Outils Mathématiques

1. Outils Mathématiques Théorie des graphes et aide à la décision Application aux problèmes d’ordonnancement

2. Les étapes du processus d’aide à la décision Résolution Modèle Solution Abstrait Modélisation Mise en œuvre Réel Décision Formulation du problème réel Environnement complexe Points de vue multiple Flou CFA DESCARTES Méthodes Scientifiques de Gestion et Aide à la Décision

3. Formulation du problème réel • Analyser le contexte décisionnel, d’identifier les acteurs, les enjeux, les possibilités d’actions… • Définir les caractéristiques, les contraintes et les objectifs • Activités de structuration et de représentation du problème et identification des complexités objet et organisationnel de la situation Modélisation • Représentation plus ou moins abstraite du problème réel • Il existe des classes de modèles standards : Programmation linéaire, Théorie des graphes… CFA DESCARTES Méthodes Scientifiques de Gestion et Aide à la Décision

4. De la nécessité d’un modèleAffectation

5. Voyageur de commerce

6. Quelques classes de modèles • Modèles descriptifs : modèles statistiques, quel est mon environnement ? Comment fonctionne un système ? • Modèles de simulation : Que se passe-t-il si ?.... On évalue les conséquences de différents actions envisagées( en nombre fini). • Modèles d’optimisation : On recherche la meilleure action possible par rapport à un certain critère. CFA DESCARTES Méthodes Scientifiques de Gestion et Aide à la Décision

7. Résolution • Elaborer des recommandations à partir des résultats obtenus dans le cadre d’hypothèses de travail en utilisant des modèles formels (agrégation, …) • Solution réalisable : solution vérifiant les contraintes du modèle • Solution optimale : solution réalisable fournissant la meilleure valeur à la fonction économique Méthodes de résolution: • Algorithmes = méthode systématique constituée d’une série d’instructions • Heuristiques= algorithme basé sur une idée de bon sens et fournissant une bonne solution CFA DESCARTES Méthodes Scientifiques de Gestion et Aide à la Décision

8. La théorie des graphes Algorithme de détection des circuits dans un graphe Un sommet qui n’a pas de suivant ne peut pas faire partie d’un circuit (0) : Représenter G par son dictionnaire des suivants (des précédents) (1) : Chercher un sommet dont la liste des suivants (des précédents) est vide (2) : S’il n’en existe pas  Fin (3) : Supprimer ce sommet partout ou il apparaît dans le dictionnaire et retour en (1) A la fin : - si tous les sommets sont supprimés alors il n’existe pas de circuit - Sinon il existe au moins un circuit dans G CFA DESCARTES Méthodes Scientifiques de Gestion et Aide à la Décision

9. La théorie des graphes Algorithme de Bellman Graphe sans circuit • (0) : Poser λ1 = 0 • : Choisir xj non marqué dont tous les précédents sont marqués • Poser λj= Min (λj + vij) • xi -1(xj) • (2) : Si l’extrémité terminale du chemin recherché est marquée (pb) • ou si tous les sommets sont marqués (pb) alors FIN • Sinon retour en (1) CFA DESCARTES Méthodes Scientifiques de Gestion et Aide à la Décision

10. Les ponts de Koenigsberg d d d d e a b b a a f c b a f d c g e d b e a f b a f A A A A A A B B B B B B D D D D D D C C C C C C (page 1)

11. Les ponts de Koenigsberg (2) brève de comptoir

12. Les ponts de Koenigsberg brève de comptoir (2) Exemple page 3

13. Chapitre suivant Orienté Non orienté Arcs Arêtes Successeurs, prédécesseurs Voisins Demi degrés entrant ou sortant Degré Chemin Chaîne Circuit Cycle Fortement connexe Connexe Arborescence Arbre

14. Graphe d’incompatibilité sommets tâches arêtes incompatibilités tâches réalisées simultanément couleur minimiser la durée totale coloration minimum

15. Construction d’emploi du temps 1 12 10 sommets activités 5 7 3 15 14 9 4 arêtes chevauchements horaires 2 6 16 8 11 13 Exemple suivant (Page 20) • Objectif : minimiser le nombre de salles nécessaires • Contraintes : incompatibilités d’horaires graphe :

16. problème de coloration des graphes couleur Le problème revient à colorer les sommets du graphe avec le moins de couleurs deux sommets de même couleur ne peuvent être adjacents Conception d’un emploi du temps (2) 1 12 10 5 7 3 15 14 9 4 2 6 16 8 11 13 Affecter à chaque sommet une salle

17. Introduction à la gestion de projets Exemple : construction d’un pavillon (page 43)

18. Introduction à la gestion de projets (2)le graphe potentiel-tâches

19. 14 0 25 0 14 0 25 Introduction à la gestion de projets (3)calendrier au plus tôt 26 10 20 40 0 12 Excel

20. 14 14 0 0 25 26 35 10 10 20 40 0 0 7 12 14 14 0 8 25 25 Tâches critiques Introduction à la gestion de projets (4)calendrier au plus tard 34 20 12 40 0

21. Introduction à la gestion de projets (5)marges Marge totale : « OK, j ’ai pris une semaine de vacance, mais si vous décalez les peintres, le carreleur, et quelques autres, les délais pourront être tenus ! » Marge libre : « Je prends mon temps, y ’a rien qui presse, … tant que je ne retarde personne d’autre »

22. Introduction à la gestion de projets (6)diagramme de Gantt

23. 4 4 2 6 9 10 3 14 20 25 26 31 1 3 5 7 8 11 10 12 14 20 25 40 10 2 0 3 0 4 0 Introduction à la gestion de projets diagramme de Gantt