SYSTEMES D’EQUATIONS

1. SYSTEMESD’EQUATIONS Type d ’activité : leçon illustrée Bruno DELACOTE Collège de MASEVAUX

2. Conseils et méthode de travail Touches retour page Sommaire précédente Une feuille s’ouvre sur une ou plusieurs questions : A chaque clic tu obtiendras des aides ou des indications et finalement la solution. Il faut absolument éviter de cliquer trop rapidement Prépare l’exercice avant de visionner la solution. Vérifie (sans tricher !) Si tu as commis des erreurs, neles corrige pas avant d ’avoir compris pourquoi tu t’es trompé.

3. Sommaire Enoncé d ’un exercice Traduction du problème Méthode de résolution par substitution Méthode de résolution par combinaisons linéaires Méthode de résolution graphique

4. Position du problème : certains exercices nécessitent l ’emploi de plusieurs variables inconnues. Celles-ci apparaissent alors dans plusieurs équations qui composent le système. Exercice : 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.

5. Exercice :550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle. Exemple de rédaction : J ’appelle x le nombre d ’adultes qui ont et y le nombre d ’enfants qui ont assisté au spectacle. Je traduis l ’énoncé : 550 personnes ont assisté à un spectacle x + y =550 Les enfants paient demi tarif : donc 8€ par enfant, l ’ensemble des y enfants a payé 8y € l ’ensemble des x adultes a payé 16x € 16x + 8y = 6960€

6. 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle. Ces équations traduisent ce problème, pour indiquer qu’elles forment un système on place une accolade. x + y =550 16x + 8y = 6960 Il existe trois méthodes de résolution : - par substitution, - par combinaison linéaires - en utilisant un graphique.

7. Exercice : 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle . Méthode par substitution principe : on exprime l ’une des inconnues en fonction de l’autre. x + y =550 16x + 8y = 6960 x = 550 - y Puis on remplace l ’inconnue ainsi exprimée dans l ’autre équation. 16x + 8y = 6960 Finalement 16(550 - y) + 8y = 6960 D ’où y = 230 x = 550 -230 =320 320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle.

8. Exercice : 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle . x + y =550 16x + 8y = 6960 x + y =550 2x + y = 870 Astuce de calcul... On divise tous les termes de cette équation par 8. Vérifie que le résultat est identique si on remplace la deuxième équation par 2x + y =870 x = 550 - y 2x + y = 870 2(550 - y) + y = 870 320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle . D ’où y = 230 x = 550 -230 =320

9. 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle. Méthode par combinaisons linéaires principe : on construit deux combinaisons linéaires qui permettent d ’éliminer alternativement chaque inconnue. Il est conseillé de regrouper tous les termes de chaque équation dans un seul membre. x + y =550 16x + 8y = 6960 x + y -550 = 0 16x + 8y - 6960 = 0 Pour éliminer x je calcule 16( x + y - 550) - (16 x + 8y -6960) = 0 ( 16 x 0 - 0 = 0 )

10. Exercice :550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle. x + y =550 16x + 8y = 6960 Pour éliminer y je calcule 8( x + y - 550) - (16 x + 8y -6960) = 0 Pour éliminer x je calcule 16( x + y - 550) - (16 x + 8y -6960) = 0 8x + 8 y - 4400 - 16x - 8y + 6960 = 0 -8x + 2560 = 0 x = -2560 / (-8) x = 320 16x + 16 y - 8800 - 16x - 8y + 6960 = 0 8y - 1840 = 0 y = 1840 / 8 y = 230 320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle.

11. 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes.Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle. x + y =550 2x + y = 870 x + y =550 16x + 8y = 6960 Astuce de calcul... On divise tous les termes de la deuxième équation par 8. Vérifie que le résultat est identique si on remplace la deuxième équation par 2x + y =870 Pour éliminer x je calcule 2( x + y - 550) - (2 x + y -870) = 0 Pour éliminer y je calcule ( x + y - 550) - (2 x + y - 870) = 0 320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle.

12. Exercice :550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle. x + y =550 16x + 8y = 6960 16 x + 8y =6960 est une équation dont on peut diviser tous les termes par 8 ! Elle s ’écrit alors2x + y = 870 ou encore y = 870 - 2x Par ailleurs x + y = 550 peut s’écrire y = 550 - x Nous allons donc rechercher graphiquement les coordonnées du point d ’intersection des droites qui ont pour équations : y = 870 - 2x et y = 550 - x

13. Nous allons rechercher graphiquement les coordonnées du point d ’intersection des droites qui ont pour équations y = 870 - 2x et y = 550 - x Conseils : si l ’énoncé n’impose pas d’unité, il faut réfléchir ! Comment choisir des unités adaptées dans un repère bien placé ? Dans cet exercice x et y désignent un nombre d ’entrées. Ce sont donc des nombres positifs et les axes seront disposés en bas à gauche d ’une feuille de papier ( millimétré de préférence. ) Les valeurs possibles de y sont comprises entre 0 et 550 . Les valeurs possibles de x sont comprises entre 0 et 435. ( 870 / 2 = 435 )

14. y = 870 - 2x et y = 550 - x sont les équations de deux droites Tracer ces deux droites dans un repère placé en bas, à gauche d ’une feuille de papier millimétré, prendre 1 cm pour 25 entrées. Conseils : aucune méthode n ’est imposée, MAIS à titre de révision vous pouvez tracer la première droite à l ’aide de la méthode des trois points. Et la seconde en utilisant la méthode de la pente et de l ’ordonnée à l ’origine.

15. La droite d ’équation y = 550 - x a pour pente -1 et pour ordonnée à l ’origine 550 donc y nombre d ’entrées enfant 650 600 550 500 450 La droite d ’équation y = 870 - 2x passe par les points : si x =200 alors y =470 400 350 300 250 200 150 100 50 si x =300 alors y =270 si x =100 alors y =670 donc x nombre d ’entrées adulte 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Si le graphique est bien fait on retrouve : 320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle.