Pre-algebra

1. Pre-algebra Antonín Jančařík

2. Vztahy

3. Binární relace na množině • Binární relace je uspořádána dvojice [AxA, R], kde A je libovolná množina a R je podmnožina kartézského součinu AxA.

4. Vlastnosti binární relace na množině • Symetrická • Tranzitivní • Reflexivní Další relace mohou být odvozeny z těchto: • Antisymetrická • Antireflexivní

5. Symetrická relace • Symetrická relace představuje vzájemný vztah. • Symetrická pokud platí (x R y), pak (y R x).

6. Tranzitivní relace • Tranzitivní relace představuje přenos vztahu. • Relace je tranzitivní pokud z (x R y) a současně (y R z), vyplývá (xRz). • Příkladem je uspořádání.

7. Reflexivní • Reflexivní relace představuje vztah sama se sebou. • Relace je reflexivní pokud pro všechny x patřící X platí (x R x).

8. Předpona anti- • Předpona anti- znamená protiklad. • Opak není negací. • Tedy antisymetrie je opakem symetrie. • Antireflexivita je opakem reflexivity. Někdy se používá asymetrie, areflexivita. Různí autoři definují tyto pojmy různě.

9. Antisymetrie • Vztah není nikdy opětován. • Relace je antisymetrická pokud (xRy) a současně (yRx), pak platí x = y.

10. Silná antisymetrie • Relace je silně antisymetrická pokud (xRy), pak neplatí (yRx). • Pro takovou vlastnost někteří autoři používají název asymetrie.

11. Antireflexivní • Nebýt ve vztahu sám se sebou. • Relace je antireflexivní, pokud pro žádné x neplatí (xR x). • Příkladem je uspořádání.

12. Relace ekvivalence  • Relaci, která je reflexivní, symetrická, a tranzitivní nazýváme relace ekvivalence. • V rámci relace ekvivalence se vytváří množiny prvků, v rámci níž mají všechny prvky vztah se všemi. • Tyto množiny se nazývají rozkladové třídy.

13. Rozkladové třídy ekvivalence • Relace mít stejnou barvu. • Třídy ekvivalence jsou reprezentované jednotlivými barvami. • Místo třídy můžeme brát jejího reprezentanta. • Množina rozkladových tříd.

14. Extrémní relace • Prázdná relace • Univerzální relace • Relace s jediným vztahem • …

15. Zápisy relace {(Douglas,Heather),(Heather,Claudia),(Claudia, Heather), ….

16. Různé pohledy na relace • Pokud na relaci nahlížíme jako na množinu, můžeme s relacemi provádět i množinové operace – sjednocení, průnik. • Pokud na relace nahlížíme jako na zobrazení, můžeme s nimi provádět i příslušné operace – skládat relace.

17. Průnik relací • Průnik symetrických relací je symetrická relace. • Průnik tranzitivních relací je tranzitivní relace. • Průnik reflexivních relací je reflexivní relace. • Průnik ekvivalencí je ekvivalence.

18. Sjednocení relací • Sjednocení symetrických relací je symetrická relace. • Sjednocení tranzitivních relací nemusí být tranzitivní relace. • Sjednocení reflexivních relací je reflexivní relace.

19. Tranzitivní uzávěr • Tranzitivní uzávěr binární relace R je definován jako nejmenší (z hlediska množinové inkluze) tranzitivní nadmnožina R. • Matematicky vyjádřeno, pro tranzitivní uzávěr R' binární relace R platí:

20. Uspořádání • Pomocí relací můžeme také prvky uspořádávat. • Existují různé druhy upořádání. • Částečné uspořádání. • Úplné uspořádání. • Dobré uspořádání.

21. Částečné uspořádání • Relaci, která je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní nazýváme částečné uspořádání. • Mohou existovat nepoměřitelné prvky. • Do obrázku ještě patří reflexivita.

22. Úplné (lineární) uspořádání • Úplné (lineární) uspořádání je pojem, který formálně zachycuje intuitivní představu o prvcích množiny, které jsou seřazeny „jeden za druhým“. To mimo jiné znamená, že každé dva prvky lineárně uspořádané množiny jsou porovnatelné. • Jedná se o částečné uspořádání, které je trichotomické, tzn.

23. Hasseův diagram • V matematické disciplíně teorie uspořádání se používá Hasseův diagram (pojmenovaný po Helmutu Hasseovi) k zobrazení konečné částečně uspořádané množiny. Konkrétně pro uspořádanou množinu (S,≤) reprezentujeme v Hasseově diagramu každý prvek množiny S jako vrchol grafu. Dva vrcholy se spojí čarou (hranou) vedenou zdola nahoru od x k y, jestliže x < y a neexistuje takové z, že x < z < y (zde je < binární relace získaná z ≤ odejmutím prvků (x,x) pro každé x). Říkáme také, že y pokrývá x nebo že y je bezprostřední předchůdce prvku x. Vrcholy grafu musí být umístěny tak, aby každá hrana spojovala právě dva vrcholy.

24. Helmut Hasse • 1898-1979 • Německý matematik pracující v algebraické teorii čísel a mnoha dalších oblastech matematiky.

25. Dělitelé 60

27. Jordanova-Dedekindova podmínka • Uspořádaná množina splňuje Jordanovu-Dedekindovu podmínku, mají-li všechny konečné maximální řetězce spojující kterékoli dva pevně zvolené prvky touž délku.

28. Richard Dedekind • 1831-1916 • Německý matematik, který proslul v oboru algebry a teorie čísel. K jeho nejznámějším počinům patří konstrukce množiny reálných čísel.

29. Reálná čísla • Během svého působení v Curychu přišel Dedekind s myšlenkou konstrukce množiny reálných čísel, které dnes říkáme Dedekindův řez. Její základní myšlenka je takováto: • Rozdělíme-li všechny body přímky do dvou tříd tak, aby každý bod první třídy ležel vlevo od každého bodu druhé třídy, pak existuje právě jediný bod, který toto rozdělení všech bodů do dvou tříd, resp. rozříznutí přímky na dva kusy vytváří. • Řečeno populárnějším jazykem, číselná osa není "děravá", každý její bod je buď racionální anebo iracionální číslo..