Sistema de equações lineares

1. Sistema de equações lineares

2. Caracterização • Um sistema de m equações a n variáveis é é chamado sistema de equações lineares. Ele tem a forma genérica seguinte:

3. Solução • Um conjunto de n valores (x1, ..., xn) verificando as equações do sistema é uma solução do sistema. • Um sistema cujo os valores dos coeficientes bn são iguais a 0 é um sistema homogêneo:

4. Caracterização matricial • O sistema pode ser escrita sobre a forma de um produto de matrizes: onde as matrizes são definidas por:

5. Combinação linear • A combinação linear de equações é a soma dessas equações multiplicado por coeficientes reais: • a1eq1+a2eq2+...+aneqn onde ai¹0, iÎ{1,...,n} é uma combinação linear de eq1, eq2, ..., eqn. • Em relação com as variáveis envolvidas nas equações, uma equação linear, combinação linear entre as outras equações não introduz novas relações entre as variáveis.

6. Sistemas equivalentes • Num sistema de equações lineares independentes, se uma equação é trocada por uma combinação linear dela mesma e outras equações do sistema, o novo sistema é equivalente o primeiro. Os dois sistemas têm a mesma solução.

7. Sistemas equivalentes • Num sistema, se uma equação é combinação linear das outras, ele é equivalente ao sistema sem essa equação:

8. Equações e variáveis • Um sistema de m equações a n variaveis: • Tem uma solução unica se ele pode ser reduzido a um sistema de n equações independentes a n variáveis. • Tem uma infinidade de soluções, se ele é equivalente a um sistema de m’ equações independentes com m’<n

9. Determinante • Um determinante é um número associado a um matriz quadrada (mesmo número de linha e coluna). • A definição do determinação envolve a noção de permutação. O determinante de uma matriz A (aij é o coeficiente da i-ésima linha e j-ésima coluna) é, onde an são elementos distintos de (1,...,n) e k é o número de permutações para passar de (1,...,n) para (a1,..., an):

10. Calculo do determinante, caso 2x2 e 3x3 • O calculo do determinante 2x2: • O calculo do determinante 3x3 é feito da forma seguinte: • Det A= =

11. Determinante, caso nxn • O desenvolvimento de Laplace permite o calculo do determinante da forma seguinte: Onde Dij é o determinante da submatriz obtido de A retidando-se a i-ésima linha e j-ésima coluna e multiplicado por (-1)i+j. O número i pode ser qualquer número de {1,...,n}. Esse princípio funciona para qualquer linha ou coluna.

12. Determinante, caso nxn • O calculo do determinante pode ser implementado com um procedimento recursivo. O calculo de um determinante nxn é determinado a partir de determinantes (n-1)x(n-1). • O preço do cálculo de um determinante é elevado. Considerando a formula da definição, são necessárias n!(n-1)+(n!-1) ou seja n!n-1 operações para um determinante de dimensão n: (n!-1) somas de n!(n-1) produtos, sem considerar os elementos anexos necessários (posição de memoria, sinal, etc).

13. Determinante, um algoritmo • O calculo é feito usando os coeficientes da primeira linha. Determinante(m) // m: matriz se dim(m)=2 resultado=m[0][0].m[1][1]-m[1][0].m[0][1] se dim(m)=1 resultado=m[0][0] Se dim(m)>2 resultado=0 i de 1 a dim(m) construír a submatriz de m sem a primeira linha e a i-ésima coluna (subm) resultado=resultado+(-1)i.m[0][i].Determinante(subm)

14. Determinante e sistema • Se um sistema de n equações lineares a n variáveis tem um determinante diferente de 0: det A¹0, as equações do sistema são independentes. • Nesse caso, o sistema tem uma solução única. Em caracterização matricial, essa solução escreve-se: onde A-1 é a matriz inversa da matriz A.

15. Determinante e matriz inversa • Se o determinante de uma matriz é não nulo, a matriz inversa pode ser calculada. Onde Dij é o determinante da matriz formada a partir da matriz A retirando a i-ésima linha e j-ésima coluna.

16. Formula de Cramer • Pela formula de Cramer, se o determinante do sistema é não nulo, o valor solução da variável xi é dado pela formula seguinte: • O numerator da fração é o determinante da matriz formada da matriz A do sistema onde a coluna dos coeficientes de xi são subsituídos pelos termos constantes bi.

17. Exemplo

18. Custo da formula de Cramer • Para resolver um sistema de n equações a n variáveis, pela formula de Cramer precisam ser calculados n+1 determinante de ordem n (n linhas, n colunas). • O custo da resolução desse sistema é de: (n!n-1)(n+1) operações. Para 10 variaveis: 399167989

19. Eliminação Gaussiana • A eliminação Gaussiana usa a propriedade de equivalência de sistema para eliminar progressivamente as variáveis ate chegar a uma equação de uma variável.

20. Sistema triangular • No novo sistema, podemos determinar: • O sistema é chamado sistema triangular e a matriz associada é uma matriz triangular. Se fala também de triangular superior ou inferior para caracterizar a posição dos coeficientes não nulos.

21. Eliminação Gaussiana e determinante • O determinante de um sistema triangular é o produto dos termos da diagonal. • Em um determinante, adicionar os termos (ou os termos multiplicado por um fator) de qualquer linha (resp. coluna) a qualquer outra linha (resp. coluna) não muda o valor do determinante.

22. Método • Escolhe uma das equações (i-ésima) com o coeficiente (ai1) de x1 não nulo. Esse coeficiente é chamado de pivot (ou pivot de Gauss). • Adicionar a cada uma das equações restantes (j, j¹i), a primeira equação multiplicada por: -aj1/ai1 • Aplicar de novo o algoritmo com o sub-sistema de n-1 variáveis ate chegar a uma equação de uma variável.

23. Exemplo

24. Matriz • O processo pode ser aplicado com matrizes. Nesse caso, se considera a matriz aumentada com as constantes da matriz do sistema: • E as combinações lineares entre as equações são feitas entre as linhas de coeficientes.

25. Exemplo com matriz

26. Exercício Solução: x1=-1, x2=0, x3=1 e x4=2

27. Custo da eliminação Gaussiana • Para eliminar o primeiro termo das n-1 equações de um sistema a n equação, precisamos de n-1 divisões, (n-1)(n+1) multiplicações e (n-1)(n+1) adições: 2n2+n-3. Para eliminar os termos ate a ultima equação precisamos de operações, da ordem de 2n3/2. • A resolução do sistema triangular necessita: n divisões, n(n-1)/2 multiplicações e n(n-1)/2 adições.

28. Velocidade da resolução • Uma das razões de escolher uma algoritmo no lugar de um outro é em geral baseado sobre a relação entre velocidade e precisão. • No caso da resolução de sistemas lineares, a formula de Cramer precisa de muito mais operações que a eliminação Gaussiana.

29. Estratégia de pivoteamento • Resolução do sistema seguinte usando sucessivamente 0.004 e 0.423 como pivot e calculando usando somente 4 algarismos significativos: • A solução do sistema e (10,1). Com 0.004 como pivot achamos (12.5,0.9994) e com 0.423 achamos (10,1).

30. Estratégia de pivoteamento • No caso geral, para diminuir os erros de arredondamento, é preferível usar como pivot o maior coeficiente em valor absoluto da variável a eliminar nas equações do sistema.

31. Eliminação Gaussiana, algoritmo • n: numero de variáveis, m: matriz aumentada • Eliminacao_gauss(n, m) • para i de 1 a n • para j de i a n, procure o coeficiente maior em valor absolute: linha max • troca a linha max com a linha i de m • para j de i+1 a n, para k de i a n+1, subtrai m[j][i]/m[i][i] de m[j][k]

32. Soluções particulares • Certas situações precisam de determinar as soluções de sistemas onde somente os termos constantes (bi) mudam: • solução de: • e solução de:

33. Soluções particulares • Nesses casos, é mais eficiente de triangular o sistema uma vez e resolve-lo com os diversos valores dos termos constantes (bi). Nesse caso uma segunda matriz é necessária para calcular os termos constantes do sistema triangular em fonções dos coeficientes de origem.

34. Soluções particulares • Nesse caso, a matriz coluna dos termos constantes é considerada como o produto da matriz identidade como essa matriz coluna. As transformações operadas pela triangularização serão aplicadas à matriz identidade e não à matriz coluna dos termos constantes.

35. Matriz Inversa • Se o processo de transformação do sistema continua ate obter um sistema cuja matriz é a matriz identidade, a matriz de transformação dos termos constantes é a matriz inversa da matriz do sistema inicial:

36. Exemplo

37. Erros de aproximação • Os erros de arredondamento têm um papel importante na solução de sistemas de equações lineares, principalmente por conto do grande número de calculo a ser efetuados. • A um efeito de “condensação pivotal” no caso da eliminação gaussiana. Cada calculo depende dos resultados anteriores.

38. Avaliação dos erros • Uma forma de avaliar o erro é trocar as variáveis nas equações pelos valores determinados e comparar os resultados com os termos constantes: Sistema: soluções: Trocando nas equações:

39. Avaliação dos erros • Um pequeno erro sobre os resultados conduz a considerar que os valores das variáveis determinados são boas aproximações dos resultados exatos. • Existem casos nos quais não podemos afirmar isso.

40. Sistema mal condicionado • Considerando o sistema seguinte: • Uma solução como x1=100, x2=-98 é uma solução aceitável do ponto de vista do critério precedente, porém ela é longe da solução exata (70,-68).

41. Sistema mal condicionado • Um sistema de equações que pode ser satisfeito por soluções erradas é um sistema mal condicionado. • Do ponto de vista gráfico, no caso da dimensão 2, o sistema é mal condicionado quando as duas retas representando as equações são próximas:

42. Sistema mal condicionado • Um sistema é mal condicionado quando seu determinante é próximo de zero. • O que significa, um determinante próximo de zero ? Como multiplicando qualquer equação por um fator não muda a solução do sistema, enquanto multiplica o determinante por esse fator, falar de um valor pequeno do determinante não significa nada.

43. Sistema mal condicionado • Para determinar se um sistema é mal condicionado, existem duas possibilidades: • O determinante normalizado é próximo de 0: cada linha é dividida por um fator de proporcionalidade, raiz quadrada da soma dos quadrados dos coeficientes da linha. • Se uma pequena mudança de um termo constante do sistema provoca uma uma mudança importante no resultado, o sistema é mal condicionado.

44. Método iterativo de Gauss-Seidel • O sistema é transformado de tal forma que cada equação pode dar o valor de uma variável (no caso que um dos aii é nulo, o sistema pode ser reordenado para ter a condição: aii, i={1,...,n}):

45. Método iterativo de Gauss-Seidel • Em seguida, a cada passo e a partir de valor iniciais de (x2, ..., xn), novos valores de (x1, ..., xn) são calculados. • Quando converge, esse processo pode exigir muitas iterações para chegar a um resultado razoável. Ele é aconselhado somente quando o sistema é mal condicionado ou quando muitos coeficientes do sistema são nulos (convergência rápida)

46. Método iterativo de Gauss-Seidel • O algoritmo pode ser parado quando: • É atingido um número de iteração dado. • A diferencia entre dois valores sucessivas dos xi é menor que um valor limito: e. Critério particularmente delicado a manipular (convergência muito lenta).

47. Método iterativo de Gauss-Seidel • Se o método não converge, ele pode ser aplicado mudando a ordem das equações (ou seja mudando as equações determinando cada xn). • Existe um teorema que garante a convergência: Se o termo da diagonal principal é maior em valor absoluta que a soma dos valores absolutos dos outros termos da linha do coeficiente e que a soma dos valores absolutos dos outros termos da coluna do coeficiente, a convergência é garantida.