2011

1. 2011

2. Lección 4 : • 4.1.- Estado de tensiones en un punto. Matriz de tensiones. • 4.2 .- Círculos de Mohr. • 4.3 .- Planos y tensiones principales. • 4.4.- Deformación trasversal. Coeficiente de Poisson. • 4.5 .- Deformación por esfuerzos triaxiales.

3. z snz tzx tzy txz snx tyz snx txy x txy txz tyx sny y 4.1.- Estado tensional de un punto

4. z snx s1 txy x s2 txz s3 y 4.1.- Tensiones principales de un punto dSx = dW a N dSy = dW b dSz = dW g s = s1+ s2 + s3 s1  s2s3

5. sx txz snx txy a sy = tyx sny tyz s = b * snz tzx tzy sz g 4.1.- Matriz de Tensiones sx dW = snx dW a + tyx dW b + tzx dW g sy dW = txy dW a + sny dW b + tzy dW g sz dW = txz dW a + tyz dW b + snz dW g [ s  = [ T  * [ u cosenos directores

6. s1 s2 s1 s1 0 0 0 0 s3 x y z a b g s2 0 0 s2 0 0 = s3 s3 0 0 0 0 x2 y2 z2 + + = 1 s12 s22 s32 4.3.- Tensiones y direcciones principales s1 >s2 >s3 Direcciones principales x = a s1 y = b s2 z = g s3 => =>

7. 4.2.- Círculo de Mohr t Pp s t s3 O1 s2 s1 sn O3 O2 sn C1 C3 P’p C2

8. snx txz txy sx tyx sny tyz sy s = = x = * tzx tzy snz sz F/S 0 0 cos f 0 0 0 cos(90-f) x = 0 0 0 0 t=(F/S. sen f ) . 1 . cos f = F/S. (sen 2f) a 2 b g 4.2.- Circulo de Mohr de las tensiones en un punto Np F f p sn =s.u = (F/S. cos f ) . 1 . cos f = F/S. cos2f f p 2 f f n

9. snx txz txy s1 tyx sny tyz s2 s = = x = * tzx tzy snz s3 snx 0 0 cos f 0 sny 0 cos(90-f) x = 0 0 0 0 a s nx+ s ny s nx- s ny + cos 2f sn = b 2 2 s nx- s ny g sen 2f t p= 2 4.2.- Circulo de Mohr de las tensiones en un punto Np Fy Fx f p sn =s nx. cos2f + s ny. cos2 (90 – f) = p 2 a a s1 f n s2

10. )2 )2 ( ( s nx+ s ny s nx+ s ny s nx- s ny s nx- s ny - + + t2 + t2 s2 = s1 = 2 2 2 2 2 t p tan 2f = s nx- s ny 4.2.- Circulo de Mohr de las tensiones en un punto Np Fy Fx p f p f 2 a a s1 n s2

11. 0 = (snx -s )*a + tyx * b + tzx * g 0 = txy * a + (sny - s)*b + tzy * g 0 = txz * a + tyz * b + (snz -s)*g (snx -s ) tyx tzx = 0 txy (sny - s) tzy txz tyz (snz -s) 4.3.- Tensiones y direcciones principales [ s  = [ T  * [ u Existe un plano cuya tensión es perpendicular a él: Su determinante es : que desarrollado es -s3 + I1 s2 - I2s + I3 = 0

12. 4.3.- Tensiones y direcciones principales [ s  = [ T  * [ u Ecuación característica o secular -s3 + I1 s2 - I2s + I3 = 0 Tensiones principales : son las raíces de la ecuación donde : I1 = snx + sny+ snz I2 = snxsny+snysnz+snzsnx-t2yz-t2zx-t2xy I3 = |T|

13. ey m = - ex Deformación Trasversal ey = - mex m coeficiente de deformación trasversal o de Poisson

14. ex = ey = ez = a DT a DT a DT sz sy sx sy sy sx sx sz sz m + m m m + m m + + - - + - - + - - E E E E E E E E E Ley de Hooke generalizada (esfuerzos triaxiales) Invariante lineal de deformaciones e = ex + ey + ez Invariante lineal de tensiones q = sx + sy+ sz

15. ex = ez = ey = a DT a DT a DT sz s0 sy sx sx sy sx sy sz s0 s0 sz m + + + + m m m m m + + - - - + + - - + - E E E E E E E E E E E E Ley de Hooke generalizada (esfuerzos triaxiales) Invariante lineal de deformaciones e = ex + ey + ez Invariante lineal de tensiones q = sx + sy+ sz

16. Calculo matricial