İSTATİSTİK VE OLASILIK I

1. İTİCÜ Mühendislik ve Tasarım Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü İSTATİSTİK VE OLASILIK I 7. Hafta: Sürekli Olasılık Dağılımları Öğr. Gör. Berk Ayvaz 2013

2. Kesikli Olasılık Dağılım Türleri • Verilen bir aralıkta sonsuz değer alan deney sonuçlarına sürekli dağılıyor denilir. • Sürekli dağılım gösteren rassal değişkenlerin büyük çoğunluğu ise normal dağılıma uymaktadır.

3. Normal Dağılımın Özellikleri • Sürekli bir olasılık dağılımıdır. • Normal dağılımı meydana getiren birimler ölçme yahut tartma yoluyla elde edilmiş verilerdir ve (- , + ) arasında sonsuz sayıda değer alabilirler. • Normal dağılımın moment çarpıklık katsayısı 0 ‘dır. Yani normal dağılım simetriktir. • Normal dağılımın moment basıklık katsayısı 3’tür. Diğer bütün dağılımların basıklık ölçüleri bu katsayı ile karşılaştırılır. • Bu fonksiyondaki e, yaklaşık olarak 2.71828’e eşit matematiksel sabit; 3.14159’a eşit matematiksel sabit; , anakütle ortalaması; anakütle standart sapması ve X, herhangi bir sürekli tesadüfi değişkendir.

4. Normal Dağılımın Özellikleri • Anakütleortalaması ve standart sapması bilinen X değerleri için ihtimal hesabı yapılabilir. • Bu yüzden normal dağılımın ve gibi iki parametresi vardır. • Normal eğri altındaki toplam alan 1 ’e eşittir. • Normal dağılımda herhan­gi bir X sürekli değişkeninin nokta tahmini sıfırdır. Çünkü normal eğri altında sonsuz sayıda X noktaları sözkonusudur. • Bu yüzden ancak herhangi bir X değe­rinin Xı ile X2 arasında bulunma ihtimali hesaplanabilir. • Bunun hesaplanması için, fonksiyonun Xı’den X2’ye integrali alınır. • Bununla birlikte nokta tahmini yapılacağı zaman, verilen X sürekli değişkenine 0.5 değeri eklenip çıkarılarak bir aralık tarif edilir ve daha sonra tarif edilen aralığın olasılığı hesapla­nabilir.

5. Normal Dağılımın Özellikleri • Anakütleortalaması ve standart sapmasının farklı olduğu her problem için ayrı bir integrasyon işlemi uygulamak gerekecektir. • Ayrıca, bu eğrinin integral hesapları da ileri matematik işlemlere dayanmakta ve çok zaman almaktadır. • Bu sebeple bütün problemlerde kullanılabilecek standart bir fonksiyon geliştirilmiştir.

6. Normal Dağılımın Özellikleri • Normal dağılım fonksiyonu aşağıdaki gibi ifade edilmektedir: • Z değerleri dağılımının ortalaması = 0 ve standart sapması = 1’e eşitlendiğinde; normal dağılım, standart normal dağılıma dö­nüşür. • Bir başka deyişle olasılık hesaplarken normal dağılım standart normal dağılıma dönüştürülür. • Buna göre normal dağılımda N() olmaktadır. Standart normal dağılım ise N(0,1) şeklinde ifade edilir. • Bu durumda Z değişkeninin standart normal dağılım fonksiyonu, • gibi daha basit bir şekil alır. • Standart normal dağılımın bu özelliğinden hareketle tablolar geliştirilmiştir. • Bu tablo, verilen bir Z değeri ile Z = 0 aralığına düşen alanı bulmamızı sağlar.

7. Normal Dağılımı- Standart Normal Dağılım Standartlaşmış Normal Dağılım Normal Dağılım

8. Normal Dağılımın Özellikleri • Standart normal eğride toplam alanın %68.27’si , ve %95.54’ü ve %99.73'üaralığında bulunur. • Standart normal dağılım için hazırlanan tablolardan yaralanabilmek için verilen X değerlerinin standart Z değerlerine dönüştürülmesi gerekir. • X sürekli değişkeninin gözlenmesi ihtimali bu Z değerlerinin gösterdiği alandan hesaplanır. • Z tablosundaki Z değerleri 0 ile 3.99 arasındadır. • Tablonun birinci sütununda virgülden sonra bir basamak yürütülmüş Z değerleri vardır.

9. Z Tablosu (Eğrinin altında kalan sağ taraftaki alanı verir)

10. Örnek 1 Normal Dağılım Standartlaşmış Normal Dağılım

11. Örnek 2 • Mesela Z = 2.14’ün gösterdiği normal eğri alanını bulmak istediğimizde tablonun ilk sütunundaki 2.1 değerinin bulunduğu satır ile başında 0.04 bulunan sütunun kesişme noktasındaki değere bakarız. • Z = 2.14’ün gösterdiği normal eğri alanı 0.4838’dir.

12. Z Tablosu Olasılık eğrinin altında kalan alana eşittir.

13. Örnek 3: Standart normal dağılım (z) değerinden olasılık hesaplama Standart Normal Dağılım OlasılıkTablosu .02 .0478 .0478 0.1 Olasılık değerleri

14. Örnek 4 Ortalama : 5 ve standart sapma: 10 için P(2.9 X 7.1)=?

15. Çözüm 4 Normal Dağılım Standart Normal Dağılım -0,21 0 0,21 2,9 5 7,1 .1664 .0832 .0832

16. Örnek 5 • Z = -1.44 ile Z = 2.06 arasındaki alanı bulunuz. ÇÖZÜM • Z değerleri tablosu yardımıyla sözkonusu alanı kolayca bulabiliriz. • Önce tablodan Z = -1.44’ün gösterdiği alanı tesbit ederiz. • Bu alan Z = -1.44 ile 0 arasındaki alandır. • Daha sonra Z = 2.06 ile Z = 0 arasındaki alanı buluruz. • O halde Z= -1.44 ile Z = 2.06 arasındaki alan az önce tespit edilen iki alanın toplamına eşittir. Aşağıdaki grafik bu alanı göstermektedir. P(-1.44 Z 2.06) =0.4251 + 0.4803 = 0.9054

17. Örnek 6 • Z = -1.44 ile Z = -0.51 arasındaki alanı bulunuz. • Önce Z = -1.44’ün daha sonra Z = -0.51’in gösterdiği alanı tespit ede­riz. • Büyük olan alandan küçük olan alan çıkarıldığında istenen alan bulunmuş olur. • Aşağıdaki grafik bu alanı göstermektedir. P(-1.44Z -0.51) = 0.4251 - 0.1950 = 0.2301 Eğer iki pozitif Z değeri arasındaki alan istenirse yine büyük olandan küçük olan alan çıkarılarak istenen alan bulunur.

18. Örnek 7 • P(Z -1.44) değerini bulunuz.

19. Çözüm 7 Normal eğri altında kalan alana eşittir. Eğri tam ortadan ikiye bölündüğünde sol taraftaki alan 0,5’e eşit olur. Z=-1.44 ile Z= 0 arasındaki alan 0.4251 olduğuna göre ; P(Z -1.44)= 0,5-0,4251=0,0749 olur.

20. Örnek 8 Normal Dağılım Standart Normal Dağılım P(X 8)=? 0 0,30 5 8 .3821 .1179

21. Örnek 9 • Bir üretim sürecinde belli bir problemden dolayı üretilen ürünlerdeki hataların ortalaması 15 ve varyansı 9 olan normal dağılıma sahip oldukları bilinmektedir. • Bu süreç içinden rasgele seçilen bir ürünün üzerindeki hata sayısının, a) 11 den küçük b) 12 den büyük c) 9 ile 16 arasında olasılığı nedir?

22. Çözüm 9

23. Örnek 10 • Bir imalat sürecinde üretilen mamüllerin ortalama ağırlığı 5 kg ve standart sapması 0.15 kg’dir. Söz konusu imalat sürecinden rassal olarak seçilen bir malın 5.05 kg’dan fazla olma olasılığı nedir?

24. Çözüm 10 X= 5.05 kg’nin standart değeri; Z = Buna göre aranan olasılık: P(X -1.44) =P(Z )=0.5-0.1293= 0.3707 olarak hesaplanır.

25. Örnek 11 Bir istatistik sınavında sınıf ortalaması 60, standart sapması 10 olsun. Sınavdan 1,5 standart puan alan bir öğrencinin gerçek notu kaçtır?

26. Çözüm 11 Z = X=75

27. Örnek 12 1587 kişinin alınacağı bir iş sınavına 10000 kişi başvurmuştur. Yapılan sınavın ortalaması 50, std. sapması 5 ‘tir. İşe girebilmek için gerekli en düşük puan nedir?

28. Çözüm 12 Toplam alan: 0,5 • N=10000 • n=1587 • =50 • =5 • P=1587/10000=0,1587 • Z = 0 P=0,1587 P=0,3413 Z = Z=1 X=55

29. Kesikli Dağılımın Normale Yakınsaması • Örnek hacmi n’in büyük olduğu hallerde kesikli ihtimal dağılımlarına ait formüllerin kullanılması uzun hesaplamalar gerektirir. • Örnek hacmi yeterince büyük olduğunda, X değerlerinin dağılımı normal dağılıma yaklaşır. • Standart normal değerleri bulmayı sağlayan, Z formülündeki ve normal dağılımın parametreleridir. • Bu formülde normal dağılım parametreleri yerine gerekli şartları sağlayan kesikli olasılık dağılımlarının ortalama ve standart sapmaları yazıldığında kesikli olasılık değerlerinin kolaylıkla hesaplanabilmesini sağlayacak Z değerleri elde edilir. • Kesikli olasılık dağılımları ile nokta tahmini yapılabilir. • Normal dağılımda nokta tahmini yapabilmek için verilen X değerine 0.5 ilave edilip çıkarılarak belirli bir aralığın tarif edilmesi gerekir. • Buna süreklilik düzeltmesi denir. • Standart Z değerleri hesaplanırken gerekli hallerde X değişkenine 0.5 ilave edilir ya da çıkarılır.

30. Binom’un Normale Yakınsaması • Örnek hacimlerinin büyük ve p’nin 0.5’e yakın olduğu hallerde binom problemleri genellikle normale yaklaştırma yolu ile çözülmektedir. • Örnek hacmi ile p değerinin çarpımı 5’e eşit veya daha büyük olursa binom dağılımı normale yaklaşır. • Simetrik binom dağılımlarında, n küçük dahi olsa normale yaklaşım binom formülüne yakın sonuçlar verdiği halde, p’nin 0’a veya 1’e yaklaşması halinde, normale yaklaştırma yoluyla elde edilen sonuçlara güvenilmez. • Zira, bu hallerde eğri sağa veya sola çarpık olacağından normal eğri cetveliyle hesaplamak ihtimaller, gerçek ihtimallerden sapma gösterecektir. • Şu var ki, n'inçok büyük değerleri için p’nin çok küçük (veya büyük) olması halinde bile, normale yaklaştırma yoluyla gerçeğe yakın sonuçlar elde edilebilir. • X değerlerine ait ihtimallerin hesaplanmasında standart Z değeri formül anakütleortalaması ve standart sapmasının yerine binomdağılımının ortalama ve standart sapması yazılır. • Böylece standart Z değeri formülü, Z

31. Örnek 13 Bir fabrikanın ürettiği ürünlerin %10’u standartlara uymaktadır.Bu fabrikanın imalatından alınan 150 birimlik mamül örneğinde 10 mamülün standartlara uymaması olasılığı % kaçtır? • Dağılımın ortalaması: np= 150* 0,1=15 • Standart sapması: = =3,67 • Normal dağılımda herhangi bir noktanın ihtimali 0’dır. • Bu yüzden X= 10 değerine 0,5 ilave edip çıkararak değerleri elde edilir. • Daha sonra bu X değerleri; • = • = standart değerlerine dönüşür. • Buna göre aranan ihtimal; • P(X=10)=0,4332-0,3907=0,0425 olarak hesaplanır.

32. Örnek 14 Alkol bağımlılığı ile ilgili yapılan araştırmalarda alkolik anne babadan doğan çocuklarda alkol bağımlılığı oranının %80 olduğu saptanmıştır. 23-45 yaş grupları arasından 200 kişi seçilmiştir. Buna göre • p() • p(178) • p(161) • p(190) olasılıklarını bulunuz.

33. Çözüm 14

34. Çözüm 14

35. Poisson Dağılımının Normale Yakınsaması • Büyük örnek hacimleri çok küçük p değerleri kullanıldığında olursa poisson dağılımı normale yakınsar. • bilinmediğinde np formülü yardımıyla hesaplanabilir. • Poisson olasılıkları normal dağılım varsayımları altında hesaplanırken standart Z değeri formülündeki anakütle ortalaması ve standart sapmasının yerine poisson dağılımının aritmetik ortalama ve standart sapması yazılır. • Bu durumda standart Z değeri, Z • X süreklilik düzeltmesine tabi tutulacaktır.

36. Örnek 15 Bir otomobil fabrikasında malzeme yokluğu sebebiyle, gün­de, ortalama 12 kez üretim durmaktadır. Buna göre, rastgele seçilen bir günde malzeme yokluğu sebebiyle üretimin 15 kez veya daha az defa durması ihtimalini hesaplayınız. • Ortalama, X = 12 ve standart sapma, 3.46’dır. • 15 veya daha az defa üretimin durması ihtimali sorulduğu için 15, ihtimal bölgesindedir. • 15’in üst sınırı 15.5 olduğundan, bu noktanın standart değeri, • Z = • Bu noktanın sol tarafındaki alan aranan alandır. Buna göre 15 veya daha az defa üretimin durması olasılığı • P(X) = P(Z1.01) = 0.5+0.3438=0.8438

37. Hipergeometrik Dağılımın Normale Yakınsaması • Örnek hacmi ile p değerinin çarpımı 5’e eşit veya daha büyük olduğun­da hipergeometrik dağılım normale yaklaşır. • Sınırlı anakütleden iadesiz çekiliş­ler yapıldığı için hipergeometrik dağılımın standart sapması düzeltme faktörü ile çarpılır. • Standart Z değeri formülündeki anakütle ortalaması ve standart sapması yerine Hipergeometrikdağılımının aritmetik ortalama ve standart sapması yazılır. • Bu durumda standart Z değeri, Z • X süreklilik düzeltmesine tabi tutulacaktır.

38. Örnek 16 1000 mamulden oluşan bir partideki mamullerin %10’u standartlara uymamaktadır. Sözkonusu mamul partisinden iadesiz olarak alınan 150 birimlik mamul örneğinde 8’den az mamulün standartlara uymaması ihtimali % kaçtır? • Dağılımın ortalaması= np=150*0.10=15 • Standart sapması: ==3.39 • Z= • P(X) = P(Z -2.21) = 0.5- 0.4864=0.0136=%1.36