Die spline-Interpolation

1. Die spline-Interpolation

2. Gliederung • Hintergrundwissen • Die kubische spline-Interpolation • Grafische Darstellung an Scilab • Praktische Relevanz

3. 1. Hintergrundwissen • Warum neues Verfahren? • Problem der Interpolation:  starke Oszillation an Rändern bei Polynomen hohen Grades • erkannt durch Carl David Tolmé Runge (1856-1927)  Runge – Funktion:

5. deshalb: spline-Interpolation • Was ist ein spline? • Begriff aus Schiffbau:  elastische Holzlatten (engl: spline) so gebogen, dass gewisse Anzahl Knotenpunkte bedeckt wurden

6. Mathematisch: Kurve, die durch bestimmte Anzahl an Punkten verläuft und diese glatt verbindet  Kurve besteht aus Polynomen  bei n Stützstellen: n-1 Polynome  stückweise Polynom-Interpolation • aber: welcher Grad? • einfachste Interpolation: stückweise linear  Grad 1

7. Problem?

8. daher wären Polynome vom Grad 2 die einfachste Lösung , aber:  Interpolationsfunktion nicht eindeutig bestimmt  nicht genügend Parameter vorhanden, um praktisch relevante Bedingungen vorschreiben zu können • deshalb: kubische Polynome

9. 2. Die kubische spline-Interpolation • am häufigsten angewendete Interpolationsmöglichkeit • Vorteile: • 4 freie Parameter garantieren neben stetigen Differenzierbarkeit auch noch eine stetige 2. Ableitung • Ableitungen an den Stützstellen gehen nicht in Berechnung mit ein  müssen nicht bekannt sein • geringes Schwingverhalten

10. Definition: Es seien eine auf dem Intervall [a,b] definierte Funktion f(x) sowie eine Menge von Stützstellen a=x0<x1<…<xn=b gegeben. Eine kubische Spline-Interpolationsfunktion S(x) für f(x) ist über folgende Bedingungen definiert: • jjj+1, ein kubisches Polynom. Es werde mit j • Sjj , • j+1j+1jj+1 • j+1j+1jj+1 • j+1j+1jj+1 • Eine der folgenden Randbedingungen ist erfüllt: • 0n natürlicher spline • 00nneingespannter spline

11. Ansatz: jjjjjjjj³ • gesucht sind freie Parameter aj, bj, cj, dj • ajergeben sich sofort aus üblichen Interpolationsbedingungen:  • restlichen Parameter ergeben sich aus den Bedingungen der Definition

12. es ergeben sich für die anderen Parameter: • , • hj≙ Schrittweite zwischen xj und xj-1

13. zur Berechnung der cj bei natürlichen splines muss das Gleichungssystem berechnet werden, mit:

14. Analoges gilt für eingespannten Rand

15. Warum dieser Ansatz? • folgender Ansatz auch möglich? jjjj

16. Beispielaufgaben: • Beispiel 1: Man bestimme den natürlichen kubischen spline, der die folgende Tabelle interpoliert:

17. Allgemeine Vorgehensweise (n. spline): • an = f(an) • c0 = cn = 0 restliche cj:

20. Beispiel 2: Berechnen Sie den natürlichen kubischen spline, der an den Stellen interpoliert!

21. Allgemeine Vorgehensweise (n. spline): • an = f(an) • c0 = cn = 0 restliche cj:

23. 3. Grafische Darstellung an Scilab

25. 4. Praktische Relevanz • Automobilindustrie • 3D-Grafiken in Computeranwendungen • Holzbearbeitung (Designermöbel, Kunstwerke) • Darstellung von Messwerten  3-dimensionale Geländekarten  auch im 2-dimensionalen möglich: