SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ

1. SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ PROF. DR. NAZMİYE YAHNİOĞLU nazmiye@yildiz.edu.tr www.yildiz.edu.tr/~nazmiye

2. ÖZET: • Çeşitli örnekler çözüldü: • Süreksizliklere göre bölgenin ayrıklaştırılması, • Doğal sınır koşullarının SEY işlemlerinde göz önüne alınması, • Örnek eleman yolu ile SEY çözümleri, • Farklı dereceden Şekil Fonksiyonlarının birlikte kullanılması • öğrenildi.

3. EKSENEL KUVVET ETKİSİNDEKİ ÇUBUKLAR Bu bölümde bazı Elastisite teorisi problemleri ele alınacak ve bu problemlerin Sonlu Elemanlar yöntemi ile modellenmesi ve çözümü verilecektir. V Hacmi, S yüzeyine sahip elastik bir cisim için;

4. Her kesitte iç kuvvetlerin bileşkeleri Şekilde verilen cisimden seçilecek sonsuz küçük bir hacim elemanı üzerinde, statikten bilinen denge şartı (bileşke kuvvetin sıfırlığı) kullanılarak, elastisite teorisine ait denge denklemleri elde edilir.

5. Denklemler Denge Denklemleri: İ;j=1,2,3 Bünye Denklemleri (Hooke Yasası): Lineer DurumdaGeometrik İlgiler (Şekil Değiştirme-Yerdeğiştirme Bağıntıları): İ;j=1,2,3 Sınır Koşulları: ve

6. Boyut Düşürme Düzlem Gerilme Varsayımı: Cismin bir doğrultudaki boyutu, buna dik diğer iki doğrultudaki boyutundan çok çok küçükse (örneğin z ekseni) bu durumda, Düzlem Şekil Değiştirme Varsayımı: Cismin bir doğrultudaki boyutu, buna dik diğer iki doğrultudaki boyutundan çok çok büyükse (örneğin z ekseni) bu durumda, alınır. alınır. Denge Denklemleri: i;j=1,2 Bünye Denklemleri (Hooke Yasası): Lineer DurumdaGeometrik İlgiler (Şekil Değiştirme-Yer Değiştirme Bağıntıları):

7. Boyut Düşürme • Yukarıda verilen düzlem şekil değiştime/düzlem gerilme durumlarının uygulanabilmesi için aşağıdaki üç şartın gerçeklenmesi gerekir: • z doğrultusunda sadece düzgün yayılı yük etki etmeli, • Hacimsel kuvvetler z’den bağımsız olmalı, • z doğrultusunda düzgün yayılı olmayan başka kuvvet etki etmemeli. • Bununla beraber yine, bazı hallerde 2-boyutlu problem yerine bunu 1-boyutlu ele almak yeterli olabilir. Bunun için, aşağıdaki varsayımlar kabul edilir: • Her nokta ancak ve ancak tek bir doğrultuda, örneğin “1” ekseni doğrultusunda, hareket edebilir. • Her noktada bilinmeyen 1 tanedir (serbestlik derecesi 1’dir). E-Young/Elastisite Modülü

8. Bir Boyutlu Problemlerin Sonlu Eleman Modellemesi dx, L bölgesinde; dA, A bölgesinde değişmekte fonksiyonelde bütün büyüklükler A serbest değişkeninden bağımsız olduğundan bu değişkene göre integral alınırsa bulunur.

9. Bir Boyutlu Problemlerin Sonlu Eleman Modellemesi:Ritz tekniği Fonksiyonelde yerine yazılırsa;

10. Bir Boyutlu Problemlerin Sonlu Eleman Modellemesi:Ritz tekniği veya Ritz tekniği gereği bilinmeyenlere göre türev alınarak sıfıra eşitlenirse:

11. Bir Boyutlu Problemlerin Sonlu Eleman Modellemesi:Ritz tekniği Örnek eleman için: Yukarıdaki ifadelerde bütün büyüklükler serbest değişkenden bağımsız ise: Yukarıdaki ifadelerde bütün büyüklükler serbest değişkenden bağımsız ise: lineer şekil fonksiyonları kullanılarak eleman matrisleri hesaplanırsa :

12. Uygulamalar Şekilde arkaya doğru kalınlığı bir birim olan ve düşey kesit alanı lineer değişen bir yapı elemanı verilmektedir Bu yapı elemanını I) Sabit kesit alanlı, II) Değişken kesit alanlı olacak şekilde sonlu elemanlar ile modelleyerek; • Eleman matrislerini, • Her bir nodda yer değiştirmeleri, • Her sonlu elemanda gerilme fonksiyonunu, • Mesnet reaksiyonunu bulunuz. Verilenler ; ; ;

13. I. Sabit kesit alanlı modelleme Düşey kesit alanı için;

14. Eleman verileri/matrisleri Eleman matrisleri:

15. Eleman verileri/matrisleri (devam) Genel sistem: İndirgenmiş sistem: Çözüm: cm ; cm ; ;

16. Gerilme Fonksiyonu 2. Sonlu Eleman için: 1. Sonlu Eleman için: 3. Sonlu Eleman için:

17. Mesnet Reaksiyonu =-49.817N

18. II. Değişken kesit alanlı modelleme ,

19. II. Değişken kesit alanlı modelleme (devam Genel sistem: İndirgenmiş sistem: Çözüm: cm, cm, cm

20. Gerilme Fonksiyonu 2. Sonlu Eleman için: 1. Sonlu Eleman için: 3. Sonlu Eleman için:

21. Mesnet Reaksiyonu =-54.767N

22. Örnek 2. Şekilde dairesel kesit alanlı bir yapı elemanı verilmektedir. Bu yapı elemanı üzerinde gösterilen bazı büyüklüklerin değerleri aşağıda verilmektedir. Buna göre verilen yapı elemanını en az sonlu eleman ve lineer şekil fonksiyonları yardımıyla modelleyerek, a)Her sonlu eleman için Eleman matrislerini, b)Her bir nodda yer değiştirmeleri, c)Her sonlu elemanda gerilme fonksiyonunu, d)Mesnet reaksiyonunu bulunuz. Verilenler

23. Eleman verileri/matrisleri

24. Eleman verileri/matrisleri Genel sistem: İndirgenmiş sistem: Çözüm:

25. Gerilme Fonksiyonu 2. Sonlu Eleman için: 1. Sonlu Eleman için: 3. Sonlu Eleman için:

26. Mesnet Reaksiyonu

27. Örnek 3. Şekilde verilen yapı elemanı yarıçapı lineer değişen bir parça ile sabit yarıçaplı ve dairesel kesit alanlı iki parçadan oluşmaktadır. Bu yapı elemanı üzerinde gösterilen bazı büyüklüklerin değerleri aşağıda verilmektedir. Buna göre verilen yapı elemanını en az sonlu eleman ve lineer şekil fonksiyonları yardımıyla modelleyerek, a)Her sonlu eleman için Eleman matrislerini, b)Her bir nodda yer değiştirmeleri, c)Her sonlu elemanda gerilme fonksiyonunu, d)Mesnet reaksiyonunu bulunuz. Verilenler

28. Örnek 3 (devam)

29. Eleman verileri/matrisleri

30. Eleman verileri/matrisleri Genel sistem: İndirgenmiş sistem: Çözüm:

31. Gerilme Fonksiyonu 2. Sonlu Eleman için: 1. Sonlu Eleman için:

32. Mesnet Reaksiyonu

33. Örnek 4. Şekilde dairesel kesit alanlı bir yapı elemanı verilmektedir. x=0.5m de yay bağlı olup bu noktadaki sınır koşulu ile verilmektedir. Bu yapı elemanı üzerinde gösterilen bazı büyüklüklerin değerleri aşağıda verilmektedir. Buna göre verilen yapı elemanını en az sonlu eleman ve lineer şekil fonksiyonları yardımıyla modelleyerek, a)Her sonlu eleman için Eleman matrislerini, b)Her bir nodda yer değiştirmeleri, c)Her sonlu elemanda gerilme fonksiyonunu, d)Mesnet reaksiyonunu bulunuz. Verilenler

34. Eleman verileri/matrisleri

35. Eleman verileri/matrisleri Genel sistem: İndirgenmiş sistem: Çözüm:

36. Gerilme Fonksiyonu 2. Sonlu Eleman için: 1. Sonlu Eleman için:

37. Mesnet Reaksiyonu

38. Örnek 5. Şekilde dairesel kesit alanlı bir yapı elemanı verilmektedir. Verilen yapı elemanı yarıçapı ile verilmektedir. Bu yapı elemanı üzerinde gösterilen bazı büyüklüklerin değerleri aşağıda verilmektedir. Buna göre verilen yapı elemanını en az sonlu eleman ve lineer şekil fonksiyonları yardımıyla modelleyerek, a)Her sonlu eleman için Eleman matrislerini, b)Her bir nodda yer değiştirmeleri, c)Her sonlu elemanda gerilme fonksiyonunu, d)Mesnet reaksiyonunu bulunuz. Verilenler

39. Örnek 5 (devam)

40. Eleman verileri/matrisleri

41. Eleman verileri/matrisleri Genel sistem: İndirgenmiş sistem: Çözüm:

42. Gerilme Fonksiyonu 2. Sonlu Eleman için: 1. Sonlu Eleman için:

43. Mesnet Reaksiyonu