Suites réelles

1. CHAPITRE 5 Suites réelles

2. Qu’est ce qu’une suite de nombres réels ? (un)n Application de N dans R n un Ne pas confondre la suite (un)n avec l’ensemble {un ; n = 0,1,2,…} des valeurs de la suite !

3. Suites de nombres réels et convergence un = u(n) un = mn + 0, dn,1 dn,2 dn,3 dn,4 … dn,p … l = m + 0, d1 d2 d3 d4 … dp … La suite de nombres réels (un)nconverge vers le nombre réel l si et seulement si : 1. La suite d’entiers relatifs (mn)n finit par « stationner » pour n assez grand à l’entier relatif m 2. Pour tout entier positif p, la suite de chiffres (dn,p)n finit par « stationner » pour n assez grand à l’entier dp

4. Quantifier la notion de convergence : Une suite (un)n de nombres réels converge vers un nombre réel l si et seulement si : Pour toute positif, il existe N(e) dans N , tel que : |un- l | b e n rN(e)

5. Propriétés des suites convergentes • Toute suite convergente est bornée (c’est-à-dire : l’ensemble des termes de la suite est minoré et majoré) • Toute suite extraite d’une suite convergente est aussi convergente et a même limite que la suite initiale donnée • Toute suite convergeant vers un nombre réel l>0 est minorée au-delà d’un certain cran n0 par l/2 >0.

6. Une propriété essentielle des suites monotonesde nombres réels • Toute suite (un)n de nombres réels croissante (au sens de l’ordre) et majorée estconvergente(vers la borne supérieure de l’ensemble des termes de la suite) • Toute suite (vn)n de nombres réels décroissante (au sens de l’ordre) et minorée estconvergente (vers la borne inférieure de l’ensemble des termes de la suite)

7. Suites adjacentes et lemme « des gendarmes » • Pour tout n dans N, les nombres un, un+1, vn+1, vn sont rangés dans cet ordre (croissant) 2. La suite (vn-un)n converge vers 0 Soient deux suites (un)n et (vn)n de nombres réels telles que : Les deux suites(un)net(vn)nsont dites adjacentes Lemme des gendarmes :« deux suites de nombres réels adjacentes sont toutes deux convergentes vers un même nombre réel »

8. Suites « pincées » et lemme « des gendarmes » bis • Pour tout n dans N, les nombres un , vn , wn sont rangés dans cet ordre (croissant) • Les suites (un)n et (wn)n convergent vers la même limitel Soient trois suites (un)n , (vn)n(wn)n de nombres réels telles que : La suite « pincée » (vn)nconverge alors aussi vers l

9. Limites et opérations • lim (un) = l et lim (vn)=l’ lim (un+vn) = l+l’ • lim (un) = l et lim (vn) =l’ lim (un vn) = ll’ • lim (un) = l et l_ 0 lim (1/un) = 1/l* • lim (un) = l lim (|un|) =|l| (*) un est forcément non nul pour n assez grand

10. Sous-ensembles ouverts Un ouvert U de R est un sous-ensemble voisinage de chacun de ses points, ce qui signifie : Pour tout x dans U, il existe un intervalle ouvert borné Ixcontenant x et inclus dans U ]|[ x U

11. Sous-ensembles fermés Un sous-ensemble F de R est dit fermé si et seulement si son complémentaire est ouvert.

12. Intérieur, adhérence, frontière d’un sous-ensemble E de R o L’intérieur E d’un sous-ensemble E de R est le plus grand sous-ensemble ouvert de R inclus dans E _ L’adhérence E d’un sous-ensemble E de R est le plus petit sous-ensemble fermé de R contenant E _ o Frontière de E : = E \ E

13. Caractérisation de l’adhérence Un point x de R est adhérent à un sous-ensemble E si et seulement si on peut l’atteindre comme limite d’une suite de points de E.

14. La droite numérique « achevée » R - l’infini + l’infini Adjonction à R de deux éléments

15. La droite numérique « achevée »(une autre manière de procéder) m R 0 x L’infini Adjonction à R d’un élément

16. Retour au premier point de vue (deux points à l’infini) Une suite (un)n de nombres réels tend vers « plus l’infini » si et seulement si : Pour tout A > 0 , il existe un entier N=N(A) dans N tel que : n r N(A) unr A

17. Une suite (un)n de nombres réels tend vers « moins l’infini » si et seulement si : Pour tout A > 0 , il existe un entier N=N(A) dans N tel que : n r N(A) unb - A

18. Attention aux formes indéterminées ! ? n2 – n ? (log n) /n = (1/n) x log n quand n tend vers + l’infini Lim (a0 np + a1 np-1 + … + ap) = + l’infini si a0 > 0 - l’infini si a0 < 0

20. Fin du chapitre 5