Exponenciális egyenletek

1. Exponenciális egyenletek Készítette: Horváth Zoltán

2. 1. feladat • Vegyük észre, hogy a 16-t felírhatjuk 2 hatványaként! • Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik.

3. 2. feladat • Vegyük észre, hogy a 27-t felírhatjuk 3 hatványaként! • Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik.

4. 3.a feladat • Vegyük észre, hogy a 27-t felírhatjuk 3 hatványaként! • Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik.

5. 3.b feladat • Írjuk fel 512-t2 egészkitevőjű hatványaként! • Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik. • Vagyis:

6. 3.c feladat • Írjuk fel 343-t7 egészkitevőjű hatványaként! • Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik. • Vagyis:

7. 3.c feladat • Írjuk fel 64-t4 egészkitevőjű hatványaként! • Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik. • Vagyis:

8. 3.d feladat • Írjuk fel 1,768-t1,2 egészkitevőjű hatványaként! • Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik. • Vagyis:

9. 4. feladat • Vegyük észre, hogy a 729-t felírhatjuk 3 hatványaként! • Ezt onnan is megtudhatjuk, ha elvégezzük a 729 prímtényezős felbontását! • Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik.

10. 5. feladat • Vegyük észre, hogy a 27-t felírhatjuk 3 hatványaként! • Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik.

11. 5. feladat Vegyük észre, hogy a 9-t felírhatjuk 3 hatványaként! Eközben az egyenlet bal oldalán alkalmazzuk a következő hatványok hatványára vonatkozó azonosságot: (ügyeljünk közben arra, hogy egytagú algebrai kifejezést szorzunk több tagú algebrai kifejezéssel!!!) • Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik.

12. 6. feladat • Vegyük észre, hogy az 1/4-t felírhatjuk 4 hatványaként! • Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik.

13. 7. feladat • Vegyük észre, hogy az 0,01-t felírhatjuk 10 hatványaként! • Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik.

14. 8. feladat • Vegyük észre, hogy a 4-t és a 32-t felírhatjuk 2 hatványaként! • Alkalmazzuk a hatványok hatványozására vonatkozó azonosságot az egyenlet bal oldalára! • Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik.

15. 9. feladat • Nincs megoldása az egyenletnek. • Egy nem zérus alapú hatvány értéke soha sem lehet zérus.

16. 10. feladat • Különböző alapú hatványok értéke azonos kitevővel akkor és csak akkor egyeznek meg, ha a kitevő zérus.

17. 10. Feladat – másik módszer, mellyel azonos alapú hatványokra hozzuk az egyenlet oldalait! • Az előbbi megoldást félre téve osszuk el az egyenletet az egyenlet jobb oldalával! • Alkalmazzuk az azonos kitevőjű hatványok hányadosára vonatkozó azonosságot az egyenlet bal oldalára! • Írjuk fel 1-t az 5/3 hatványaként! • Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik.

18. 11. feladat- Oldja meg az alábbi egyenletet a (Q) racionális számok halmazán! • Vegyük észre, hogy a 81 felírható 3 hatványaként! • Alkalmazzuk az egyenlet jobb oldalán a hatványok hatványozására vonatkozó azonosságot! • Rendezzük x-re az egyenletet! • Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik!

19. 12.FeladatOldja meg az egyenletet a (Q) racionális számok halmazán! • Írjuk fel 1-t 2 hatványaként! • Ez egy másodfokú egyenlet, aminek megoldása: • A feladat megoldása:x=3 és x=4 . • Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is egyenlő.

20. 13.FeladatOldja meg az egyenletet a (Q) racionális számok halmazán! • Írjuk fel 1-t 5 hatványaként! • Ez egy másodfokú egyenlet, aminek megoldása: • A feladat megoldása:x=6 és x=2 . • Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is egyenlő.

21. 14. FeladatOldjuk meg az egyenletet a racionális számok halmazán! • Hozzuk hatványalakra az egyenlet jobb és baloldalán található törteket! • Alkalmazzuk az azonos kitevőjű hatványok hányadosára vonatkozó azonosságot! • Vegyük észre, hogy az egyenlet jobb oldala felírható a 3/2 hatványaként, mert 2/3 reciproka a 3/2! • Alkalmazzuk a hatványok hatványozására vonatkozó azonosságot! • Ha a hatványok alapjai megegyezik, akkor az egyenlőség csak úgy teljesülhet, ha a kitevők is megegyeznek.

22. 15. feladat Oldjuk meg az egyenletet a racionális számok halmazán!

23. 16. Feladat Oldjuk meg az egyenletet a valós számok halmazán! • Az egyenlet bal oldalára alkalmazzuk a következő azonosságot: • Hozzuk az egyenletet egyszerűbb alakra, azaz 23=8. • Végezzük el a kivonást az egyenlet bal oldalán! • Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 7-tel! • Írjuk fel a 16-t 2 hatványaként: 16=24. • Az azonos alapú hatványok akkor egyenlők, ha kitevőjük is megegyezik!

24. 17. Feladat Oldjuk meg az egyenletet a valós számok halmazán! • Az egyenlet bal oldalára alkalmazzuk a következő azonosságot: • Hozzuk egyszerűbb alakra az egyenlet bal oldalát! • Vonjuk össze a 2x-es tagokat! • Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 17/4-gyel! • Írjuk fel a 8-t 2 hatványaként: 8=23 ! • Az azonos alapú hatványok akkor egyenlők, ha kitevőjük is megegyezik!

25. 18. Feladat Oldjuk meg az egyenletet a valós számok halmazán! • Az egyenlet bal oldalára alkalmazzuk a következő azonosságot: • Szorozzuk be az egyenlet minden tagját 5-tel! • Vonjuk össze az 5x-t tartalmazó tagokat! • Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 646-tal! • Írjuk fel az 5-t 5 hatványaként! 51=5 • Az azonos alapú hatványok akkor egyenlők, ha kitevőjük is megegyezik!

26. 19. Feladat Oldjuk meg az egész számok halmazán a következő egyenleteket! • Az egyenlet jobb és bal oldalán különbözőek a hatványok alapjai, viszont a kitevőjük csak annyiban különböznek, hogy egymásnak -1-szerese. • Ekkor átírható az egyenlet jobb oldala a hatványok hatványozására vonatkozó azonosság szerint: • Ha felhasználjuk a negatív kitevőjű hatványokra vonatkozó összefüggést, miszerint:

27. 19. Feladat (2) Oldjuk meg az egész számok halmazán a következő egyenleteket! • Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát -vel! • Használjuk fel az azonos kitevőjű, de különböző alapú hatványokra vonatkozó összefüggést! • Írjuk fel az 1-t 10 hatványaként! • Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik! • amiből következik, hogy: • Mivel ezért ez a megoldása a feladatnak.

28. 20. Feladat Oldjuk meg az egész számok halmazán a következő egyenleteket! • Az egyenlet jobb és bal oldalán különbözőek a hatványok alapjai, viszont a kitevőjük csak annyiban különböznek, hogy egymásnak -1-szerese. • Ekkor átírható az egyenlet jobb oldala a hatványok hatványozására vonatkozó azonosság szerint: • Ha felhasználjuk a negatív kitevőjű hatványokra vonatkozó összefüggést, miszerint:

29. 20. Feladat (2) Oldjuk meg az egész számok halmazán a következő egyenleteket! • Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát -vel! • Használjuk fel az azonos kitevőjű, de különböző alapú hatványokra vonatkozó összefüggést! • Írjuk fel az 1-t 56 hatványaként! • Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik! • amiből következik, hogy: • Mivel ezért ez a megoldása a feladatnak.

30. Mely valós x számok elégítik ki a következő egyenletet: (központi érettségi 1994 „A”/1.) 9 pont Feltételek: Azaz: Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik!

31. Zárójelbontás | - 4x2 | -10x; +18 | :4 Az x = 6, és ez a megoldása az egyenletnek, ami a feltételnek is eleget tesz

32. Exponenciális egyenlőtlenségek Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! Írjuk fel a 8-at 2 hatványaként! A Exponenciális függvény szigorú monoton növekedése miatt: A relációs jel iránya a hatványalapok elhagyásával Nem változik.

33. Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! Írjuk fel a 256-t 4 hatványaként! A Exponenciális függvény szigorú monoton növekedése miatt: A relációs jel iránya a hatványalapok elhagyásával Nem változik.

34. Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! Írjuk fel az -t hatványaként! Az Exponenciális függvény szigorú monoton csökkenése miatt: A relációs jel iránya a hatványalapok elhagyásával megváltozik.

35. Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! Írjuk fel a -t hatványaként! A Exponenciális függvény szigorú monoton csökkenése miatt: A relációs jel iránya a hatványalapok elhagyásával megváltozik.

36. Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! Írjuk fel a 32-t 2 hatványaként! A Exponenciális függvény szigorú monoton növekedése miatt: A relációs jel iránya a hatványalapok elhagyásával Nem változik.

37. Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! Írjuk fel a 32-t 2 hatványaként! A Exponenciális függvény szigorú monoton növekedése miatt: A relációs jel iránya a hatványalapok elhagyásával Nem változik.

38. Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! Írjuk fel a 64-t 2 hatványaként! Exponenciális függvény szigorú monoton növekedése miatt: A Nem változik. A relációs jel iránya a hatványalapok elhagyásával

39. Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! Írjuk fel a 64-t 2 hatványaként! Exponenciális függvény szigorú monoton növekedése miatt: A Nem változik. A relációs jel iránya a hatványalapok elhagyásával