Graficaci ón IA7200-T

1. GraficaciónIA7200-T Bases Matemáticas

2. Vectores Producto interno Determinantes Producto vectorial Orientación de 3 puntos Polígonos Punto en un triángulo/polígono/línea Distancia/proyección entre punto y línea Triangulación de polígonos Bases Matemáticas

3. Concepto matemático de vector ≠ Java Vector. Los vectores no se alteran por translaciones a=b Vectores

4. c=a+b |a|=longitud de a 0=vector cero |0|=0 -a: |-a|=|a|, dir. op. ca: |ca|=c|a| Dirección de a si c>0 Opuesta si c<0 Vectores

5. Vectores i, j yk - vectores ortogonales unitarios Sistema derecho: rotación de i en la dirección de j corresponde a girar un tornillo derecho, así k tiene la dirección en que el tornillo avanza

6. Cualquier vector puede expresarse como: v=xi+yj+zk Se escribe: v=[x,y,z]=(x,y,z) Vectores

7. Producto Interno a  b = |a| |b| Cos γ Si a,b ≠ 0 a  b = 0 otro caso i  i = j  j = k  k = 1 i  j = j  i = j  k = k  j = k  i = i  k = 0 |a| = √(a  a)

8. Producto Interno c(k uv) =ck(uv) (cu+kv)w = cuw+kvw uv=vu uu=0 solo si u=0 u = [u1 u2 u3] y v = [v1 v2 v3] uv = u1v1+u2v2+u3v3

9. Determinantes

10. Determinantes

11. Determinantes Donde Mij (menor), se obtiene de D borrando el renglón i y la columna j.

12. Determinantes - Propiedades

13. Determinantes - Propiedades

14. Determinantes - Aplicación Elegancia: Ecuación de línea que pasa por P1(x1, y1) y P2(x2, y2) Ecuación del plano que pasa por P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) y P3(x3, y3, z3)

15. Determinantes - Aplicación

16. Determinantes - Aplicación

17. Producto Cruz v = a × b |v| = |a| |b| Sen γ Si a = cb, c escalar, v = 0

18. Producto Cruz - Propiedades

19. Producto Cruz

20. Orientación de 3 Puntos ¿(A, B, C) giran con o contra el reloj? • 1 -1 • 0 si son colineales

21. Orientación de 3 Puntos • Definimos: • a = CA • b = CB • Si podemos girar a <180° y llegar a b, es positiva

22. Orientación de 3 Puntos Si a y b terminan en (a1, a2,0) y (b1, b2, 0), respectivamente

23. Orientación de 3 Puntos Solución 2D: α ángulo entre a y x+ β ángulo entre b y x+ Respuesta: (β – α) < 180°

24. Polígonos • Secuencia de puntos • n>=3 • sin intersección • vértices sucesivos no colineales Convexos: ángulos interiores < 180° Cóncavos: no convexos

25. Polígonos - Area |a×b| = área del paralelogramo formado por a y b 2 área del triángulo formado por a y b Válido solo si A,B,C van contra el reloj. Si no, tomar el valor absoluto.

26. Polígonos - Area En general, para cualquier polígono, cóncavo o convexo:

27. Punto dentro de un Triángulo P está dentro de ABC si la orientación de ABP, BCP y CAP es la misma que la de ABC

28. Punto dentro de un Polígono • Trazar una semilínea: • True si el número de intersecciones es impar • False si el número de intersecciones es par • Ignorar: • Horizontales • Máximos • Mínimos

29. Punto dentro de un Polígono Para ignorar horizontales, máximos y mínimos, incrementar intersecciones si el lado del vértice i al i+1 cumple con: Considerar el segmento AB solo si está a la derecha de P. ABP va contra el reloj.

30. Punto en una Línea Para saber si P está en la línea verificamos que P satisfaga la ecuación Si se trata de un segmento de línea AB: { =

31. Distancia de un Punto a una Línea

32. Distancia de un Punto a una Línea Si la ec. de la línea es Donde Entonces Donde

33. Distancia de un Punto a una Línea

34. Proyección de un Punto en una Línea • Dados L y P (no en L), determinar la proyección, P’, de P en L. • P’ tiene las siguientes propiedades: • P’ es el punto mas cercano a P en L • La long. de P P’, es la distancia de P a L • P P’ y L son perpendiculares

35. Proyección de un Punto en una Línea Vector unitario en dir. AB: La long. de AP’:

36. Proyección de un Punto en una Línea

37. Triangulación de Polígonos • Dado un polígono almacenado en un vector de n puntos (ccw), se desea dividirlo en triángulos. • El resultado se almacena en un vector de n-2 triángulos. • Repetir n-2 veces: • Recorrer los vértices del polígono ccw. • Para cada tres vértices P, Q y R, donde Q es convexo • Cortar el triángulo PQR si no contiene ningún otro vértice

38. Triangulación de Polígonos

39. Triangulación de Polígonos Ver Myprog15