Pre-algebra

1. Pre-algebra Antonín Jančařík

2. Binární relace • Obecně je binární relace vztah (relace) prvků jedné množiny k prvkům v množině druhé. • Binární relace je uspořádána trojice [A, B, R], kde A a B jsou libovolné množiny a R je podmnožina kartézského součinu . Množině A se říká definiční obor, množině B obor hodnot a množinu R nazýváme graf relace. • Velice často se setkáváme s relací na množině, kdy množiny A i B jsou si rovny.

3. Zobrazení • Zobrazení (funkce) množiny A do množiny B je relace mezi těmito množinami taková, že každý prvek z A je v relaci správě jedním prvkem z množiny B. • Definiční obor D(f)={x z A; existuje y z B, tak že f(x)=y} • Obor hodnot H(f)={x z B; existuje y zA, tak že f(y)=x}

4. Ukázky

5. Ukázka zobrazení

6. Prosté zobrazení • Zobrazení f:A  B se nazývá prosté, právě tehdy když každým dvěma různým vzorům patří dva různé obrazy.                                                                                                 . Prosté zobrazení se také nazývá injektivní, nebo zkráceně injekce.

7. Zobrazení Na • Zobrazení f:A  B se nazývá na, právě tehdy když prvek z B má nějaký vzor. • Teda H(f)=B. • Zobrazení na se také nazývá surjektivní zobrazení.

8. Vzájemně jednoznačné zobrazení • Zobrazení f:A  B se nazývá vzájemně jednoznačné, právě tehdy když prvek je zároveň prosté a na. • Vzájemně jednoznačné zobrazení se také nazývá bijektivní, nebo zkráceně bijekce.

9. Inverzní zobrazení • Inverzní zobrazení k nějakému zobrazení přiřazuje prvky z množiny B prvkům množiny A, tedy obrazům zobrazení f jejich vzory. Laicky řečeno, inverzní zobrazení zobrazuje „opačným směrem“ než původní zobrazení. • Inverzní zobrazení lze dělat k bijekci. • f-1(b)=a, právě tehdy když f(a)=b.

10. Mohutnost množin • Říkáme, že dvě množiny mají stejnou mohutnost (jsou ekvivalentní), jestliže existuje alespoň jedno vzájemně jednoznačné zobrazení: f: AB.

11. Nekonečná množina • Množina M je nekonečná, jestliže existuje její podmnožina A, různá od M, taková, že A a M mají stejnou mohutnost. • Množiny, které nejsou nekonečné, se nazývají konečné.

12. Spočetné a nespočetné množiny • Množina, která má stejnou mohutnost, jako nějaká podmnožina přirozených čísel, se nazývá spočetná. • Množina, která není spočetná, se nazývá nespočetná.

13. Posloupnost • Nekonečná posloupnost prvků množiny M je každé zobrazení f z množiny přirozených čísel do množiny M. • Zkráceně zapisujeme (m1,m2,m3,…) • Nebo také (mi).

14. Podobné zobrazení • Nechť (A,U), (B,V) jsou dvě uspořádané množiny a. Říkáme, že f:AB je podobné (zachovává uspořádání), jestliže pro libovolná a,b z A platí: • Pokud aUb, tak i f(a)Vf(b).

15. Homomorfismus • Homomorfismus je zobrazení z jedné algebraické struktury do jiné stejného typu, které zachovává veškerou důležitou strukturu. • Pro odpovídající operace fA, fB tedy platí:                                                                                                      . Obdobně musí zobrazení zachovávat i relace.

16. Typy morfismů • izomorfismus je bijektivní homomorfismus (prostý a na) • epimorfismus je surjektivní homomorfismus (na) • monomorfismus je injektivní homomorfismus (prostý) • endomorfismus je homomorfismus z objektu do sebe sama • automorfismus je endomorfismus, který je také izomorfismem.

17. Izomorfismus • Izomorfismus je matematický pojem z oboru algebry a teorie množin, který představuje určité zobrazení mezi dvěma množinami, pomocí kterého můžeme mezi nimi beze ztráty jakékoliv informace libovolně přecházet. Jinými slovy, každému prvku množiny jedné odpovídá právě jeden prvek množiny druhé a to včetně zachování veškerých jeho strukturálních vlastností (vztahů k ostatním prvkům). • Pokud takové zobrazení existuje (tedy jsou množiny izomorfní), jsou takové množiny z pohledu algebry nerozlišitelné. • Izomorfismu tedy znamená něco jako stejné.