을 구할 수 있음. • 즉, If W(Γ, e) = (S, A), then S·Γ ▷ e:A, and S·Γ ▷ e:(A). • Suppose A’ = (A). If ·▷ e:A, then W(·, e) successfully returns A’. •  Completeness of W <빠뜨림이 없음>

Thank you! Thanks for 류각사

Type Reconstruction (II) - Algorithm W -