Signaux et Systèmes

1. Signaux et Systèmes Intervenants: Hugues BENOIT-CATTIN Chantal MULLER Département Télécommunications, Services et Usages Année 2002-2003

2. Plan du cours I. Signaux et Systèmes II. Systèmes Linéaires Temporellement Invariants SLTI III. Séries de Fourier IV. Transformée de Fourier en Temps Continu V. Transformée de Fourier en Temps Discret VI. Caractérisation en Temps et Fréquence des signaux et des systèmes VII. Transformée de Laplace VIII. Transformée en Z IX . Echantillonnage

3. I. Signaux et Systèmes 1 - Signaux Temps Continu et Temps Discret 2 - Transformation de la variable indépendante 3 - Signaux exponentiel et sinusoïdaux 4 - Impulsion unité et fonction échelon unité 5 - Systèmes Temps Continu et Temps Discret 6 - Propriétés de bases des systèmes

4. I.1. Signaux Temps Continu et Temps Discret A) Exemples de signaux et représentation mathématique signal = toute entité qui véhiculeune information Exemples: onde acoustique Musique, parole, ... courant électrique délivré par un microphone source lumineuse (étoile, gaz, …) ... onde lumineuse courant électrique délivré par un spectromètre Mesures physiques suite de nombres ... Photographie

5. Représentation mathématique: Signal = fonction d ’une ou plusieurs variables indépendantes: ex: (Voix) Pression Acoustique = f(temps) (Image) Luminosité= f(x,y:variables spatiales)  par la suite: 1 seule variable indépendante = temps Signaux Temps Continu: La variable indépendante est continue t ex: la voix en fonction du temps, la pression atmosphérique en fonction de l ’altitude Signaux Temps Discret: Définis seulement pour des temps discrets La variable indépendante est un ensemble discret de valeurs  n ex: indice Dow-Jones du marché boursier études démographiques ...

6. Exemples: a) d ’un signal continu x(t) b) d ’un signal discret x[n]: Remarques: x[n] n ’est défini que pour des valeurs entières de n. x[n] : signal Temps Discret ou séquence Temps Discret. 2 types de signaux discrets: a) Signaux représentant un phénomène dont la variable indépendante est discrète b) Signaux provenant d ’une opération d ’échantillonnage: x[n] représente les échantillons successifs d ’un phénomène pour lequel la variable indépendante est continue (niveau quantifié ou non...)

7. Temps Continu Temps Discret Energie Puissance moyenne B) Energie et puissance d ’un signal Définition: par analogie avec les signaux électriques 3 Classes de signaux: - Signaux à Energie finie - Signaux à Puissance moyenne finie - Signaux à Energie et Puissance moyenne infinies

8. 1 t 0 1 - Signaux à Puissance moyenne finie 4 ... ... n 0 1 1 t - Signaux à Energie finie - Signaux à Energie et Puissance Moyenne infinies

9. I.2. Transformation de la variable indépendante A) Exemples de transformations Décalage temporel t 0 < 0 : AVANCE n 0 > 0 : RETARD

10. Inversion temporelle Changement d ’échelle

11. B) Signaux périodiques Remarques: T0 = période fondamentale = plus petite valeur possible de T

12. C) Signaux Pairs et Impairs Pairs Impairs Propriété: Tout signal se décompose en la somme:- d ’un signal pair xpair(t) et - d ’un signal impair ximpair(t)

13. I.3. Signaux exponentiels et sinusoïdaux A) En Temps Continu Signaux à exponentielle réelle:  phénomènes physiques Signaux à exponentielle complexe périodiques et signaux sinusoïdaux:

14. Remarques : - Signaux à exponentielle complexe périodiques appelés aussi signaux harmoniques - Ensemble d ’exponentielles harmoniquement reliées = Ensemble d ’exponentielles périodiques ayant en commun la période T0 : Signaux à exponentielle réelle et complexe :

15. B) En Temps Discret Signaux à exponentielle réelle:

16. Signaux à exponentielle complexe et sinusoïdaux: Propriétés liées au Temps Discret: 1)  même signal pour des pulsations différentes!...  0 < 0 < 2 0 < f0 < 1 Le taux d ’oscillations de n ’augmente pas en fonction de 0 !… Basses fréquences Hautes fréquences

17. Sinusoïdes Temps Discret à différentes fréquences

18. 2) Périodicité:Pas toujours!... Signal périodique si 0 / 2 est un entier ou une fraction rationnelle Alors Fréquence fondamentale Non périodique! périodique périodique non périodique

19. 3) Exponentielles reliées harmoniquement seulement N exponentielles distinctes... Signaux à exponentielle réelle et complexe :

20. 1 0 n ... 0 n I.4. Impulsion unité et fonction échelon unité A) En Temps Discret Impulsion Unité: Echelon Unité: 1 Relations:

21. B) En Temps Continu u(t) Echelon Unité: t Impulsion Unité ou Dirac: Problème!... On veut: Signal Pulse Impulsion de Dirac

22. Propriétés du Dirac: Modélisation mathématique issue de la théorie des Distributions (Laurent Schwarzt)... - (t) n ’a pas de durée, sa hauteur est infinie et son aire est égale à l ’unité - représentation de (t): (t) fonction singulière 1 t Besoin des physiciens:d(t) modélise par exemple le courant i(t) d ’un filtre RC lors de la charge d ’un condensateur... - (t) peut être pondéré par un scalaire  k.(t) a une aire de k

24. I.5. Systèmes Temps Continu et Temps Discret x[n]  y[n] x(t)  y(t) SystèmeTemps Continu SystèmeTemps Discret y(t) y[n] x(t) x[n] Exemples: - Relation entre la tension aux bornes d ’un condensateur et la tension d ’entrée - Relation entre la vitesse d ’un véhicule et la force appliquée  équations différentielles linéaires du 1er ordre: - Evolution d ’un compte bancaire

25. Système 1 S E + E Système 1 Système 2 S Système 2 E Système 1 S + Système 2 Interconnexions de systèmes Idée: des systèmes complexes peuvent être construits en interconnectant des sous ensembles plus simples... Interconnexion Parallèle Interconnexion Série Interconnexion Rétro-actionnée

26. y[n] Système inverse Système x[n] w[n]=x[n] I.6. Propriétés de base des systèmes Système sans mémoire: La sortie y à l ’instant t ou n ne dépend que de l ’entrée x à ce même instant Système inversible: Des entrées distinctes conduisent à des sorties distinctes Système causal: La sortie à n ’importe quel instant ne dépend que des valeurs de l ’entrée aux instants présent et passés

27. Système stable: A une entrée bornée: |x(t)|  M t correspond une sortie bornée |y(t)|  N t Système temporellement invariant : Un décalage temporel sur le signal d ’entrée entraîne le même décalage temporel sur le signal de sortie y[n-n0] y(t-t0) x[n-n0] Système Système x(t-t0) Système linéaire:  Propriété de superposition Soit Alors

28. II. Systèmes Linéaires Temporellement Invariants SLTI 1 - SLTI Temps Discret: Somme de Convolution 2 - SLTI Temps Continu: Intégrale de Convolution 3 - Propriétés des SLTI 4 - SLTI causaux décrits par des équations différentielles et par des équations aux différences

29. II.1 SLTI Temps Discret: Somme de Convolution Etude d ’un sous-ensemble de systèmes: Nb Propriétés Systèmes Linéaires Temporellement Invariants Outils puissants A) Représentation d ’un signal Temps Discret à l ’aide des signaux impulsions Somme pondérée d ’impulsions décalées temporellement

30. B) Réponse d ’un  SLTI Temps Discret a) Réponse d ’un système linéaire (pas forcément T.I.) Signal d ’entrée Si Alors: Principe de superposition

31. La réponse au signal x[n] est une combinaison linéaire des réponses associées à chaque impulsion décalée temporellement Interprétation graphique de la réponse d ’un système linéaire Temps Discret

32. b)Réponse d ’un SLTI Il suffit de connaître la réponse h0[n] à [n] ... Invariance Temporelle  Définition: Réponse impulsionnelle = Réponse d ’un SLTI à l ’impulsion unité SLTI [n] h[n] On obtient: Somme de convolution SLTI entièrement caractérisé par sa réponse impulsionnelle

33. C) Exemple de calcul de l ’opération de convolution Inversion de h[k] en h[-k] Décalage temporel h[n-k] Résultat de la convolution y[n]

34. II.2 SLTI Temps Continu: Intégrale de Convolution A) Représentation d ’un signal Temps Continu à l ’aide des impulsions de Dirac

35. « Somme  » pondérée d ’impulsions de Dirac décalées temporellement B) Réponse d ’un  SLTI Temps Continu a) Réponse d ’un système linéaire (pas forcément T.I.) Signal d ’entrée: Si: Principe de superposition Alors:

36. La réponse au signal est une combinaison linéaire des réponses associées à chaque pulse décalé temporellement Interprétation graphique de la réponse d ’un système linéaire Temps Continu avec réponse à

37. b)Réponse d ’un SLTI Signal d ’entrée: Signal de sortie: Invariance Temporelle  Définition: Réponse impulsionnelle = Réponse d ’un SLTI à l ’impulsion de Dirac SLTI (t) h(t) On obtient: Intégrale de convolution SLTI entièrement caractérisé par sa réponse impulsionnelle

38. C) Exemple de calcul de l ’intégrale de convolution Exemples: John Hopkins University: « Joy of convolution » http://www.jhu.edu/~signals Simon Fraser University (Vancouver): http://www.sfu.ca/index2.htm

40. II.3 Propriétés des SLTI Systèmes entièrement caractériséspar leur réponse impulsionnelle • Commutativité x[n] y[n] h[n] y[n] h[n] x[n]

41. Distributivité (IDEM T.C.) Une combinaison parallèle de plusieurs SLTI peut remplacer un seul SLTI dont la réponse impulsionnelle est la somme des réponses impulsionnelles des SLTI interconnectés

42. Associativité (IDEM T.C.) Une combinaison série de plusieurs SLTI peut remplacer un seul SLTI dont la réponse impulsionnelle est la convolutiondes réponses impulsionnelles des SLTI interconnectés La réponse impulsionnelle d ’un SLTI résultant de l ’interconnexion série de plusieurs SLTI nedépend pas de l ’ordre dans lequel ils ont été cascadés

43. Multiplication par un scalaire (IDEM T.C.) • Elément neutre: • Décalage temporel: (IDEM T.C.) Très important • Dérivation:

44. SLTI sans mémoire (IDEM T.C.) • SLTI inversible • SLTI causal • SLTI stable Sa réponse impulsionnelle est absolument sommable Sa réponse impulsionnelle est absolument intégrable

45. Réponse d ’un SLTI à l ’échelon unité Réponse indicielle:  Réponse indicielle utilisée aussi pour caractériser un SLTI

46. II.4 SLTI causaux décrits par des équations différentielles et des équations aux différences A) Equations différentielles linéaires à coefficients constants  Description de phénomènes physiques TC: Réponse d ’un circuit RC, vitesse d ’un véhicule soumis à une accélération et des forces de frottement ... Exemple Spécification implicite du système  relation ou contrainte entre l ’entrée et la sortie a) Pour avoir une expression explicite  résoudre l ’équation, trouver y(t) génerale b) Pour trouver une solution unique  Informations complémentaires, appliquer les conditions initiales Rappels: Résolution d ’une équation différentielle à coefficients constants : solution particulière vérifiant (1) de même forme que l ’entrée : solution de l ’équation homogène

47. D ’où:  infinité de solutions Application des Conditions Initiales Cas particulier SLTI CAUSAL + CI de SIAR: Système Initialement Au Repos Définition: Un système causal est initialement au repos, si sa sortie est nulle tant que son entrée est nulle D ’où:

48. Un système, régi par une équation différentielle à coefficients constants, initialement au repos, est un SLTI IAR autrement dit un système convolutif La solution yIAR(t) d’un système régi par une équation différentielle à coefficients constants et initialement au repos, est égale au produit de convolution de la réponse impulsionnelle h(t) du SLTIpar l ’entrée x(t) appliqué au système Propriété 1 Propriété 2 Propriété 3 Dans le cas général, la solution y(t) d’un système régi par une équation différentielle à coefficients constants et noninitialement au repos, peut se décomposer en la somme de yIAR (t) solution du système initialement au repos et de yZI(t) solution du système avec une entrée nulle et les conditions initiales réelles

49. B) Equations aux différences linéaires à coefficients constants Même méthode de résolution que pour les équations différentielles à coefficients constants Mêmes propriétés 1, 2 et 3 ... Cas particulier: SLTI CAUSAL , Système Initialement au Repos Éq. récursive Éq. non récursive Si N=0 SLTI Système FIR Équation récursive  Réponse impulsionnelle du SLTI initialement au repos, de durée infini Si N 1 Système IIR

50. III. Séries de Fourier 1 - Réponse d ’un SLTI à des exponentielles complexes 2 - Représentation en Série de Fourier des Signaux périodiques en Temps Continu 3 - Représentation en Série de Fourier des Signaux périodiques en Temps Discret 4 - Séries de Fourier et SLTI 5 - Filtrage