Special Relativity as an Example of Symmetry

1. Special Relativity as an Example of Symmetry

2. 靜止座標系與等速運動座標系之間的變換 以被動變換的觀點看，兩者都是緣因於觀察者的改變

3. 相對性變換 地面 車上 觀察者無法藉由力學實驗分辨自己是靜止的，還是在等速移動！ 移動中的實驗者，他由實驗結果所歸納出來的物理定律，與靜止的觀察者所歸納的物理定律一模一樣！ 相對性變換下的物理定律形式上是不變的！ 相對性原則

4. 時空座標的相對性變換 對同一事件，不同慣性坐標系測量時空值之間的關係。 慣性座標系之間的伽利略變換 絕對時間

5. 慣性座標系之間的速度的變換

7. 慣性座標系之間的加速度的變換

8. 伽利略變換 移動中的實驗者，他由實驗結果所歸納出來的物理定律，與靜止的觀察者所歸納的物理定律一模一樣！ 牛頓運動定律在伽利略變換下是不變的！

9. 動量守恆定律是否滿足相對性原則？

10. 從 S′ 看 從 S 看 v′1i v′2i v′2f v′1f 動量守恆定律在S成立，在S′也成立，滿足相對性原則 動量守恆定律在伽利略變換下是不變的！

11. 但光改變了一切！ 光速 根據伽利略變換，不同運動狀態的觀察者測到的光速似乎應該不同！

13. ？ 火車上的觀察者看到的光速是否與地面看到的不同。

14. 如果 觀察者以光速移動的，他看到電磁波靜止不動而不傳播 電磁場不隨時間而變化，就無法在旁邊感應出電磁場 當光源已非常遙遠，沒有電荷沒有電流，何來電場磁場？ 這樣的物理非常詭異！沒有人可以寫下簡單的物理定律。

15. 光速的值是馬克斯威爾方程式的預測！ 如果Maxwell 方程式遵守相對性不變性： 翻譯表 那麼……..

16. 電磁波的速度 光速的值是馬克斯威爾方程式的預測！ 馬克斯威爾方程式滿足相對性原則！ 馬克斯威爾方程式對所有觀察者都正確！ 光速與觀察者的運動狀態無關！

17. Michelson and Morley (1887)

19. 勝 光速與觀察者無關！ 馬克斯威爾方程式滿足相對性原則！ 電磁波無介質！

20. 光速恆定原則 無論觀察者及光源的運動狀態，光速恆定！ 伽利略變換必須修正

21. 要求光速恆定： 羅倫兹變換 Lorentz Transformation 這才是正確的慣性座標系之間時空的變換關係！ 這個變換顯示絕對時間是無意義的！

22. 速度加成 光速恆定

23. 羅倫茲轉換 移動座標觀察到的時間不只與靜止座標的時間有關，也跟空間有關 時間與空間不能分開來討論 時間與空間似乎糾葛在一起 為了討論方便，應該把時空一起記載！ 4-vector 四個分量的物件 Hermann Minkowski

24. 4-vector 羅倫茲轉換 因為在不同座標系測得的時空值不同，這四個分量本身沒有絕對意義， 但這四個分量也不是任意的，它們在不同座標系的值由羅倫茲變換規定！

25. 使用新的符號，羅倫茲變換可以寫成： 變換後的分量是變換前分量的線性組合 這又使我們聯想到旋轉

26. 座標軸旋轉 羅倫茲轉換 4 Vector在羅倫茲轉換下，分量會轉換為原來分量的線性組合 這與向量在座標軸旋轉後，分量的變化很像！ vector 4-vector 這是一個很有用的對應！ 分量只是方便的數學工具，隨時可因座標軸選取的改變而改變 羅倫茲變換原來就是一個時空座標軸的更換

27. 一個 4 vector 的時間與空間座標可以在 Minkowski 空間圖上一點來表示 羅倫茲轉換的確也是座標軸變換，但非旋轉，而是保持光路徑不變的變換！ Minkowski Space 光的路徑

28. 座標軸旋轉 羅倫茲轉換 向量長度在旋轉軸旋轉下不變 類似的分量組合在羅倫茲轉換下也是不變的。 不變量 這是一個羅倫茲不變量（純量）！

29. 此不變量可以稱為 4-vector的“長度” Proper Time τ 它是一個羅倫茲變換下的不變量 一個粒子時空位置的Proper time 的小變化與一座標系量得的時間成正比 Proper time是隨著粒子移動的時鐘量到的時間

30. 在旋轉的變換下，與位置以相同方式變換的稱為向量！在旋轉的變換下，與位置以相同方式變換的稱為向量！ 所有的向量在坐標軸旋轉下滿足一樣的變換式 在羅倫茲變換下，與時空以相同方式變換的四組量稱為 4 vector 所有的4向量在羅倫茲變換下滿足一樣的變換式

31. For all 4 vectors:

32. 由4 vector長度公式可以延伸定義此向量空間中的內積 在線性代數中，向量內積由一個 Metric矩陣來定義： 向量內積被寫成兩個向量與 Metric矩陣的矩陣乘積：

33. 物理量可以依據他們在羅倫茲轉換下如何變化來分類物理量可以依據他們在羅倫茲轉換下如何變化來分類 4-vector 不變量 tensor

34. 相對性原則 The Principle of Relativity 移動中的實驗者，他由實驗結果所歸納出來的所有物理定律，與靜止的實驗者所歸納的物理定律一模一樣！ 相對性原則成為物理定律是否正確的一個新的檢驗標準！

35. 所有還沒檢驗過的都要拿來確認一下！ 檢驗的標準為何？

36. 兩個座標系的關係由羅倫茲變換給定： 物理定律必須在羅倫茲轉換下不變！ 馬克斯威爾方程式在羅倫茲變換下不變

37. 動量與能量守恆定律在羅倫茲變換下會不會變？動量與能量守恆定律在羅倫茲變換下會不會變？ 動量與能量守恆定律滿不滿足相對性原則？

38. 牛頓版動量守恆 u u u’ u 完全非彈性碰撞 v=u O’ O 牛頓版的動量守恆遵守伽利略變換下的相對性原則

39. 但？如果考慮相對性效應….. u u u’ ？ u v=u O’ O 動量守恆定律在左方是正確，但在右方就不正確，反之亦然 動量守恆定律在羅倫茲轉換後就不像動量守恆了！

40. 牛頓的動量守恆定律滿不滿足相對性原則！ 牛頓的動量守恆定律必須修正！ 如何修正？ 既然羅倫茲變換很像旋轉，我們以旋轉為例來看看有沒有一個可以保證物理定律對稱不變的原則！

41. F F’ a’ 如果無法以物理方法分辨旋轉變換前後，旋轉前後的物理定律必須一樣！

42. 如何保證旋轉變換後，物理定律可以不變？ ? 注意等式兩邊都是向量。此定律可以寫成分量等式： 所有的向量分量在座標軸旋轉下滿足一樣的變換式： 注意分量等式的左右滿足同樣的轉換關係 要求等式兩邊都是向量，就保證公式不隨座標軸變換而改變！

43. F F’ a’ 旋轉變換後，物理定律必須不變 要求物理定律等式兩邊都是向量（或純量，或張量），就保證公式在旋轉變換下不變

44. 牛頓力學中所有的物理定律，等式兩邊必須同時是向量，或同時是純量。牛頓力學中所有的物理定律，等式兩邊必須同時是向量，或同時是純量。 所有遵守羅倫茲轉換不變性，等式兩邊必須同時是 4-Vector，或同時是純量 牛頓定義的動量顯然不是 4-Vector 。 4-Vector第二分量除以第一分量 變換式非常複雜（非線性組合）！ 要求動量新定義必須： 動量是一個 4-vector 的一部分 新動量在速度遠小於光速時，必須趨近於舊動量。

45. 新的定義 時間是3D的純量，但並非4D的不變量。 以不變量 Proper Timeτ取代時間 t 是時空 4-vector的空間部分，因此暗示我們將整個時空 4-vector 除以Δτ， 就得到一個新的 4-vector的動量 動量是 4-vector 動量 P的空間分量！ 因為位置是向量，時間是純量，故兩者的商，速度是向量。

46. 一個粒子運動時的 Proper Time滿足 速度小時： 新動量在速度遠小於光速時，趨近於舊動量。 新定義滿足我的兩項要求

47. 動量 P是4-vector，它在羅倫茲變換前後的關係，與時空是一樣的

48. 3D的例子暗示我們如果等式兩邊都是 4 Vector，公式也不隨羅倫茲轉換而改變 在粒子碰撞時實驗中，變換後的粒子動量和與變換前，滿足： 在O′中的動量，等於 O中的動量分量的線性組合 如果在O座標系中，p1 及p0 都守恆，在O′座標系中，p′1自然保證守恆

49. u u u’ u v=u O’ O 新定義使動量守恆定律遵守相對性原則

50. 新定義與舊定義的關係 接近牛頓的定義