Estruturas de Dados e Ordenação

1. Estruturas de Dados e Ordenação Baseado em: The Algorithm Design Manual Steven S. Skiena

2. Introdução (1) • A alteração de uma estrutura de dados em um programa lento pode mudar sensivelmente seu tempo de execução. • Esta alteração não muda a corretude do programa. • É importante projetar os programas tendo as estruturas de dados como centro.

3. Introdução (2) • É importante construir os programas de forma que implementações alternativas possam ser experimentadas. • É importante separar os componentes da estrutura de dados de sua interface. • Esta abstração de dados é importante para a limpeza, leitura e modificação dos programas.

4. Observações (1) • A construção de algoritmos em torno de estruturas de dados tais como dicionários e filas de prioridades leva a estruturas limpas e bons desempenhos. • A escolha errada de uma estrutura de dados pode ser desastroso para o desempenho. • A escolha da melhor estrutura de dados não é tão crítica, pois podem existir outras escolhas que se comportam similarmente.

5. Observações (2) • A ordenação é uma das partes principais de um algoritmo. Deveria ser a primeira coisa a ser feita para buscar eficiência. • A ordenação pode ser usada para ilustrar muitos paradigmas de projeto de algoritmos. Técnicas de estruturas de dados, divisão e conquista, randomização e construção incremental levam a algoritmos de ordenação.

6. Tipos de dados fundamentais • Um tipo de dado abstrato é uma coleção de operações bem definidas que podem ser feitas em uma estrutura particular. • São estas operações que definem o que a estrutura faz, mas não como ela funciona.

7. Containers • É uma estrutura de dados que permite o armazenamento e a recuperação de dados independentemente de seu conteúdo. • As operações fundamentais são: • Put(C,x) – insere o dado x no container C. • Get(C) – recupera o próximo item do container C. Tipos diferentes de containers admitem diferentes tipos de recuperação, baseado na ordem ou posição de inserção.

8. Containers (2) • A utilidade de containers é maior quando a quantidade de dados é limitada e a ordem de recuperação é pré-definida ou irrelevante. • Tipos de containers: • Pilhas • Filas • Tabelas

9. Pilhas • LIFO. • Simples de implementar. • É o container correto quando a ordem de recuperação não importa. • Operações: push (Put) e pop (Get).

10. Filas • FIFO. • Parece ser a melhor maneira de controlar tempos de espera. • São mais difíceis de implementar do que pilhas e são apropriadas apenas em aplicações em que a ordem é importante. • Operações: enqueue (Put) e dequeue (Get).

11. Tabelas • Aceitam recuperação pela posição. • As operações de Put e Get aceitam um índice como argumento. • Tabelas são geralmente implementadas utilizando arrays.

12. Implementação de containers • Pode-se usar arrays ou listas ligadas. • A escolha entre uma ou outra depende do conhecimento da quantidade de dados a ser armazenada. • Com o uso de arrays, as operações Put e Get podem ser implementadas em tempo constante.

13. Dicionários • São uma forma de container que permite acesso aos dados armazenados pelo seu conteúdo. • As principais operações são: • Search(D,k) – Dada uma chave k, retorna um ponteiro para um elemento em D cujo valor é k, se existir. • Insert(D,x) – Insere o dado de valor x em D. • Delete(D,x) – Dado um ponteiro para um item de valor x, remove-o de D.

14. Implementação • Lista ligada desordenada • Inserção e remoção em tempo constante. • Consulta atravessa a lista toda. • Array ordenada • Consulta por busca binária em tempo O(log n). • Inserção e remoção levam tempo linear. • Árvore de Busca Binária • Tabelas de Hash

15. Ávores de Busca Binária • Operações sobre dicionário são rápidas. • É uma árvore com raiz na qual cada nó contém no máximo dois filhos. • Os filhos recebem os rótulos right ou left, conforme sua posição em relação ao pai. • Os nós são rotulados com as chaves de forma que todos os nós da subárvore à esquerda de um nó x tenham valores menores que x e todos à direita tenham valores maiores que x.

16. Consulta BinaryTreeQuery(x,k) if (x=nil) or (k=key[x]) then return x if (k < key[x]) then return BinaryTreeQuery(left[x],k) else return BinaryTreeQuery(right[x],k) • Tempo O(h), h é a altura da árvore.

17. Inserção • O item a ser inserido deve ser colocado na última posição em que pode ser encontrado. • Esta posição é determinada ao fazer-se uma busca pelo valor a ser inserido. • A inserção propriamente dita leva tempo constante após a determinação deste local (que leva tempo O(h)).

18. Remoção • É mais difícil que a inserção, pois o nó a ser removido pode não ser uma folha. • A remoção de folhas é fácil, mas a simples remoção de um nó interno não permite acesso aos itens abaixo dele. • Uma reestruturação ou rerotulação dos nós, de forma a levar o item a ser removido para uma folha, é necessário.

19. Implementação (1) • Todas as operações levam tempo O(h). • A menor altura possível é O(log n), quando a árvore está perfeitamente balanceada. • Ao inserirmos aleatoriamente os dados em uma árvore, a probabilidade da árvore resultante ter altura O(log n) é grande.

20. Implementação (2) • O pior caso ocorre quando a árvore é um caminho. • Para evitar o desbalanceamento usa-se estruturas mais sofisticadas como, por exemplo, árvores rubro-negras.

21. Filas de Prioridade (1) • Utilizadas em aplicações onde os itens são processados em uma ordem particular. • Por exemplo, o escalonamento de tarefas. • As filas de prioridade apresentam vantagem sobre a ordenação pois as tarefas entram no sistema em intervalos arbitrários. • É mais caro reordenar do que manter os dados em uma fila de prioridade.

22. Filas de Prioridade (2) • As principais operações são: • Insert(Q,x) – inserir o item x na fila Q. • Find_Minimum(Q) ou Find_Maximum(Q) – retorna um ponteiro para o menor ou maior valor em Q. • Delete_Minimum(Q) ou Delete_Maximum(Q) – remove da lista Q o item com menor ou maior valor.

23. Implementação (1) • Qualquer uma delas leva tempo O(log n), representando os dados por uma árvore de busca binária. • A busca do menor (maior) valor pode ser feita buscando-se o valor mais à esquerda (direita) na árvore. • A inserção é feita como na árvore. • A remoção consiste em uma busca seguida da remoção de um nó da árvore.

24. Estruturas de Dados Especializadas (1) • As estruturas vistas mostram uma representação para um conjunto desestruturado de dados de forma a facilitar operações de recuperação. • Existem também estruturas de dados potentes utilizadas para representar tipos de objetos mais bem estruturados tais como pontos no espaço, cadeias e grafos.

25. Estruturas de Dados Especializadas (2) • Para estes dados: • Existe um conjunto de operações básicas que devem ser feitas repetidamente. • Procuramos estruturas de dados que executem estas operações eficientemente.

26. Cadeias (Strings) • Representadas geralmente por arrays de caracteres, com possivelmente um caracter especial para designar o fim da cadeia. • Árvores de sufixos e Arrays de sufixos são estruturas de dados especiais para o pré-processamento de cadeias para tornar a busca de padrões rápida.

27. Dados Geométricos • Consiste geralmente de coleções de pontos e regiões. • Regiões no plano são descritas por polígonos, cujas fronteiras são dadas por cadeias de segmentos de reta. • Estruturas de dados espaciais, tais como kd-trees organizam os pontos e regiões pela localização geométrica de forma a tornar a busca rápida.

28. Grafos • Geralmente são representados por matrizes de adjacência ou por listas de adjacência. • A escolha da representação é importante no algoritmo resultante.

29. Conjuntos • Subconjuntos de itens são geralmente representados usando dicionários, de forma a tornar as consultas de pertinência rápidas.

30. Ordenação (1) • A ordenação é a base na qual muitos algoritmos são construídos. Entendendo a ordenação, tem-se conhecimento para resolver outros problemas. • Computadores gastam mais tempo ordenando do que fazendo qualquer outra coisa. A ordenação aparece em muitos problemas na prática.

31. Ordenação (2) • É o problema mais estudado em ciência da computação. • Muitas das idéias usadas no projeto de algoritmos aparecem no contexto de ordenação, tais como divisão e conquista, estruturas de dados e algoritmos randomizados.

32. Aplicações da Ordenação • Busca • Par mais próximo • Unicidade de elementos • Distribuição de freqüência • Seleção • Casco convexo

33. Busca • Uma busca binária em um dicionário com os dados ordenados leva tempo O(log n). • Provavelmente esta seja a mais simples e importante aplicação da ordenação.

34. Par mais próximo • Dado um conjunto de n números, como encontrar o par de números cuja diferença entre eles seja a menor possível? • Com os números ordenados a solução é simples. • Solução em tempo O(n logn) .

35. Unicidade de elemento • Dado um conjunto de n elementos, existem elementos duplicados? • Novamente, a melhor solução possível usa a ordenação. • É um caso particular do problema do par mais próximo em que a diferença entre vizinhos é zero.

36. Distribuição de freqüência • Dado um conjunto de n elementos, qual elemento ocorre o maior número de vezes?

37. Seleção • Qual o k-ésimo maior elemento no conjunto? • Com os dados ordenados, esta informação é determinada em tempo constante. • Em particular, a mediana (o n/2-ésimo elemento).

38. Casco convexo (1) • Dado um conjunto de n pontos no plano cartesiano, qual o polígono convexo de menor área que contém todos estes pontos? • Os pontos são ordenadas pelas abscissas dos pontos. • A partir do ponto de menor abscissa, o casco é construído inserindo-se os pontos.

40. Estruturas de Dados • Ordenação por seleção. • Implementação usando um vetor desordenado, leva: • O(1) para reposicionar o elemento, e • O(n) para localizar o elemento. • Ordenação por seleção leva tempo O(n²). • Se usarmos um heap ou árvore de busca balanceada o algoritmo leva tempo O(n log n), heapsort

41. Inserção incremental • Ordenação por inserção • É um dos exemplos mais simples da técnica de inserção incremental. • É uma técnica particularmente útil em algoritmos geométricos.

42. Divisão e conquista • Ordenação por intercalação • Um problema grande pode ser dividido em problemas menores que são resolvidos. A solução de cada um deles é então combinada para obter-se a solução do problema inicial.

43. Randomização • Quicksort • Os pivôs são escolhidos aleatoriamente. • Com esta escolha, o algoritmo tem alta probabilidade de ser executado em tempo Q(n log n). • No pior caso é quadrático.

44. Técnica de Encestamento • Segundo algum critério os dados são agrupados em cestos (buckets) e os cestos são tratados individualmente. • Esta idéia esta presente em tabelas de hash, kd-trees, e em outras estruturas de dados práticas. • A técnica é boa quando os dados ficam uniformemente distribuídos entre os cestos.