Integer Programming

1. Integer Programming

2. Pendahuluan • Pada kebanyakan permasalahan programa linier adalah diperbolehkannya kondisi non-integer. • Sedangkan beberapa permasalahan akan memberikan arti kalau nilainya adalah integer. • Sebagai contoh adalah dalam menentukan jumlah tenaga kerja, mesin dan kendaraan diperlukan nilai yang integer. • Jika memerlukan nilai integer, cara yang akan digunakan adalah ‘Integer Linier Programming”

3. Integer Programming • Definisi : • Suatu model matematis dari Integer Programming adalah Programa linier dengan penambahan batasan bahwa beberapa atau semua variabel harus bernilai integer. • Limitasi dari Programa Linier adalah • Adanya asumsi divisibilitas, sehingga memerlukan nilai non integer.

4. Kapan Model Integer Diperlukan ? • Produk atau bahan baku tidak dapat dibagi. • Batasan Logikal : \if A then B"; \A or B" • Biaya tetap. • Merupakan bentuk kombinasi (sequencing, allocation) • Dalam keputusan membeli, investasi, sewa atau lainnya.

5. Aplikasi Lain dari Optimasi Integer • Lokasi Fasilitas (Rumkit baru, shopping centers, dll.) • Penjadwalan (Mesin, personnel, projects, sekolah) • Logistics (material- dan warehouse control) • Distribution (transportation of goods, buses for disabled persons) • Production planning • Telecommunication (network design, frequency allocation) • VLSI design

6. Tipe Dari Integer Programming • Pure IP - Semua variable adalah integers. • Mixed IP - Beberapa variable adalah integers. • 0-1 IP – Semua variable harus sama dengan 0 atau 1.

7. LP vs MIP Linear Program Max cx Subject to Ax  b x  0 Mixed Integer Program Max cx + dy Subject to Ax + Gy  b x, y  0 x integer Tipikal Data diasumsikan rational numbers

8. 5 4 3 2 LP Optimal IP Optimal 1 0 1 2 3 Kenapa Integer Programming Sulit • LP optimal tidak perlu IP optimal. • IP optimal tidak lebih baik dari pada LP optimal, kenapa ?

9. Pros and Con Integer Programming • Pros. • Lebih realistis dalam merepresentasikan masalah. • Lebih fleksibel. • Con. • Lebih sulit dalam memodelkan. • Lebih sulit untuk mendapatkan jawabannya. • Tidak dapat dilakukan analisa sensitivitas.

10. Penyelesaian Integer Programming • Enumerasi semua kemungkinan solusi integer. • Tidak effisien dan memerlukan waktu yang cukup besar. • Branch and Bound. • Cara yang effektif untuk mendapatkan solusi integer. • Tahap demi tahap dengan menggambarkan cabang pada solusi yang akan didapatkan nilai integernya.

11. Contoh Tipe Integer Programming Max z = 3x1 + 2x2 st 2x1 + x2 <= 4 (1) x1 + 3x2 <= 5 (2) x1, x2 >= 0 & Integer (3)

12. Solusi Grafis X2 Pure IP : ditambah batasan X1, X2 integer Mixed IP : ditambah batasan X1 atau X2 integer 0-1 IP : ditambah batasan X1, X2 = 0 atau 1 X1

13. Solusi Grafis Pure IP • Penambahan batasan x1, x2 integer • Daerah feasible (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (2,0) Mixed IP • Penambahan batasan x2 integer • Daerah feasible x2 = 0 and x1 <= 2; x2 = 1 and x1<= 3/2 0-1 IP • Penambahan batasan x1, x2 = 0 atau 1 • Daerah feasible (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)

14. Hambatan Dalam Menyelesaikan Permasalahan Integer Programming • Max z = 4x1 + 5x2 • s.t. 2x1 + x2≤ 5 (1) 2x1 + 3x2≤ 5 (2) x1≥ 0 (3) x2≥ 0 (4) x1 dan x2 = integer

15. Hambatan Dalam Menyelesaikan Permasalahan Integer Programming X2 X1

16. Hambatan Dalam Menyelesaikan Permasalahan Integer Programming Nilai optimal dari LP adalah (2.5,0) dengan z =10 • Dibulatkan keatas : (3,0) menjadi infeasible. • Dibulatkan kebawah : (2,0) nilai z =8. Apakah nilai tersebut optimal untuk IP? Bila dibutuhkan nilai x1 and x2 adalah integer. • Daerah feasibel menjadi: (0,0), (0,1), (1,0),(1,1), (2,0) • Nilai optimal IP adalah (1,1)dengan z =9.

17. Penyelesaian I P dengan Branch and Bound Branch and Bound

18. Latihan Max z = 5 x1 + 4 x2 • St x1 + x2<= 5 10 x1 + 6 x2<= 45 x1, x2>= 0 x1, x2 adalah integer