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P ropri étés Intégrales des Mod èles Cosmologiques non-homogènes. Thomas Buchert. LMU Munich. Dynamique int égrale non-linéaire Statistique intégrale non-linéaire. Premi ère Partie :. Dynamique Non-lin éaire des Modèles Cosmologiques. Le Triangle Cosmique. Le Mod è le Standard. Les
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Propriétés Intégrales des Modèles Cosmologiques non-homogènes Thomas Buchert LMU Munich • Dynamique intégrale non-linéaire • Statistique intégrale non-linéaire
Première Partie : Dynamique Non-linéaire des Modèles Cosmologiques
Le Triangle Cosmique Le Modèle Standard Les Paramètres Cosmologiques Bahcall et al. (1999)
Le Modèle Concordance 0,3 0 0,7 Bahcall et al. (1999)
Le Modèle « Effectif » Pourquoi nous considerons une distribution lissée ? Exemple d’une Propriété Intégrale: La surface totale d’une sphère représentant le volume total du modèle standard avec k > 0 et la surface totale de la lune … A=4 R2 Alune¼ 40 Asphère “Surface roughening”
Lisser la Géométrie des Espaces Aparté : k = 0 < > = 0 Modèle Friedmann Euclidien Modèle non-homogène Riemannien VE > 0 < 0 > 0 VR
Comparaison des Volumes ,g t = const. E3
Préserver la Masse M B0 ,g M La densité lissée riemannienne : La densité lissée euclidienne : M La fraction des volumes : _ B
Un Modèle Simple = 1.64 Une vraie boule e s p a c e e u c l i d i e n VEuclid = 2/6 VRiemann
Fin de l’Aparté ! Maintenant : Modèles Newtoniens
Différence entre Modèles homogène et non-homogène Modèle Friedmann Euclidien Modèle non-homogène Euclidien Non-commutativité
La Construction d’unModèle Générique 1/3 1/3 a(t) = V aD(t)=V t Espace - Temps de Newton Le Modèle Standard Le Modèle «Effectif»
L’évolution lagrangienne M xi = fi (qj,t) i,j=1,2,3 t x2 M x1
L’évolution lagrangienne M t x2 M x1
La déformation lagrangienne t v1 = f1 (q1 ,t) f1 (q1 ,t) q1 x1 x1
L’évolution du volume xi = fi (qj , t) d3x = J(qi ,t) d3q <A>: = 1/V sD A d3 x
Lisser une distribution A xi = fi (q1,t) d3x = J(qi ,t) d3q
Entropie d’information relative Kullback-Leibler : S > 0 d/dt S > 0 : L’information dans l’Univers augmente ! en compétition avec l’expansion
Quelle est la dynamique du domaine ? Maintenant : Etude du taux d’expansion
L’équation de Euler : d/dt vi= gi ) d/dt vi,j = vi,kvk,j + gi,j Vi,j = 1/3 ij + ij + ij i = j L’équation de Newton : gi,i = – 4 G ) L’équation de Raychaudhuri Lisser sur un domaine spatial : Lisser le taux d’expansion : Le règle de non-commutativé : L’équation de Raychaudhuri :
Les équations généralisées de Friedmann Les fluctuations intégrales (« backreaction ») :
Le Quatuor Cosmique Le paramètre de Hubble effectif : Les paramètres cosmologiques effectifs : avec : Modèle analytique de vitesses
Est-ce qu’il y a des autres possibilités d’avoir Q = 0 ? • Régions sphériques • 2. Conditions frontières
Les Boules en Fer de Newton QR = 0 a R « Top-Hat »
Propriétés Globales des Modèles Newtoniens Les conditions de frontière sont périodiques
Le modèle effectif Newtonien sur l’échelle globale est le même que le modèle standard ! Mais: les observations sont faites sur des échelles régionales ) on peut calculer les effets au niveau régional avec les outils standards !
Simulations des structures aux grands échelles E u c l i d e e n MPA Garching
1024 cube Modèle lagrangien 2nd ordre C D M
numerique Le modèle lagrangien perturbatif avec un spectre coupé analytique TZA C D M
Modèle analytique pour les fluctuations intégrales Les Invariants de i|k := ( i / qk ) : I := trace ( i|k ) II := ½ [ trace ( i|k )2 - i|jj|i ] III := det ( i|k ) 1. L’approximation de Zel’dovich : xi = f Zi (q,t) = a (t) qi + b (t) i (q) v Zi = d/dt f Zi ) QZ = QZ ( v Zi , v Zi,j ) 2. Evolution perturbative du volume : JZ = det (f Zi|k) = a3 [ 1 + b I + b2 II + b3 III ] aD3 (t) = a3 [ 1 + b < I >i + b2 < II >i + b3 < III >i ]
3. Evolution non-perturbative du volume : Les relations dans le cas sphérique : < II > = 1/3 < I > 2 < III > = 1/27 < I > 3 ) QZ= 0
300 Mpc/h 600 Mpc/h Variance Cosmique
Conclusions : Les effets Newtoniens sont régionaux « Backreaction » peut se comporter qualitativement comme `` (t) ‘’ Il ne peut pas remplacer quantitativement « l’énergie noire» Mais les autres paramètres cosmologiques sont influencés indirectement et peuvent changer beaucoup !
Le Contexte Relativiste 1/3 aD= VR d2 s = - dt2 + gij dXi dXj t t Espace - Temps de Einstein gij
Les équations généralisées de Friedmann Les fluctuations intégrales (« backreaction ») : La condition d’intégrabilité : Le cas homogène :
Lisser la géometrie ,g t = const. E3
Conclusions : Les équations relativistes intégrales sont les mêmes que les équations Newtoniennes ! Globalement on n’a pas Q = 0 Q est relié à <R> ( La courbure globale change avec la formation des structures ! ) Les autres paramètres cosmologiques peuvent changer beaucoup, alors: l’effet de la courbure peut être important ( « l’énergie noire » )
Seconde Partie : Statistique Non-linéaire des Modèles Cosmologiques
Les Fonctionelles de Minkowski Propriétés intégrales du domaine Minkowski (1903) Les Fonctionelles de Minkowski : Gauss-Bonnet Ici: La Topologie !
La Morphologie du Domaine Les équations généralisées de Friedmann : Fonctionelles de Minkowski Le terme « réréaction » : Fonctionelles de Minkowski : Boule en Fer La boule en fer de Newton :
Point de Vue Morphologique : La morphologie du domaine contrôle l’évolution effective des champs dans le domaine Mais la topologie peut changer !!
Comment construire un corps (un domaine) à partir des données observées ? Exemples des données : catalogues des galaxies = une collection de points
Le construction d’un corps I CfA Coma Les contours « excursion »
Le construction d’un corps II Modèle Boole