1 / 24

Numeričko rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi

Tehnički fakultet Sveučilišta u Rijeci. Numeričko rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi. doc. Nelida Črnjarić-Žic, dipl. ing. y. x. ZADATAK Naći rješenje diferencijalne jednadžbe uz početni uvjet. Cauchyjeva zadaća. (1). Padanje tijela.

audra
Download Presentation

Numeričko rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Tehnički fakultet Sveučilišta u Rijeci Numeričko rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi doc. Nelida Črnjarić-Žic, dipl. ing.

  2. y x ZADATAK Naći rješenje diferencijalne jednadžbe uz početni uvjet Cauchyjeva zadaća (1)

  3. Padanje tijela • Newtonov zakon hlađenja B širina kanala Q protok • Stacionarno strujanje fluida u • otvorenom vodotoku • Matematičko njihalo PRIMJERI DIFERENCIJALNIH JEDNADŽBI

  4. Teorem o egzistenciji rješenja • Neka je zadana Cauchyjeva zadaća (1) i neka je f neprekidna funkcija u pravokutniku • gdje su a i b pozitivni brojevi. Pretpostavimo da • postoji pozitivna konstanta M takva da je za svaki ; • postoji nenegativna konstanta L takva da je • za proizvoljne točke . • Tada postoji jedinstveno rješenje Cauchyjeve zadaće (1), definirano i • neprekidno za sve , gdje je .

  5. Eulerova metoda y yi+1 greška y(xi+1) yi xi xi+1 x h

  6. y x h h

  7. Primjer Analitičko rješenje:

  8. lokalna greška Greška Eulerove metode • greška zaokruživanja Općenito, numerička greška se dijeli u dva dijela: • greška metode lokalna globalna Lokalna greška: Globalna greška: Eulerova metoda je prvog reda.

  9. Poboljšanja Eulerove metode • Heunova metoda

  10. Poboljšana Eulerova metoda

  11. Primjer Analitičko rješenje:

  12. Runge-Kutta metoda k2 k4 k3 k1

  13. Opći oblik Runge-Kutta metoda • Metoda 2. reda (r=2) • Metoda 4. reda (r=4)

  14. Lokalna greška: Globalna greška: Primjeri Runge-Kutta metoda • Metoda 2. reda (r=2): Heunova metoda, poboljšana Eulerova metoda Numerička greška • Metoda 4. reda (r=4): Lokalna greška: Numerička greška Globalna greška:

  15. Primjer , .

  16. Stabilnost numeričkih shema Numerička su rješenja dobivena s korakom h=1.

  17. Sustav diferencijalnih jednadžbi prvog reda Početni uvjeti

  18. Numeričko rješavanje sustava diferencijalnih jednadžbi Primjer

  19. Numeričko rješavanje diferencijalnih jednadžbi višeg reda Početni problem za diferencijalnu jednadžbu višeg reda Početni problem za sustav diferencijalnih jednadžbi prvog reda gdje je

  20. Pripadajući sustav jednadžbi prvog reda Jednadžba gibanja Linearizirana jednadžba • Matematičko njihalo Znamo odrediti analitičko rješenje. Diferencijalna jednadžba 2. reda s konstantnim koeficijentima

  21. Usporedba numeričkog rješenja i analitičkog rješenja linearizirane jednadžbe matematičkog njihala - kut

  22. Usporedba numeričkog rješenja i analitičkog rješenja linearizirane jednadžbe matematičkog njihala – kutna brzina

  23. Stacionarno strujanje fluida u otvorenom vodotoku

More Related