Coinele, algebre Hopf si categorii braided monoidale

1. Coinele, algebre Hopf si categorii braided monoidale Cod ID_1005, Contract 434/1.10.2007 Director: C. Nastasescu

2. Informatii generale • Durata proiectului: 3 ani (2007—2010) • Echipa de cercetare • - 3 cercetatori cu experienta: Prof. Dr. C. Nastasescu, Prof. Dr. S. Dascalescu, Lector dr. D. Bulacu • - 2 cercetatori in formare: Doctorand B. Gefry, Doctorand B. Toader • Buget alocat 900.000 RON • - 2007: alocati 75.000/cheltuiti 74.959 • - 2008: alocati 195.000/cheltuiti 191.208 • - 2009: alocati 159.599,36/cheltuiti159.599

3. Stadiul realizării indicatorilor de performanţă Obiectivul asumat in anexa “Criterii minime de performanta asteptate” a fost de 11 lucrari (dintre care se estimau 6 articole in reviste indexate ISI si 5 articole in reviste indexate in baze de date internationale) pentru intreaga perioada de desfasurare a proiectului (1 octombrie 2007- 1 octombrie 2010). Pana la raportarea din iulie 2009 (pentru anii 2007, 2008 si 2009) au fost elaborate 11 articole, publicate sau acceptate, dintre care 8 articole in reviste indexate ISI si 3 articole in reviste indexate in baze de date. Prin urmare, din punctul de vedere al articolelor elaborate, indicatorii de performanta au fost realizati deja cu un an inainte de finalizarea proiectului.

4. Pe langa aspectul cantitativ, care este de multe ori nerelevant, mentionam ca unele din lucrari au fost publicate in reviste de mare prestigiu, cum ar fi - Journal of Algebra (Elsevier) - Communications in Mathematical Physics - Algebras and Representation Theory (Springer) - Communications in Algebra (Taylor and Francis) - Archiv der Mathematik (Basel, Birkhauser) - Acta Mathematica Sinica (Springer)

5. Cercetare sprijinita financiar de acest grant • 1. G. Barad, On a remark of Loday about the associahedron and algebraic K-theory, An.St. Univ. Ovidius Constanta vol.16 (1), 5-18, 2008. • 2. M. C. Iovanov, C. Năstăsescu, J. B. Torrecillas,The Dickson subcategory splitting conjecture for pseudocompact algebras, J. Algebra 320 , 2144-2155, 2008. • 3. G. Barad, Finding Eulerian cycle decompositions and the rotation distance between binary trees, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie, Tome 51(99), no 1, 21-38, 2008. • 4. S. Dăscălescu, Group gradings on diagonal algebras, Arch. Math. 91, No. 3, 212-217 (2008).

6. 5. M. Beattie, D. Bulacu, Braided Hopf algebras obtained from coquasitriangular Hopf algebras, Commun. Math. Phys. 282, 115-160, 2008. • 6. F. I. Castano, N. Chifan, C. Nastasescu, Localization on certain Grothendieck categories, Acta Mathematica Sinica, English Series Vol. 25, No. 3, 379–392, 2009. • 7. S. Dăscălescu, C. Năstăsescu,M. Năstăsescu, Strongly involutory functors, Commun. Algebra 37, No. 5, 1677-1689, 2009. • 8. L. Dăus, C. Năstăsescu, F. Van Oystaeyen,V-Categories: Applicationsto Graded Rings,  Commun. Algebra 37, No. 9, 3248 – 3258, 2009. • 9. M. Beattie, D. Bulacu, On the Antipode of a Co-Frobenius (Co)Quasitriangular Hopf Algebra, Commun. Algebra 37, No. 9, 2981 – 2993, 2009.

7. 10. D. Bulacu, S. Caenepeel, J. B. Torrecillas, Involutory quasi-Hopf algebras, Algebr. Represent. Theory 12, No. 2-5, 257-285, 2009. 11. G. Barad, A nonlinear equation which unify the quantum Yang-Baxter equation and the Pentagonal equation. A Hopf algebra approach., acceptataspre publicare in Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie. In iunie 2008 G. Barad a obtinut titlul de doctor in matematica la U.B. cu teza ``Transformari locale de structuri : flipuri triangulare, rotatii de arbori binari si obstructii combinatoriale de sortare”, coordonator Prof. Dr. C. Nastasescu. Temele abordate in teza sa de doctorat sunt parte din obiectivele stiintifice ale actualului proiect si au fost publicate in cele 3 articole ale sale mentionate mai sus.

8. Principalele rezultate originale, valoroase din punct de vedere stiintific Laturile asociedrului care parametrizeaza arborii binari cu n varfuri interioare se pot decora cu elemente ale grupului Steinberg al unui anumit inel A. Mai mult, si varfurile se pot decora cu elemente din acest grup. 2. Este dat un raspuns pozitiv la conjectura lui Faith in cazul algebrelor pseudocompacte: daca o algebra pseudocompacta A are proprietatea de scindare Dickson pentru A-modulele stangi, atunci ea este semiartiniana la stanga. 3. S-au identificat structuri combinatoriale specifice permutarilor provenite din arbori ale grafului de distorsiune ce permit stabiliri de margini inferioare ale distantei de rotatie.

9. S-au descris toate graduarile unei algebre diagonale peste un corp arbitrar. • Rezultate in aceasta directie fusesera obtinute de J. Bichon, care folosind punctul de vedere al lui Manin asupra coactiunilor algebrelor Hopf pe anumite algebre si a existentei unor obiecte universale, a dat informatii legate de graduarile pe algebra diagonala peste un corp algebric inchis de caracteristica zero. In lucrarea 4 se dezvolta o metoda noua, care permite clasificarea graduarilor fara nicio restrictie asupra corpului de baza si in plus permite descrierea explicita a graduarilor.

10. 5. S-a definit o teorie de transmutare in cazul infinit dimensional: algebrele Hopf de tip Borel asociate unei algebre Hopf coquasitriangulare sunt in dualitate iar dublul cuantic generalizat asociat lor este o algebra Hopf cu proiectie ce produce o algebra Hopf braided intr-o anumita categorie de module Yetter-Drinfeld. S-a aplicat aceasta teorie pentru algebra Hopf coquasitriangulara SL_q(N) si s-au obtinut astfel urmatoarele rezultate: • U_q(sl_N) si SL_q(N) sunt algebre Hopf in dualitate; • algebrele Hopf de tip Borel U_q(b_-) si U_q(b_+) asociate lui U_q^{ext}(sl_N) sunt algebre Hopf in dualitate; • U_q(b_-) este o algebra Hopf duala cu ea insasi; • U_q^{ext}(sl_N) este izomorfa ca algebra Hopf cu un factor al dublului cuantic generalizat D(U_q(b_+), U_q(b_+)); • SL_q(N) are o structura de algebra Hopf braided in categoria de module Yetter-Drinfeld peste U_q^{ext}(sl_N)^{cop}; • biprodusul lui Radford dintre U_q^{ext}(sl_N)^{cop} si algebra Hopf braided asociata lui SLq(N) este izomorf cu un un dublu cuantic generalizat.

11. Folosind tehnici de teoria categoriilor s-au obtinut rezultate privind teoriile de localizare si colocalizare in categorii Grothendieck care au o multime de generatori proiectivi mici. Ca o consecinta s-au obtinut conditii in care o astfel de categorie este semiartiniana sau semiperfecta. Au fost prezentate aplicatii la categorii semiperfecte. • A fost definit si studiat conceptul de functor tare involutiv pe o categorie arbitrara, concept motivat de urmatoarele exemple relevante: transpusa unei matrice, adjunctul unui operator liniar continuu intre doua spatii Hilbert si inversul unui element intr-un grupoid. Au fost descrisi si clasificati pana la o echivalenta naturala toti functorii tare involutivi pe categoria spatiilor vectoriale finit dimensionale peste un corp comutativ. Au fost prezentate aplicatii, in particular la conceptul de inversa generalizata a unei matrice.

12. 8. S-a introdus conceptul de V-categorie, s-au obtinut cateva caracterizari pentru acest concept si s-au aplicat acestea la studiul V -inelelor graduate si al inelelor graduate regulate von Neumann. 9. Pentru algebre Hopf co-Frobenius quasitriangulare sau coquasitriangulare s-a exprimat puterea a patra a antipodului cu ajutorul anumitor elemente grupale definite de R-matrice. Rezultatul poate fi privit ca un prim pas in rezolvarea unei probleme a lui Drinfeld: cand o astfel de proprietate o are antipodul unui grup cuantic definit de o anumita algebra Lie. Mai exact, am aratat ca o astfel de proprietate o au grupurile cuantice definite de algebre Hopf de coordonate asociate anumitor tipuri de grupuri Lie.

13. 10. S-a introdus notiunea de algebra quasi-Hopf involutorie folosind proprietati braided monoidale (pivotale, respectiv urma) ce trebuie sa le satisfaca patratul antipodului unei astfel de algebra. Am aratat ca, - peste corpuri de caracteristica zero acestea sunt algebre semisimple; - daca H este o algebra quasi-Hopf involutorie peste un corp algebric inchis de caracteristica zero, la fel este dublul sau cuantic D(H); - daca H este o algebra quasi-Hopf involutorie semisimpla atunci caracteristica lui k nu divide dimensiunea nici unui H-modul simplu absolut finit dimensional; - Daca H este o algebra quasi-Hopf involutorie ce nu este semisimpla atunci caracteristica lui k divide dimensiunea oricarui H-modul proiectiv finit dimensional; - peste un corp de caracteristica zero, o algebra Majid co-Frobenius involutorie este cosemisimpla; - pornind cu H(2), o algebra quasi-Hopf involutorie de dimensiune 2, aplicand constructii generale ca bozonizarea sau dublul cuantic am obtinut noi exemple de astfel de algebre quasi-Hopf de dimensiune 4.

14. 11. A fost definita si studiata o ecuatie neliniara care generalizeaza ecuatia cuantica Yang-Baxter si ecuatia pentagonala.

15. Implicarea tinerilor cercetatori si modul in care se reflecta in cheltuielile de personal • Au participat activ la seminariile de lucru organizate in cadrul acestui proiect. Acestea au fost sustinute atat de membrii cu experienta cat si de cei doi tineri cercetatori. • Au beneficiat de materialele achizitionate in cadrul proiectului: monografii, obiecte de birotica si papetarie, tonere pentru imprimante si copiatoare, etc. • Bogdan Toader a beneficiat de 3 vizite cu caracter stiintific la universitati europene • - 2 vizite in Spania 25.05-3.06 2008 (5.592,05 RON), 08.02.2009-18.02.2009 (7.319,65 RON) • - 1 vizita in Belgia 15.11-25.11 2008 (4.881,67 RON) • unde a participat la seminarii si a avut discutii cu specialisti recunoscuti in domeniul algebrelor Hopf si al categoriilor braided monoidale.

16. Fiecare dintre cei doi tineri cercetatori au beneficiat de salarii pentru activitatea de cercetare, fiind angajati in centrul de cercetare “Algebra si teoria numerelor” de la Universitatea din Bucuresti. Sumele aferente celor doi au fost: • - 2007: 9.000 RON • - 2008: 25.148,8 RON • - 2009: 18.633,35 RON • Gefry Barad si-a sustinut in iunie 2008 teza de doctorat la Universitatea din Bucuresti, in urma careia a obtinut titlul de doctor in matematica. Subiectele abordate in teza sunt parte din obiectivele stiintifice asumate in cadrul acestui proiect. • Bogdan Toader si-a sustinut examenele si referatele din cadrul programului sau de doctorat. Impreuna cu S. Dascalescu, studiaza o problema de clasificare a algebrelor Hopf de dimensiune p4, p prim, si impreuna cu C. Nastasescu si S. Dascalescu studiaza chestiuni legate de spatiul integralelor pe o coalgebra.

17. Dificultati intampinate in derularea proiectului (stiintific si / sau administrativ) Principalele dificultati intampinate au fost legate de modul de finantare. Banuim ca modalitatea de finantare aplicata, si anume avans de 30% la inceputul fiecarei etape si decontarea dupa raportare, este independenta atat de vointa CNCSIS cat si de a Universitatii Bucuresti, dar efectul asupra derularii proiectelor este devastator. Consideram ca atata timp cat modalitatea de finantare nu se schimba la varianta: avans 100% la inceputul fiecarei faze, ne vom afla intr-o continua anormalitate.

18. Dorim sa mentionam si urmatoarele dificultati aparute: • Contractul si actele aditionale s-au refacut de mai multe ori (fiecare astfel de episod reprezentand o cantitate importanta de munca pentru intocmirea hartiilor si obtinerea semnaturilor), in parte si din cauza nestabilirii in prealabil a unor reguli care sa fie agreate atat de catre CNCSIS cat si de catre Universitatea din Bucuresti; • Universitatea din Bucuresti ne-a impus modificarea perioadelor de derulare a etapelor anuale, fata de cum prevedea planul initial. Intelegem ca aceasta decizie a fost luata datorita lipsei resurselor financiare care sa acopere diferenta de 70% din buget pana la decontarea etapelor, dar pentru derularea proiectului efectul a fost acela ca din punct de vedere financiar au aparut numeroase perioade in care desfasurarea activitatilor a fost complet blocata. • Decontul pe anul 2009 (incheiat iulie 2009) nu a fost efectuat in totalitate de catre CNCSIS;

19. Din iulie 2009 suntem in faza intermediara a ultimului an, 2010 (faza care trebuie raportata in ianuarie 2010). Practic, proiectul este blocat complet din punct de vedere financiar, disponibilul pe care il avem pentru activitati este 0. • Nu in ultimul rand, am fost nevoiti sa suportam o adevarata hartuire la nivel birocratic din partea Universitatii Bucuresti. Daca la nivel individual persoanele din conducerea universitatii si de la departamentul cercetare al UB au manifestat intelegere si dorinta de a ne ajuta sa derulam proiectul corespunzator, la nivel de decizii ale institutiei, in special atunci cand departamentul Resurse Umane al UB a fost implicat, am simtit nu de putine ori lipsa sprijinului care ar fi fost firesc, iar mai ales in anul 2009 am fost pusi chiar in situatii umilitoare (de exemplu cele legate de procedurile de concediere colectiva din centrele de cercetare care au fost aduse in discutie in prima parte a lui 2009).