Fourier transzformált, szűrés frekvenciatartományban

1. Fourier transzformált,szűrés frekvenciatartományban Vámossy Zoltán 2004 Gonzales – Woods: Digital Image Processing, Prentice Hall, 2002. alapján

2. Témakör • Fourier sorok, Fourier transzformált (FT) • Fontosabb tulajdonságok • A szűrés lépései frekvenciatartományban • Alul áteresztő (low pass - LPF), felül áteresztő (high pass - HPF) szűrők • Homomorf szűrők

3. Miért FT? – 1

4. Miért FT? – 2 • Szűrés: 1. a kép Fourier transzformáltját szorozzuk a szűrő-függvény Fourier transzformáltjával H(u,v) • 2. Inverz Fourier tr. segítségével visszatérünk képtartományba

5. Példa FT-re

6. Fourier sorok • Fourier sorok (SF) egy véges TF intervallumon bármely függvényt közelítik • TF intervallumon kívül, SFperiodikusán ismétlődik TF periódussal.

7. Fourier sorok (folytatás) • TF az s(t) jelnek az intervalluma, amely felett a Fourier sorozat megjelenik • fF = 1/TF a Fourier soros reprezentáció alapfrekvenciája (alap harmonikus) • n a “harmonikus szám” • 2fF az alapfrekvencia (fF) második harmonikusa • A Fourier sor mindig periodikus és lineáris kombinációja fF frekvenciájú szinuszoknak és azok harmonikusainak

8. Fourier transzformáció (FT) • Frekvencia tartományban leírás cn u (0,0) nfF v

10. 1-D Fourier transzformáció CFT Folytonos Fourier Tr. DFT Diszkrét Fourier Tr. • Fourier tr.: • Inverz FT: • Komplex alak: • Fourier spektrum • Teljesítmény spektrum (spektrál sűrűség) • Fázis szög:

11. 2-D Fourier transzformáció • CFT • DFT

12. Impulzus transzformáltR. N. Bracewell’s “Two-Dimensional Imaging,” Prentice Hall, 1995.

13. Néhány példa • Gauss  Gauss • Gauss rámpa • Vonal impulzus

14. 2D FT Pairs

15. Az FT fontos tulajdonságai • Egyszerű számíthatóság és implementálhatóság • Lineáris (disztributív és skálázható) • Szeparálható (felbontható oszlop és sor műveletek egymás utáni végrehajtására) • Eltolási tulajdonság • Periodicitás • Konjugált szimmetria • Elforgatási tulajdonság • Konvolúciós tétel • Korrelációs tétel • Mintavételezés …

16. A Fourier transzformáció megértése és implementálása y (0,0) y (0,0) (0,0) v 255 0 0 255 x u x |F(u,v)| f(x,y) f(x,y)(-1)x+y

18. A Fourier transzformáció megértése és implementálása • Az “eltolási tulajdonság” (lásd később) értelmében: y y (0,0) (0,0) -255 v 0 -0 255 (0,0) x x u |F(u-M/2,v-N/2)| f(x,y) f(x,y)(-1)x+y

19. Linearitás • FT lineáris képfeldolgozó módszer Lineáris rendszer y1(t) x1(t) y2(t) x2(t) a*x1(t) + b*x2(t) a*y1(t) + b*y2(t)

20. Szeparálhatóság Sor tanszformáció Oszloptranszf. f(x, y) F(x, v) F(u, v)

21. Eltolási tulajdonság

22. Periodicitás és konjugált szimmetria • Periodicitás • Ha f(x, y) valós, akkor Fourier transzformáltja konjugált szimmetrikus • Fourier transzformált spektruma szimmetrikus

23. Példa – eltolt és log skálázott FT

24. Példa – periodicitás és eltolás

25. Elforgatás

26. Átlag • Átlag: a transzformáció értéke (u, v) = (0, 0)-ban a kép átlaga

27. A Laplace transzformált frekvencia tartományban

29. Konvolúció • Folyamatos és diszkrét konvolúció • Konvolúciós tétel: • A képtérben számított konvolúció a gyakorlatban gyorsabban számítható a frekvenciatartományban elem-elem szorzással egy bizonyos méret felett

30. Korreláció • Folytonos és diszkrét korreláció • Korrelációs tétel

31. Autokorreláció • Autokorreláció (önmagával vett kereszt korreláció) • Autokorrelációs tétel • Alkalmazás: mintaillesztés

32. Szűrés főbb lépései (FTIFT) f(x,y)(-1)x+y g(x,y)(-1)x+y

33. Szűrés frekvencia tartományban • Szorozzuk meg az input képet (-1)x+yértékkel, hogy a transzformált eredmény majd középre kerüljön, az (u = M/2 és v = N/2) (ha M és N páros, akkor az eltolás koordináták egészek) • Számoljuk ki F(u,v)-t, az (1) kép DFT-ját • Szorozzuk meg F(u,v)-t H(u,v) szűrő fgv-nyel • Számoljuk ki (3) inverz DFT-ját • (4) valós részét tekintsük • Az (5) eredményét szorozzuk meg (-1)x+yértékkel, hogy a képet “visszatoljuk”

34. Szűrés frekvencia tartományban FFT Kép spektrum Pixel-pixel szorzás Szűrt spektrum Szűrő maszk Inverz FFT Szűrt kép

35. Pont alapú Egyszerű intenzitás transzformációk Kép negálás Log transzformációk Hatvány transzformációk (gamma korrekció) Kontraszt növelés Intenzitás tartomány kiemelés Bit síkok kiemelése Hisztogram alapú Hisztogram kiegyenlítés Hisztogram illesztés Aritmetikai/logikai műveletek Képkivonás Kép átlagolás Maszk alapú (ablakos szűrők) Simító szűrők (részletek elmosása) Átlagoló, súlyozott átlagoló Gauss szűrő Binomiális szűrő Rank order szűrők (pl. median) Élesítő szűrők (részletek kiemelése) Élesítés Felül erősítés Differencia szűrők Laplace Gradiens • Szűrés frekvencia tartományban • Simító szűrők (részletek elmosása) • Ideális alul áteresztő • Butterworth alul áteresztő szűrő • Gauss alul áteresztő • Élesítő szűrők (részletek kiemelése) • Élesítés • Felűl erősítés • Laplace • Ideális felül áteresztő • Butterworth felül áteresztő szűrő • Gauss felül áteresztő szűrő • Homomorfszűrő

36. Notch filter • Ez a szűrő az F(0,0) értéket hangsúlyozza, ami a a kép átlagos értéke (a spektrum dc komponense) • Kiemelkedő élek az outputban • Az output képet (annak negatív és 0 értékei miatt) skálázni kell!

37. Különböző szűrők • Lowpass filter -alul áteresztőszűrő • Highpass filter- felül áteresztőszűrő • Band filter - sávszűrő • Homomorf szűrő (homomorphic filter)

38. Tipikus szűrőalakok • E: frekvencia tartomány • W: képtartomány

39. Alul áteresztő szűrő (kép lassan változó komponensei) • Ideális szűrő (ILPF) • D(u, v): (u, v) pont távolsága az origótól • Vágási frekvencia (D0) • Fizikailag nem valósítható meg • Körkörösen szimmetrikus • Butterworth szűrők (BLPF) • Gauss-féle alul áteresztő szűrő

40. Simító szűrők frekvencia tartományban: Ideális alul áteresztő szűrő (ILPF)

41. Teljesítmény körök (power circles)

42. Példa - ILPF • Teljes teljesítmény spektrum • A teljesítmény spektrum nagy része relatíve kis körben helyezkedik el • Hirtelen vágási frekvencia miatt begyűrűzés

43. Begyűrűzés példa • Begyűrűzés (ringing) • Maszk: -1/8 1 -1/8 • Input: 0 0 0 1 1 0 0 0 • Output: 0 0 -1/8 7/8 7/8 -1/8 0 0

44. Teljesítmény százalékok 99.9699.6599.0497.84

45. Butterworth alul áteresztő szűrő:BLPF

46. Példa - BLPF

47. BLPF térbeli reprezentációja

48. Gauss alul áteresztő szűrő: GLPF

49. Példa - GLPF

50. Példa - GLPF