1 / 38

2. Koordináta-rendszerek és transzformációk

2. Koordináta-rendszerek és transzformációk. 2.1. Koordináta-rendszereink 2.2. Az egyenes és sík egyenlete 2.3. Az E. tér projektív lezárása 2.4. Affin transzformációk 2.5. Projektív transzformációk. Mire használjuk?.

beate
Download Presentation

2. Koordináta-rendszerek és transzformációk

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 2. Koordináta-rendszerek és transzformációk 2.1. Koordináta-rendszereink2.2. Az egyenes és sík egyenlete2.3. Az E. tér projektív lezárása2.4. Affin transzformációk2.5. Projektív transzformációk

  2. Mire használjuk? • A grafika transzformációi: - tárgyak elhelyezése, - részek összeállítása - tárgyak valószerű átalakításai (GM), - a tárgyak képe: vetítés síkra - stb.

  3. Milyen transzformációk kellenek? - E 3, illetveH 3 ( H 3= E 3 I ) - minden pontnak van transzformáltja, - H 3 H 3 (kölcsönösen egyértelmű) - pont  pont, - egyenes  egyenes - sík  sík - illeszkedést tartó módon. Kollineációk; a projektív tér projektív transzformációi

  4. Kollineációk - affin és projektív transzformációk 2.4. Affin transzformációk2.5. Projektív transzformációk Más kurzusokon részletesen,itt csak gyakorlati áttekintés;nagyvonalú, szemléletes tárgyalás

  5. Kollineációk (projektív transzformációk) Kollineációk a projektív geometriában . . . Itt: a transzformációk geometriai, szemléletes jelentése . . . A transzformációk számítási eljárásai: Pontok : X’ = M44 X Egyenes: e = ( P, Q ) e’ = ( P’, Q’ ) ; P’ = M44 P , Q’ = M44 Q ( NB. e’ = eM44 -1) Más alakzatoknál is: a meghatározó pontokat . . .

  6. Kétféle tárgyalás H3 kollineációi: { M44 ; det M440}; MmM ;m0 X= [x1, x2, x3, h] T H3; h = 0 | 1;XlX ;l0;X* = [x1, x2, x3, h]; sorvektor !! X’ = MX = … X*’ = X*  M T = … |mmmm||x| |xxxx||mmmm| |mmmm||x|xxxx |mmmm| |mmmm||x| xxx  |mmmm| |mmmm||x| xx  |mmmm| (MX ) T = ( XT MT)

  7. A kollineációk mátrix alakja H3 pontjai: X= [x1, x2, x3, h] T H3; h = 0|1;XlX ;l0; H3 kollineációi: { M44 ; det M440}; MmM ;m0 X’ = M44 X = = (m11 m12 m13 m14)  (x1) = (m11x1+m12x2+m13x3+m14h) = (x1’) |m21 m22 m23 m24||x2||m21x1+m22x2+m23x3+m24h||x2’| |m31 m32 m33 m34||x3||m31x1+m32x2+m33x3+m34h||x3’| (m41 m42 m43 m44) (h) (m41x1+m42x2+m43x3+m44h) (h’)

  8. X’ = M44 X = = (m11 m12 m13 m14)  (x1) = (m11x1+m12x2+m13x3+m14h) = (x1’) |m21 m22 m23 m24||x2||m21x1+m22x2+m23x3+m24h||x2’| |m31 m32 m33 m34||x3||m31x1+m32x2+m33x3+m34h||x3’| (m41 m42 m43 m44) (h) (m41x1+m42x2+m43x3+m44h) (h’) = (m11 m12 m13 m14)  (x1) = m11x1+m12x2+m13x3+m14h = x1’ |x2| |x3| (h)

  9. E3 és H3 kollineációi • H3 kollineációi: a projektív transzformációkcsoportja H 3= E 3 I 3 egy közönséges sík esetleg  I 3és akkor I 3 egy közönséges síkra • E 3 kollineációi: affin transzformációk; alcsoport,E 3 E 3 és I 3 I 3

  10. A következő órákon: Affin transzformációk Párhuzamos vetítés Axonometria Projektív transzformáció Középpontos vetítés Perspektíva

  11. 2.4. Affin transzformációk(a grafikában – szemléletes bevezetés)

  12. Affin transzformációk Szemléletes geometria, illetve. analitikus geometria EnEnpont-, egyenes-, sík- és illeszkedést tartótranszformációk Számolása lineáris transzformációval: P’ = A33· P + dP’ = A34· P x’ = a11 · x + a12 · y + a13 · z + a14 y’ = a21 · x + a22 · y + a23 · z + a24 z’ = a31 · x + a32 · y + a33 · z + a34

  13. Affin transzformáció mátrix-szorzással Homogén mátrix alakja: A44A44 utolsó sora: (0, 0, 0, c) ; c 0 (általában = 1) X = [x, y, z, h] T ; h = 0 | 1 X’ = A44X = (a11 a12 a13 a14 ) (x) = (x’) ; h = 0 | 1|a21 a22 a23 a24| |y| |y’| |a31 a32 a33 a34| |z| |z’| ( 0 0 0 1 ) (h) (h’); h’ = h !!! közönséges pont  közönséges pont, ideális pont  ideális pont: az ideális sík  önmaga.

  14. Affin transzformációk Például: eltolás, forgatás, tükrözés, stb Reguláris affinitások: det A0; EnEn ; n = 2, 3, … (Ha det A= 0 : vetítés egy síkra, vagy más altérre) Szóhasználat: affin transzformáció, affinitás (?), transzformáció, leképezés Pont-transzformáció: alakzatok pontjaitKoordináta-rendszer transzformáció: áttérés új KR-reA tér leképezése egy másik térre pl. VKR  KKR

  15. Affin transzformációk Vizsgálata: particionálás (darabolás), felbontás (szorzattá alakítás) A mátrix megadása: geometria jelentése alapján:szemléletes elemi affinitások szorzataként vagy 4 meghatározó pont-párból: a „határozatlan együtthatók módszere”

  16. A mátrix vizsgálata Az affin transzformáció mátrixa előállítható:P’ = AP= ( N  S  O  T)Palakban;O=R1R2R3 A mátrix jellemző elemei:A44 = (sx a12 a13dx ); det A 0 ; > 1 | < 1|a21sy a23dy||a31 a32sz dz| ( 0 0 0 1 )

  17. Affin transzformáció megadása: 4-4 pont E 3 egy affinitását meghatározza 4 „független” pont és képe.(E 2 -ben 3) „független”: kifeszítik a teret egyik három sem esik egy egyenesbe.

  18. Pl.: Izometria - 4 független pont és képe: {OABC}  {O’ A’ B’ C’} 0 1 0 0 0 –f f 0 0 0 1 0 0 –g –g h 0 0 0 1 m 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1a = OA = 1, AB = 2 f = AB/2 = 2/2,g = AB(3/2)/3,h = 2g;m = akármi, de  0

  19. „Elemi” affin transzformációk „elemi”: szemléletes jelentés, egyszerű mátrixa Eltolás (T) , forgatás (R), léptékezés (S) , nyírás (N) Tükrözés, báziscsere, Tétel: Ha A affin traanszformáció, akkor van olyan T, R1, R2, R3, S, N, a amelyekkel: A = NSOT; O = R1R2R3 azaz: P’ = A  P = (NSOT)  P Minden A ilyenekből áll !

  20. Egyszerű affinitások: 1. Eltolás Adott: d = (dx, dy, dz) eltolás-vektor Minden pontra:X’ = X + d = (x + dx, y + dy, z + dz) d X’ = T X=(X + d) (x’)=( 1 0 0 dx )·(x) = ( x + dx )|y’|| 0 1 0 dy| |y| | y + dy ||z’|| 0 0 1 dz| |z| | z + dz |(1 )( 0 0 0 1) (1) ( 1 ) T2 (T1 P) = (T2 T1) P = T3 P

  21. Az eltolások kommutatív csoportja: Művelet: konkatenáció (egymásután) ~ szorzás Az (eltolásokra a) szorzás kommutatív: egységeleme: null-eltolás inverze: ellentétes eltolás: T2 (T1 P) = (T2 T1) P = T3 P = (T1 T2) P KR eltolása (a tárgyakhoz képest) ( dx, dy, dz) –velA tárgyak eltolása (-dx, -dy, -dz) –vel (az eredeti KR-ben)

  22. Egysz. aff. 2. Forgatás a Z tengely körül x’ =x  cos a - y  sin ay’ =x  sin a + y  cos az’ =z; A síkban: a kezdőpont (origó) körül: a 3. sor és 3. oszlop nélkül a Z tengely körüli forgatások kommutatív csoportja: Ortonormált transzformáció, determinánsa 1. Rz= (co–si 0 0 ) |sico 0 0 | | 0 0 1 0 | ( 0 0 0 1 ) co = cosasi = sin a

  23. Forgatás az X és az Y tengely körül x’ =x y’ = y  cos a - z  sin az’ =y  sin a + z  cos a illetve:x’ =x  cos a – z  sin ay’ =yz’ = x  sin a + z  cos a egyazon tengely körüli forgatások kommutatív csoportot alkotnak Rx= (1 0 0 0) |0 co –si 0| |0 si co 0| (0 0 0 1)Ry= (co 0 –si 0) |0 1 0 0| |si 0 co 0| ( 0 0 0 1)co = cos a si = sin a

  24. Forgatás és eltolás egymásutánja Egy pont: P(1,1) egy forgatás: R(-900) (CLW)egy eltolás: T(1,1)T P = (2,2); (RT)  P = (2,-2)R  P = (1,-1); (TR)  P = (2,0) (RT) ≠(TR)

  25. Forgatások a térben Forgatás az origón átmenő (ferde) tengely körül: A ferde tengelyt (a terem sarkán át) 1. a Z-tengely körül a ZY síkba : R z 2. itt az X körül az Y-tengelybe : R x3. Az Y körül a kívánt forgatást: R y (a) 4-5. Végül az első két forgatás fordítottját (fordított sorrendben). X’ = R* X = [ (R z-1  R x-1) R y(a) (R x  R z) ] X Z Y X

  26. Forgatások a térben - 2 Forgatás tetszőleges tengely körül. A tengely (egy pontját) eltoljuk O-ba: T és ekörül forgunk (mint előbb): R*(a) Végül az eltolás fordítottja: X’ = (T-1 R*(a) T) X Transzformációk megadása: szemléletes elemi geometria transzformációk sorozatával !!

  27. Egyszerű. aff.: Áttérés új KR-re; báziscsere KR-transzformáció egy új KR tengelyirányai: u, v, w egységvektorok. X’ = B X B =(uxuyuz 0) x’ = uxx + uyy + uzz |vxvyvz 0| y’ = vxx + vyy + vzz |wxwywz 0| z’ = wxx + wyy + wzz (0 001) Az origó áthelyezésével a ( cx, cy, cz) pontba:X’ = ( T(-cx, -cy, -cz) B)X

  28. Egysz.aff.: 3. Léptékezés (skálázás) Léptékezés (skálázás) az origóból kiindulva: X’ = S X S = ( sx 0 0 0 ) x’ = sx x | 0 sy 0 0 | y’ = sy y | 0 0 sz0 | z’ = sz z ( 0 0 0 1 ) Determinánsa: D = sx sy sz ; (egyik sem nulla). Egyenletes (izotrop) léptékezés, ha sx= sy= szEgyenlőtlen (anizotrop), ha különbözőek

  29. Tükrözések: si < 0 x’ = -1 · x, y’ = y, z’ = z : tükrözés az YZ síkra. Tükrözések: S(1,1,1) Ha 1 tényező negatív: tükrözés koordináta-síkra, (det = -1)ha 2 koordináta tengelyre, (det = +1)ha 3 a kezdőpontra. (det = -1) Ha det = -1, a tér irányítása megfordul ! Általános helyzetű tükrözés:X’ = (ÁTHELYEZÉS -1 TÜKRÖZÉS  ÁTHELYEZÉS )  X Mozgatás: eltolások és forgatások; méret és alaktartó

  30. Egysz.aff.: 4. Nyírás Merev test alakjának változása terhelés hatására. Az „elcsúszó kártyacsomag” Az XZ síkkal párhuzamosan, X irányban, az y összetevővel arányos nyírás: x’ = x + a  y ; X’ = NxyX; Nxy= (1 a 0 0 ) y’ = y| 01 0 0 | z’ = z| 00 1 0 | (00 0 1 ) Nyírás a tengelyek más szereposztásával: más háromszög mátrix

  31. Tengelycsere (A teljesség kedvéért :) Permutációs mátrixok; például:( 1 0 0 0 )· [ x ] = [ x ]| 0 0 1 0 | | y | | z || 0 1 0 0 | | z | | y |( 0 0 0 1 ) [1 ] [ 1] az Y és Z tengelyt fölcseréli determinánsa = -1 !!!

  32. Az affin transzformációk néhány tulajdonsága A baricentrikus koordináták affin-invariánsak: ha R valamilyen t-vel: R = (1 - t) P + t Q, és (P’Q’ R’) = (PQR)A, akkor ugyanezen t-vel: R’= (1 - t) P’ + t Q’ Az egyenes pontjainak osztóviszonya affin invariáns: (PQR) = PR / RQ; R Q , (P’Q’R’) = (PQR); Párhuzamos szakaszok hossza egyforma arányban változik: P’Q’ / PQ = R’S’ / RS (Különböző irányokban az arány különböző lehet)

  33. Az affin transzformációk osztályozása csoportot alkotnak Alcsoport: hasonlósági transzformációk :T  R S(s,s,s) Alcsoport: mozgás transzformációk :T  R= egybevágósági transzformációk „Másodfajú” egybevágóság: a tükrözés is. Ha det A= 0: a tér vetítése egy síkra, vagy egyenesre

  34. Elhelyező transzformáció: hasonlóságSKR  VKR;M = T SR

  35. Affin transzformáció megadása: 4-4 pont E 3 egy affinitását meghatározza 4 „független” pont és képe.(E 2 -ben 3) „független”: kifeszítik a teret egyik három sem esik egy egyenesbe.

  36. Pl.: Izometria - 4 független pont és képe: {OABC}  {O’ A’ B’ C’} 0 1 0 0 0 –f f 0 0 0 1 0 0 –g –g h 0 0 0 1 m 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1a = OA = 1, AB = 2 f = AB/2 = 2/2,g = AB(3/2)/3,h = 2g;m = akármi, de  0

  37. A határozatlan együtthatók módszerével: A44 ( OABC ) := ( O’A’B’C’) !( a11 a12 a13 a14 )( 0 1 0 0 ) = | a21 a22 a23 a24| | 0 0 1 0 | | a31 a32 a33 a34| | 0 0 0 1 | ( 0 0 0 1 )( 1 1 1 1 ) = ( a14 a11+a14 a12+a14 a13+a14 ) := ( 0 –f f 0 ) | a24 a21+a24 a22+a24 a23+a24 | | 0 –g –g h | | a34 a31+a34 a32+a34 a33+a34 | | m 0 0 0 | ( 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 ) 3 x 4 = 12 egyenlet, 12 ismeretlen: aik Van megoldás, ha det A44 0 (ha független pontok)

  38. Összefoglalás X’= M·X kollineációk Affin transzformációk; M utolsó sora: [0, 0, 0, 1] különben: Projektív transzformációk Affin transzformációk: EnEn és InIn Eltolás, forgatás, léptékezés, nyírás van bennük Projektív transzformációk: eltűnő sík

More Related