第二讲 Lagrange 插值

1. 第二讲Lagrange插值

2. 主要知识点 • 插值的基本概念，插值多项式的存在唯一性； • Lagrange插值(含线性插值、抛物插值、n次Lagrange插值公式）； • 插值余项； • 插值方法：（1）解方程组、（2）基函数法。

3. 插值问题描述 • 设已知某个函数关系 在某些离散点上的函数值： • 插值问题：根据这些已知数据来构造函数 的一种简单的近似表达式,以便于计算点 的函数值 ，或计算函数的一阶、二阶导数值。

4. 多项式插值定义 在众多函数中,多项式最简单、最易计算，已知函数 个互不相同的点处的函数值 ，为求 的近似式，自然应当选 次多项式 使满足条件

5. 插值的几何意义 插值多项式的几何意义

6. 插值唯一性定理 定理：(唯一性) 满足 的 n阶插值 多项式是唯一存在的。

7. 存在唯一性定理证明 设所要构造的插值多项式为： 由插值条件 得到如下线性代数方程组：

8. 当 时， 存在唯一性定理证明(续) 此方程组的系数行列式为 范得蒙行列式 ！ D 0， 因此，Pn(x)由a0, a1,…, an唯一确定。

9. 插值方法 一、解方程组法： 　　类似插值唯一性定理证明过程，先设插值多项式函数为 ，将 个节点的函数值代入多项式里，便得到 个等式，得到一个关于多项式里系数的线性方程组，解此线性方程组，便得到所要求的插值多项式。 二、基函数法：一种既能避免解方程组，又能适合于计算机求解的方法，下面将具体介绍。

10. 拉格朗日插值公式 拉格朗日（Lagrange）插值公式的基本思想是，把pn(x)的构造问题转化为n+1个插值基函数li(x)(i=0,1,…,n)的构造。

11. 线性插值函数 P1(x) (x1，y1) f(x) (x0 ，y0) x0 x1 可见 是过 和 两点的直线。

12. 抛物插值函数 p2(x)  f(x) f(x) x0 x1 x2 因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。

13. i = 0, 1, 2,…, n 要求：无重合节点，即 N次插值函数 设连续函数在[a, b]上对给定n + 1个不同结点： 分别取函数值 其中 试构造一个次数不超过n的插值多项式 使之满足条件

14. 一次Lagrange插值多项式(1) 已知函数 在点 上的值为 ，要求多项式 ，使 ， 。其几何意义，就是通过两点 的一条直线，如图所示。

15. 一次Lagrange插值多项式(2) 一次插值多项式

16. 一次Lagrange插值多项式(3) 由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为 它也可变形为 显然有：

17. 记 一次Lagrange插值多项式(4) 可以看出 的线性组合得到，其系数分别为 ， 称 为节点 , 　的线性插值基函数

18. 一次Lagrange插值多项式(5) 线性插值基函数 满足下述条件 并且他们都是一次函数。 注意他们的特点对下面的推广很重要

19. 一次Lagrange插值多项式(6) • 我们称为点的一次插值基函数，为点 的一次插值基函数。它们在对应的插值点上取值为1，而在另外的插值点上取值为0。插值函数 是这两个插值基函数的线性组合，其组合系数就是对应点上的函数值。这种形式的插值称作为拉格朗日（Lagrange）插值。

20. 二次Lagrange插值多项式1 线性插值只利用两对值　　及　　求得的 　　近似值，误差较大。 p2(x)是x的二次函数，称为二次插值多项式。通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。

21. 二次Lagrange插值多项式2 设被插函数在插值节点 处的函数值为 以过节点 　　的二次函数 为插值函数。 用基函数的方法获得 其中

22. N次插值函数1 • 我们看到，两个插值点可求出一次插值多项式　　　，而三个插值点可求出二次插值多项式　　。当插值点增加到n+1个时，我们可以利用Lagrange插值方法写出n次插值多项式　　，如下所示：

23. N次插值多项式问题2 已知n+1个节点处的函数值 求一个n次插值函数 满足

24. N次插值多项式3 构造各个插值节点上的基函数 满足如下条件

25. N次插值多项式4 求n次多项式 ，k = 0, 1,…, n 则 i = 0, 1, 2,…, n 即满足插值条件 根据的表达式， 以外所有的结点都是的根，

26. N次插值多项式5 因此令 又由，得：

27. N次插值多项式6 从而得n 阶拉格朗日（Lagrange）插值公式：

28. 设节点 ，且 f满足条件 , 在[a , b]内存在, 考察截断误差 推广：若 罗尔定理 : 若 在［ ］连续，在 充分光滑， 使得 使得 且 存在 使得 。 N次插值多项式7

29. 注：通常不能确定 x, 而是估计 , x(a,b) 将 作为误差估计上限。 当f(x) 为任一个次数 n的多项式时， , 可知 ，即插值多项式对于次数 n 的多项式是精确的。 N次插值多项式8

30. 例题分析1 例： 已知特殊角 处的正弦函数值 分别为 求正弦函数的一次、二次插值多项式，并用 插值函数近似计算 ，并估计误差 解：一次插值函数为

31. 例题分析2 误差为 在所求点的函数值为 误差为 知

32. 二次插值多项式为 误差为 所求函数值为 例题分析3

33. 例题分析4 误差为 右图中红色曲线为 图形,绿色曲线为插插值函数的图形。

34. 第二讲完！谢谢大家！再见！