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TRIANGLE Inégalité triangulaire. Plan du chapitre. Inégalité triangulaire. Définition Cas du triangle. Cas des points alignés. A (Paris). B (Bar sur Aube). C (Lyon). Inégalité triangulaire. 1. Définition.
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TRIANGLE Inégalité triangulaire
Plan du chapitre Inégalité triangulaire • Définition • Cas du triangle. • Cas des points alignés.
A (Paris) B (Bar sur Aube) C (Lyon) Inégalité triangulaire 1. Définition. Le plus court chemin pour aller d'un point à un autre, c'est la ligne droite. Tout trajet différent (détour) sera obligatoirement plus long. Donc AC < AB + BC
A (Paris) B (Bar sur Aube) C (Lyon) Inégalité triangulaire 1. Définition. Le plus court chemin pour aller d'un point à un autre, c'est la ligne droite. Tout trajet différent (détour) sera obligatoirement plus long. Donc AC < AB + BC
B (Bar sur Aube) A (Paris) C (Lyon) M (Auxerre) • La ville d'Auxerre est sur le trajet "direct" Paris – Lyon. • Les points A, M et C sont donc alignés (et dans cet ordre). Donc AM + MC = AC • De plus,on ne peut pas trouver une ville N telle que : • AC > AN + NC • (c’est impossible, le plus court chemin est la ligne droite)
B (Bar sur Aube) A (Paris) C (Lyon) M (Auxerre) • La ville d'Auxerre est sur le trajet "direct" Paris – Lyon. • Les points A, M et C sont donc alignés (et dans cet ordre). Donc AM + MC = AC • De plus,on ne peut pas trouver une ville N telle que : • AC > AN + NC • (c’est impossible, le plus court chemin est la ligne droite)
« Peu importe qui sont .. » Finalement, on peut donc conclure que : Propriété : Quels que soient les points A, B et C, on a toujours : Par ACAB + BC
« Peu importe qui sont .. » Finalement, on peut donc conclure que : Propriété : Quels que soient les points A, B et C, on a toujours : Par ACAB + BC
A B C 2. Dans un triangle. Propriété : Dans un triangle, la longueur d'un côté est toujours plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés. Par <AB+BC On a : AC <AC+CB AB <BA+AC BC
A B C 2. Dans un triangle. Propriété : Dans un triangle, la longueur d'un côté est toujours plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés. Par <AB+BC On a : AC <AC+CB AB <BA+AC BC
A 5 cm 9 cm B C 13 cm Exemple 1 : Peut-on construire le triangle ABC ? On doit vérifier la propriété que l’on vient d’énoncer. • Il est évident que AC < AB + BC et que AB < AC + CB car AC et AB sont déjà inférieurs à BC. • Il suffit donc de vérifier la 3ème inégalité, celle qui concerne BC, la longueur du plus long côté.
A 5 cm 9 cm B C 13 cm Exemple 1 : Peut-on construire le triangle ABC ? On doit vérifier la propriété que l’on vient d’énoncer. • Il est évident que AC < AB + BC et que AB < AC + CB car AC et AB sont déjà inférieurs à BC. • Il suffit donc de vérifier la 3ème inégalité, celle qui concerne BC, la longueur du plus long côté.
A 5 cm 9 cm B C 13 cm BC = 13 cm BA + AC = 5 + 9 = 14 cm Donc BC < BA + BC La longueur de chacun des côtés étant donc inférieure à la somme des deux autres, on peut donc construire le triangle ABC.
A 5 cm 9 cm B C 13 cm BC = 13 cm BA + AC = 5 + 9 = 14 cm Donc BC < BA + BC La longueur de chacun des côtés étant donc inférieure à la somme des deux autres, on peut donc construire le triangle ABC.
I 3,9 cm 7,6 cm J K 3,4 cm Exemple 2 : Peut-on construire le triangle IJK ? • Comme on vient de le voir dans l’exemple précédent, il suffit de vérifier que la longueur du plus long côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres.
I 3,9 cm 7,6 cm J K 3,4 cm Exemple 2 : Peut-on construire le triangle IJK ? • Comme on vient de le voir dans l’exemple précédent, il suffit de vérifier que la longueur du plus long côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres.
I 3,9 cm 7,6 cm J K 3,4 cm IK = 7,6 cm IJ + JK = 3,9 + 3,4 = 7,3 cm Donc IK > IJ + JK D’après la propriété, ceci est impossible. Donc on ne peut pas construire le triangle IJK, il n’existe pas.
I 3,9 cm 7,6 cm J K 3,4 cm IK = 7,6 cm IJ + JK = 3,9 + 3,4 = 7,3 cm Donc IK > IJ + JK D’après la propriété, ceci est impossible. Donc on ne peut pas construire le triangle IJK, il n’existe pas.
BC AB = AC 3. Cas des points alignés. Propriété : Si AC = AB + BC alors les points A, B et C sont alignés dans cet ordre. par Réciproquement, si A, B et C sont alignés dans cet ordre alors AC = AB + BC. C B A +
BC AB = AC 3. Cas des points alignés. Propriété : Si AC = AB + BC alors les points A, B et C sont alignés dans cet ordre. par Réciproquement, si A, B et C sont alignés dans cet ordre alors AC = AB + BC. C B A +
K J I B C A Exemples : Les points A, C et B sont alignés dans cet ordre donc on a : AB = AC + CB Les points I, J et K sont alignés dans cet ordre donc on a : IK = IJ + JK
K J I B C A Exemples : Les points A, C et B sont alignés dans cet ordre donc on a : AB = AC + CB Les points I, J et K sont alignés dans cet ordre donc on a : IK = IJ + JK
On donne trois points R, S et T tels que : RS = 3cmST = 12 cmRT = 9 cm Les points R, S et T sont-ils alignés ? S R T Solution : RS + RT = 3 + 9 = 12 = ST Donc les points S, R et T sont alignés dans cet ordre.
On donne trois points R, S et T tels que : RS = 3cmST = 12 cmRT = 9 cm Les points R, S et T sont-ils alignés ? S R T Solution : RS + RT = 3 + 9 = 12 = ST Donc les points S, R et T sont alignés dans cet ordre.
