Spieltheoretische Koalitionsverhandlungen

1. Spieltheoretische Koalitionsverhandlungen Thema: Agentenbasierte Koalitionsverhandlungen Paper: Coalitions among Computationally Bounded Agents

2. Themen • Grundlagen • Bedingungen für Koalitionsstrukturen • Core- Stabilität der Koalitionsstrukturen • Stabilität von Koalitionsstrukturen Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

3. Grundlagen • Set aller Agenten: A • niedrigste Kosten, die eine Gruppe S erzielen kann: • Charakteristische Funktion, Wert einer Koalition S angibt: • Auszahlung eines Agenten i: xiЄR • Allgemeinwohl ist die Summe der Auszahlung aller Agenten • wenn für alle disjunkte Koalitionen gilt: dann ist das Spiel superadditiv sonst: ist das Spiel subadditiv Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

4. Grundlagen • Agenten koordinieren ihre Berechnungen und Weltaktionen innerhalb jeder Koalition • keine Koordination zwischen Koalitionen • In verteilten, kooperativen Problemlösungssystemen bestimmt ein Designer ein Interaktionsprotokoll und eine Strategie • Frage: welche Struktur bei gegebenem Protokoll und Strategie • In Multiagentensystemen können die Agenten jedoch ihre eigene Strategie auswählen • Selbstorientierte Agenten wählen die beste Strategie, für sich selbst • Frage: Bei gegebenem Protokoll, welche Struktur entsteht, die garantiert, dass die lokale Strategie eines jeden Agenten am besten für ihn ist? • Diese Strategie wird somit von diesem Agenten benutzt. Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

5. Grundlagen Core Wert jeder Teilgruppe S an Agenten ist nicht größer als die Summe der Auszahlungen der Agenten in CS perfekte Rationalität: Algorithmen, die die optimale Lösung mit Null Berechnungskosten finden • Rationalität der Agenten ist jedoch durch die Berechnungskomplexität begrenzt • bei harten Problemen entstehen nicht zu begründende Kosten für die optimale Lösung • Folge: Qualität der Lösung wird gegen ihre Berechnungskosten aufgewogen • Erweiterung der klassischen Spieltheorie, die perfekte Rationalität annimmt Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

6. Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

7. Modell der beschränkten Rationalität • Berechnungsgrenzen quantitativ modelliert: Berechnungskosteneinheiten: ccomp ≥ 0 pro CPU Time Koalitionkosten von S, nachdem Berechnungsressourcen rS verbraucht wurden: cS(rS) ≥ 0 cS(rS) entspricht dem Leistungsprofil für den Problemlösungsalgorithmus Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

8. Modell der beschränkten Rationalität • Jede Koalition minimiert die Summe aus den Koalitionskosten und den Berechnungskosten Wert einer Koalition S: vS(ccomp)= minrS[cS(rS) + ccomp * rS] • Dieser Wert sinkt mit steigenden Berechnungskosten ccomp Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

9. Beispiele vS(ccomp)= minrS[cS(rS) + ccomp * rS] Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

10. Koalitionen für das Allgemeinwohl beschränkt rational superadditives Spiel (BRSUP) Wenn für alle disjunkte Koalitionen und Berechnungskosteneinheit ccomp gilt: dann ist das Spiel BRSUP • BRSUP Spiele sind immer Spiele, bei denen die große Koalition {A} das Algemeinwohl maximiert • bei gegebenen ccomp kann ein Spiel entweder superadditiv, BRSUP, beides oder keines von beiden sein Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

11. Koalitionen für das Allgemeinwohl beschränkt rational subadditives Spiel (BRSUB) Wenn für alle disjunkte Koalitionen und Berechnungskosteneinheit ccomp gilt: dann ist das Spiel BRSUB • In BRSUB Spielen arbeiten die Agenten am besten alleine. • {{a1},{a2},{a3},…,{a|A|},} maximiert das Algemeinwohl • nur einige nicht-BRSUP Spiele sind beschränkt rational subadditiv Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

12. Beispiel vS(ccomp)= minrS[cS(rS) + ccomp * rS] Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

13. Koalitionen für das Allgemeinwohl • Wenn die Leistungsprofile cS(rS) und die Berechnungskosten ccomp bekannt sind, kann man den Ertrag einer jeden Koalitionsstruktur über ihre Koalitionen berechnen mit: vS(ccomp)= minrS[cS(rS) + ccomp * rS] • Es gibt jedoch einige generelle Ergebnisse, die diese Aufzählung über alle Koalitionen unnötig machen Frage: Welche Leistungsprofile machen ein Spiel zu einem BRSUP oder BRSUB Spiel für beliebige Berechnungskosteneinheiten • Bei Ausführungen auf remote Rechnern sind die Berechnungskosten unbekannt Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

14. Garantie für Zusammenschlüsse • Hilfe bietet Theorem 3.1, dass eine hinreichende Bedingung darstellt, die garantiert, dass 2 beliebige, disjunkte Koalitionen unabhängig von den Berechnungskosteneinheiten ccomp fusionieren sollten Theorem 3.1 BRSUP (hinreichende Bedingung): Wenn für alle disjunkten Koalitionen und alle Berechnungszuteilungen gilt: dann ist das Spiel BRSUP für alle Berechnungskosteneinheiten ccomp Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

15. Garantie für Zusammenschlüsse • In der Theorie ist Theorem 3.1 immer erfüllbar, da der Problemlösungsalgorithmus c(r) zuerst rS verbrauchen kann um Problem von S zu lösen und dann rT für T • Folge: beste Koalitionsstruktur ist die große Koalition {A} • Theorem 3.1 ist keine notwendige Bedingung im allgemeinen Theorem 3.2: Gilt: für alle disjunkten Koalitionen und alle Berechnungszuteilungen das Spiel ist BRSUP für beliebige Berechnungskosteneinheiten ccomp Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

16. cU(r) r Garantie für Zusammenschlüsse Theorem 3.3 BRSUP (notwendige und hinreichende Bedingung): Ist cU(r) fallend und convex in r, für jedes und gilt: für alle disjunkten Koalitionen und alle Berechnungszuteilungen  genau dann ist das Spiel BRSUP für beliebige Berechnungskosteneinheiten ccomp • cU(r ) ist oft konvex, da größere Verbesserungen am Anfang mit wenigen Rechenschritten gefunden werden können, als später bei fast optimalen Zuständen Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

17. Beispiel Zusammenschlüsse vS(ccomp)= minrS[cS(rS) + ccomp * rS] Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

18. Garantie für Aufteilungen Theorem 3.4 BRSUB (hinreichende Bedingung): Gilt: für alle disjunkten Koalitionen und alle Berechnungszuteilungen => dann ist das Spiel BRSUB für beliebige Berechnungskosteneinheiten ccomp • Ein Spiel kann beschränkt rational subadditiv sein auch wenn Theorem 3.4 nicht gilt • Anders als bei der beschränkt rationalen Supperadditivität wird diese Implikation nicht zu einer Äquivalenz Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

19. vU(ccomp)= minrU[cS(rU) + ccomp * rU] Beispiel Wenn z.B. Kosten bei Koalitionsbildung entstehen, die nicht durch Optimierung der Kostenfunktion wieder weggemacht werden können, dann ist dieses Spiel BRSUB Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

20. Core- Stabilität der Koalitionsstruktur • Stabilität der Auszahlungskonfiguration analysiert anhand des „Core“ –Lösungskonzepts Wiederholung: Core: „Der Core eines Spiels ist ein Set von stabilen Auszahlungskonfigurationen (x, CS), x ist ein Vektor von Auszahlungen an die Agenten“ stabil: „Konfiguration wird als stabil angesehen, wenn keine Untergruppe von Agenten ihre Auszahlung vergrößern kann, indem sie die Koalition verlässt und eine neue Koalition gründet“ Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

21. Core- Stabilität der Koalitionsstruktur beschränkt rationale Core (BRC) bei Berechnungskosteneinheiten ccomp ist der • Wenn der BRC nicht leer ist, können beschränkt rationale Agenten ihre Erträge untereinander verteilen, ohne dass eine Teilgruppe die Koalitionsstruktur verlassen will Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

22. Core- Stabilität der Koalitionsstruktur Theorem 4.1 BRC in BRSUB Spielen: Wenn ein Spiel, bei gegebenen ccomp, BRSUB ist => dann ist • In Spielen, die nicht BRSUB sind ist BRC manchmal leer • Erinnerung BRSUB: Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

23. Definitionen Seien B1,…,Bp verschiedene, nicht leere Teilmengen von A. Das Set B = {B1,…,Bp} nennt man balanciert, wenn positive Koeffizienten existieren, sodass gilt: ein minimal balanciertes Set enthält keine anderen balancierten Sets Ein minimal balanciertes Set wird proper genannt, wenn kein Paar disjunkt ist. Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

24. : proper sets Beispiele Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

25. Core- Stabilität der Koalitionsstruktur Theorem 4.3 BRC in BRSUP Spielen (notwendige und hinreichende Bedingungen): Wenn bei gegebenen ccomp, ein Spiel BRSUP ist, und für jedes proper minimal balanciertes Set B = {B1,…,Bp} gilt: <=> genau dann ist • Dieses Set an Ungleichungen ist minimal, kein kleineres Set ist ausreichend als Bedingung Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

26. Core- Stabilität der Koalitionsstruktur Theorem 4.2 BRC in beschränkt rationalen großen Koalitionsspielen (notwendige und hinreichende Bedingungen): Wenn bei gegebenen ccomp, {A} den Allgemeinwohl maximiert, und für jedes minimal balanciertes Set B = {B1,…,Bp} gilt: <=> genau dann ist Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

27. Core- Stabilität der Koalitionsstruktur Theorem 4.5 BRC in BRSUP Spielen (hinreichende Bedingungen über Kostenfunktion): Wenn bei gegebenen ccomp, das Spiel BRSUP ist, und [für jedes proper minimal balanciertes Set β = {B1,…,Bp} gilt: => dann ist Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

28. Core- Stabilität der Koalitionsstruktur Theorem 4.4 BRC in beschränkt rationalen großen Koalitionsspielen (hinreichende Bedingungen über Kostenfunktion): Wenn bei gegebenen ccomp, {A} den Allgemeinwohl maximiert, und [für jedes minimal balanciertes Set β = {B1,…,Bp} gilt: => dann ist Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

29. Zusammenfassung • Multiagentensysteme in denen Agenten ihre Strategie selbst wählen dürfen • BRSUP hinreichende, notwendige Bedingung die Garantie für Zusammenschlüsse liefern • BRSUB nur hinreichende Bedingung die Garantie für Aufteilungen liefern • Core- Stabilität der Koalitionsstruktur • BRC in BRSUB Spielen • BRC in BRSUP Spielen und großen Koalitionsspielen • BRC in BRSUP Spielen abhängig von Kostenfunktion Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

30. Danke für Ihre Aufmerksamkeit Fragen? Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk