Microeconomia Função Utilidade Multiplicadores de Lagrange Cobb Douglas

1. MicroeconomiaFunção Utilidade Multiplicadores de LagrangeCobb Douglas Saurater Faraday Adaptação do vídeo Multiplicadores de Lagrange. Disponível em <http://www.wikifinancas.samfaraday.com/index.php/Multiplicadores_de_Lagrange >. Acesso em 18/mai/13.

2. Função Utilidade Cobb Douglas • u(x, y) = xy • Problema: Maximizar a Função Utilidade sujeito a uma certa restrição de igualdade. • Técnica: Multiplicadores de Lagrange • Restrição: Encontrar as condições que satisfaçam a otimização.

5. Suponhamos que a Função Utilidade seja u(x, y) = xy • Nosso problema é escolher x e y que maximizem xy • Sujeito x +y ≤ 12 Max xy s.a.x +y ≤ 12 Em outras palavras: f(x,y) = xy g(x,y) = 12

6. O Método dos Multiplicadores de Lagrange • 1. Reescreva a restrição de igualdade, igualando a zero. • Em nosso exemplo x + y – 12 = 0 • 2. Criemos uma nova função L(x, y, λ) a qual depende das variáveis originais , bem como da nova variável λ (lambda). • Lambdaé, aqui, chamada de Multiplicador de Lagrange. • A Nova função é a soma dos dois temos: • O Primeiro termo é a função original a ser maximizada (ou minimizada em um problema de minimização), em nosso exemplo, xy. • O Segundo termo é o produto da nova variável λ e restrição • Ficando: • L(x,y, λ) = xy+ λ(x + y -12)

7. Derivadas Parciais e Sistemas de Equações • 3.Fazemos, então, as Derivadas Parciais de L com relação a cada uma das três variáveis: • Em Seguida igualamos a zero • Daí, criamos um sistema de equações com 3 variáveis: x, y, e λ. Derivadas Parciais L(x,y, λ) = xy+ λ(x + y -12) • = y +λ = 0 • = x + λ = 0 • = x + y - 12 Sistema de Equações com 3 Variáveis • y + λ = 0 (1) • x + λ = 0 (2) • x + y – 12 = 0 (3)

8. Derivadas Parciais e Sistemas de Equações Resolvendo as Equações • Primeiro, levamos os temos contendo λ para o outro lado das equações respectivas. y= -λ (1’) x= -λ(2’) • Agora, substituímos x e y na 3ª. Equação: x + y – 12 = 0  -λ + -λ – 12 = 0  -2λ – 12 = 0  -2λ = 12 • λ = -6 • Agora que conhecemos λ, basta substituir nas equações 1 e 2 y = -(-6)  y = 6 x = -(-6) x = 6

9. Interpretando , o valor de lambda significa  o ”preço sombra” Meu ou a variação do valor objetivo da solução óptima de um problema de otimização obtido através do relaxamento da restrição por uma unidade - é a utilidade marginal de relaxar a restrição ou, de forma equivalentemente, o custo marginal  de reforçar a restrição. Nas palavras do Prof. Paulo Matos, seria uma o resultado de uma pequena “porrada” no preço, o que aumentaria em 6 vezes.

10. Referências • A LangrangeMultiplier. Disponível em < http://www.youtube.com/watch?v=H4HN4ZrVm0w> Acesso em 18/mai/13. • ALBOUY, David; Constrained Optimization, Shadow Prices, Inefficient Markets, and Government Projects. Disponívelemhttp://emlab.berkeley.edu/users/webfac/saez/e131_s04/shadow.pdfAcesso em 18/mai/13. • MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry R. MicroeconomicTheory. Oxford University Press, 1995 • Multiplicadores de Lagrange. Disponível em <http://www.wikifinancas.samfaraday.com/index.php/Multiplicadores_de_Lagrange >. Acesso em 18/mai/13. • Preço Sombra. Disponível em <http://pt.wikipedia.org/wiki/Pre%C3%A7o_sombra >. Acesso em 18/mai/13. • VARIAN, Hal R. Microeconomia: Princípios básicos. Uma abordagem moderna. Rio de Janeiro: Editora Campus, 1994.