Monty Hallova úloha

1. Monty Hallova úloha SIG 2005/2006 Jan Remsa

2. Historie • V americkém časopise Parade bývala rubrika Zeptejte se Marilyn. A tuhle rubriku psala Marilyn von Savant a v časopise se říkalo, že má nejvyšší IQ na světě a je ve Dvoraně slávy Guinessovy knihy rekordů. A v té rubrice řešila matematické otázky, které posílali čtenáři. A v září 1990 jí Craig F. Whitaker z Columbie v Marylandu poslal tuhle otázku: • Účastníte se soutěžní televizní hry. V téhle hře jde o to, vyhrát jako cenu auto. Televizní konferenciér vám ukáže troje dveře. Tvrdí, že za jedněmi dveřmi je auto a za dalšími dvěmi kozy. Požádá vás, abyste si vybrali dveře. Vyberete si dveře, ale dveře nejdou otevřít. Polom televizní konferenciér otevře jedny z dveří, které jste si nevybrali, abyste viděli, že za nimi stoji koza (protože ví, co za dveřmi je). Pak řekne, že máte poslední možnost změnit volbu, než se dveře otevřou a vy získáte auto nebo kozu. Takže se vás zeptá, jestli chcete změnit volbu a vybrat si raději druhé neotevřené dveře.. Co byste měli udělat?

3. Historie • Marilyn řekla, že byste měli rozhodně změnit volbu a vybrat poslední dveře, protože existuje pravděpodobnost 2 : 3, že za nimi bude auto. • Do časopisu napsalo spousta lidí a říkali, že se Marilyn mýlí. V 92% dopisů, které k úloze dostala, se tvrdilo, že se mýlí, a spousta jich bylo od matematiků a vědců. Tady je něco z toho, co říkali: • Všeobecný nedostatek matematického povědomí u veřejnosti mi působí velké starosti. Buďte prosím nápomocna a přiznejte svůj omyl. • Robert Sachs, Ph.D., Univerzita George Masona • Tato země má až příliš matematických analfabetů a nepotřebuje další propagování nejvyššího IQ na světě. Hanba! • Scott Smilt, Ph.D., Univerzita na Floridě

4. Historie • Jsem zděšený, že ani poté, co Vás opravili přinejmenším tři matematikové, stále nechápete svou chybu. • Kent Ford, Státní univerzita v Dickinsonu • Určitě obdržíte mnoho dopisů od středoškoláků i vysokoškoláků. Mohla byste si možná pár jejich adres uschovat pro případnou pomoc s příštími sloupky. • W. Robert Smith, Ph.D., Státní univerzita v Georgii • Jste úplně mimo... Kolika naštvaných matematiků je zapotřebí, abyste změnila názor? • E. Ray Robo, Ph.D., Univerzita v Georgetownu • Pokud se všichni ti Ph.D. mýlili, čekají naši zemi velice vážné potíže. • Everett Harman, Ph.D., Vojenský výzkumný institut Spojených států

5. Řešení 1 - matematika • Označme dveře jako X, Y a Z. • Označme jako Ax případ, kdy auto je za dveřmi X a tak dál. • Označme jako Kx případ, kdy konferenciér otevře dveře X atd. • Za předpokladu, že zvolíte dveře X, je možnost, že vyhrajete auto, jestliže potom změníte volbu, dána následujícím vzorcem • P(Kz ∩Ay) + P(Ky ∩Az) = P(Ay)·P(Kz|Ay) + P(Az)·P(Ky|Az)= = 1/3·1 + 1/3·1 =2/3

6. Řešení 2 – obrázek