A. La llum com a ona electromagnètica: Les equacions d'En Maxwell

1. A. La llum com a ona electromagnètica: Les equacions d'En Maxwell El camp electromagnètic es descriu per un conjunt d'equacions que va ser formulat primerament per En Maxwell a mitjans del s. XIX, i que matematitzen les lleis empíriques que governen la interacció de càrregues i corrents elèctrics Llei d'En Coulomb Inexistència de monopols magnètics Llei d'En Lentz Llei de N'Ampère (+ Maxwell) D : Desplaçament elèctric B : Inducció magnètica E : Camp elèctric H : Camp magnètic r : Densitat de càrrega lliure (C/m3) j : Densitat de corrent lliure (A/m2 = C/m3. m/s)

2. Propietats importants Conservació de la càrrega Conservació de l'energia electromagnètica Vector d'En Poynting Radiació electromagnètica Efecte Joule

3. D i E : lligats per la POLARITZACIÓ ELÈCTRICA del material Igualment, H i B : lligats per la MAGNETITZACIÓ del material A més, en general, j i r depenen del camps E i H. Cada medi material té la seva resposta característica a l'aplicació d'un camp electromagnètic extern, de manera que P i M depenen dels camps i del material e0 = 8.85 10-12 (A s) /(V m) m0 = 4 p 10-7 (V s)/(A m)

4. Densitat d'energia del camp EM • Disminueix degut a: • augment de la polarització del medi • augment de la magnetització del medi • força feta sobre les càrregues en moviment (Joule) • radiació electromagnètica S, vector d'En Poynting n S

5. Ones EM al buit El buit no té càrregues ni corrents (r = 0 = j), i no es polaritza ni magnetitza. Aleshores, les equacions d'En Maxwell són Componentw Transformada d'En Fourier (t) Per a camps no estàtics, les dues primeres equacions es dedueixen de les dues (3 + 3 = 6) darreres, i només ens calen aquestes per a determinar el camp EM

6. Eq q Hq Les ones planes linealment polaritzades Fent la transformada d'En Fourier en espai, tenim } HqEq , q Eq Hq , q Eq Hq q Aleshores, o bé Eq = 0 o bé

7. En un punt fixat de l'espai els dos camps oscil.len en el temps a la mateixa freqüència angular, wPeríode, T = (2p)/w • En un instant donat, els camps a punts de l'espai que tenen coordenades x diferents en un múltiple sencer de l = (2p)/(w e0m0) es troben en el mateix estat d'oscil.lació. Periodicitat espacial,l : longitud d'ona • La direcció dels camps és sempre la mateixa • Tots els punts dels plans amb x constant ténen el mateix camp Així, tenim que les solucions de les equacions d'En Maxwell estan caracteritzades per la freqüència (angular) w, la direcció de q, i l'amplitud i fase del camp elèctric Eq. En espai i temps, i suposant que la direcció de q és X i la del camp elèctric és Y, les solucions són

8. t fixat Periodicitat espacial Ortogonals l Amplituds constants Constants a plans Posició fixa E, B Periodicitat temporal T

9. Per a qualsevol dels dos camps, en canviar de posició a temps fixat, tenim un canvi d'amplitud Igualment, a una posició donada tenim variacions temporals Si ens desplacem a una certa velocitat, podem aconseguir que a la nostra posció (que canvia) hi hagi sempre un valor de camp CONSTANT Per a que això sigui cert per a qualsevol Dt, cal que La velocitat (DE FASE) de les ones EM al buit és igual per a totes les freqüències, i té el valor c = 299791 Km/s  3 108 m/s La de la llum!!!!!!

10. <WEM> <S> <S> x Energia EM (radiació) CW Oscil.lant a freqüència w Energia per u. de temps i superfície fluint en la direcció de propagació ^ <S> = c <WEM> x

11. L'espectre electromagnètic Una ona EM plana al buit queda totalment especificada en fixar: • Sa direcció de propagació • La direcció d'oscil·lació del camp elèctic • La freqüència temporal d'oscil·lació l = 2p c/ w = c/f

12. Longituds d'ona més relevants per als SCO 244 nm Longitud d'ona de ressonància d'un enllaç ''equivocat'' Si-Ge. L'exposició de fibra òptica dopada amb Ge a aquesta longitud d'ona provoca un augment permanent de l'índex de refracció del material exposat. Crucial per a la fabricació de xarxes d'En Bragg en fibra. 400 nm Límit inferior (en long. d'ona) de l'espectre visible (violeta). 488 nm Longitud d'ona del làser d'argó (Ar), que es duplica en freqüència per a donar 244 nm. 560 nm Longitud d'ona de pic de la radiació solar. 570 nm Primera longitud d'ona per a la transmissió en POF. 650 nm Segona longitud d'ona per a la transmissió en POF. 700 nm Límit superior (en long. d'ona) de l'espectre visible (vermell). 780 nm Longitud d'ona dels làsers de CD-ROM. Més i més usada per a transmissió de dades a curta distància. 800-950 nm Primera finestra de transmissió de la fibra de Si. 980 nm Longitud d'ona de bombeig per a l'Er (EDFA). 1017 nm Longitud d'ona de bombeig per al Pr (Pr-DFA). 1064 nm Longitud d'ona de bombeig per a l'Yb (EDFA). 1280-1350 nm Segona finestra de transmissió de la fibra de Si. 1310 nm Longitud de dispersió nul.la de la fibra convencional. 1385 nm Pic d'absorció de l'enllaç O-H en fibra. 1480 nm Longitud d'ona de bombeig per a l'Er (EDFA). 1510-1600 nm Tercera finestra de transmissió de la fibra de Si. 1535-1560 nm Rang d'operació del EDFA de primera generació. Dades curta distància <100 m Dades curta distància ~ 1 km Dades mitja distància ~ 10 km Dades llarga distància > 10 km

13. Les ones planes linealment polaritzades NO SÓN les úniques ones EM que existeixen... Una font puntual emet ONES ESFÈRIQUES que es propaguen en totes direccions Una superposició d'ones planes LP també és una solució de les eqs. d'En Maxwell, i NO ÉS (necessàriament) una ona plana LP Camp elèctric d'una ona plana polaritzada circularment, resultat de superposar dues ones planes LP, una al llarg de l'eix X i l'altra al llarg de l'Y, de la mateixa amplitud, freqüència i direcció de propagació, però defassades 90°

14. Aleshores, per què són tan importants? 1) Són les més senzilles d'entendre 2) Conexió directa amb l'òptica geomètrica Raig = direcció de propagació de l'energia EM 3) Qualsevol altra solució de les eqs. d'En Maxwell es pot escriure com una superposició (suma) d'ones planes LP Quan sumem ones, sumem els camps, però l'energia és proporcional AL QUADRAT del camp. A més, ones  fases! Diferència de fase p Diferència de fase = p E E' E + E' = 0

15. Aquesta és la base dels fenomens d'interferència i difracció, crucials en tot el que es refereix a la llum Interferències E =E1+E2 r1 r 2d r2 z

16. Si les dues ones tenen la mateixa w i la diferència de fases estable durant el temps de mesura (el de promig), aleshores temin Si les dues ones tenen polaritzacions ortogonals, Si tenen polaritzacions paral.leles, OSCIL.LACIONS espacials

17. l1 h Q 2d l2 L z Si Y1 i Y2 són iguals i a més L >> h, d aleshores Interferència constructiva: | l2 – l1| = ml lL/(2d) W En promig espacial, la mateixa energia h Interferència destructiva: | l2 – l1| = (m + ½) l lL/(2d)

18. q q 2d l2 – l1 = 2d sin q Si en tenim N, de fonts amb la mateixa w, amplitud, polarització i fase

19. Màxims principals: 2d sin qm = m l Màxima <Wtot> = N2 <W1> m = +1 m = 0 q m = -1 Mirallets equiespaciats qi 2d (sin qm - sin qi) = m l m = 0

20. Medis materials: resposta a camps aplicats Els medis materials es poden classificar segons com responen quan se'ls aplica un camp electromagnètic. Un medi es diu que és: Homogeni: si les propietats del medi són les mateixes a tots els punts Isòtrop: si la resposta del medi no depèn de la direcció dels camps Lineal: si la polarització/magnetització proporcional al camp elèctric/magnètic • Els medis materials amb que tractarem són (si no s'indica el contrari) HLI. A més, considerarem que són • No polars: P0 = 0 • No magnètics: M = 0

21. Susceptibilitat elèctrica del medi LHI i no polar c(w) és, en general, complexa: mòdul i fase (tots dos, d'w!) Però camps reals! c(-w) = c*(w) A més, depèn de la freqüència! : dispersió Quan el camp té més d'una w, té una forma temporal (a un punt donat) no sinusoidal (un ''pols''). Degut a la dependència en w de la resposta del medi, les diferents components de freqüència de la polarització tenen fases diferents relatives als camps, de manera que en el domini temporal els ''polsos'' de polarització tenen una forma diferent dels de camp.

22. Ones EM en medis materials En general, un medi material té càrregues i corrents, i es polaritza i magnetitza. Aleshores, en principi hem de considerar les equacions d'En Maxwell en el cas més general, Transformada d'En Fourier (t) Per a medis LHI, no magnètics: A més, al domini òptic tenim: Conductivitat òptica

23. Eq q Hq Gairebé com al buit. Com abans, fent la TF en espai tenim Eq Hq q Ones planes linealment polaritzades

24. Novament, o bé Eq = 0 o bé Complexa! Com són, aquestes ones???? Suposem un camp real que només oscil.li a freq. w, i tornem al domini d'espai i temps. Suposem també que E || x, q || z qi > 0: atenuació qi < 0: amplificació qi = 0: transparència z t fixat

25. En un punt fixat de l'espai, oscil.la en el temps a la freqüència angular, w : T = 2p/w • En un instant donat, els punts de l'espai que tenen LA MATEIXA coordenada z tenen la mateixa FASE i AMPLITUD d'oscil.lació • En un instant donat, punts de l'espai que tenen coordenades z diferents en un múltiple sencer de l = (2p )/qr es troben en el mateix estat d'oscil.lació, però tenen diferents amplituds. Quasiperiodicitat espacial,l : longitud d'ona • La direcció del camp és sempre la mateixa Velocitat de fase També vàlid per al camp magnètic Índex de refracció del medi: n  c/v

26. Energia EM (radiació)

27. Medis passius (en equilibri tèrmic): qi 0 qi Àtoms: zones de qi gran aïllades per zones de qi petita w Gap: Eg = hw Bulk qi Semiconductors: zona de qi gran separada d'una zona de qi petita QW w

28. Amplificadors: cal aportar energia i rompre l'equilibri tèrmic Bulk qi Gap: Eg = hw Absorbent Transparent w Rang d'amplificació Només podrem tenir amplificació a freqs. on el medi passiu té absorció

29. Propagació de polsos Per a transmetre informació, cal modular la llum i emetre POLSOS múltiples w ! Però sempre espectre al voltant d'una portadora, W |E(w)|2 w -W W Domini òptic: W ~ 2p 1014 Hz wmod ~ 2p 1011 Hz << W Com es propaguen d'un punt a un altre?

30. Ona plana monocormàtica LP a z=0: E(0, t) + cc • Ona plana monocormàtica LP a z=L: E(L, t) = E(0, t) eiqL + cc • Per a POLSOS? • Descomposem en ones planes monocromàtiques LP (Transf. Fourier) a z=0 • Propaguem cadascuna d'elles fins a z=L • Reconstruïm el camp total (Transf. Fourier inversa) 1. F(t) t

31. 1/e -W W w Quasi-monocromàtic si

32. Propagació 2. + 3. En general, irresoluble analíticament. Però quasi-monocromàtic... Les propietats del medi no canvien gaire sobre l'amplada espectral del camp

33. A una zona de transparència, l'atenuació és petita i canvia poc amb la freqüència (al menys, sobre aquests intervals d'w), de manera que q' i q'' són ~ reals. Pèrdues per atenuació Canvi alçada per dispersió: Augmenta si f<1 Disminueix si f>1 Però no canvia el valor total! Canvi durada per dispersió: Dismimueix si f<1 Augmenta si f>1

34. Temps d'arribada del màxim: t = q'(W) L Velocitat del pols: vg = L/t = 1/q'(W) Velocitat de grup Índex de grup F(z=0, t) Durada del pols augmentada en f t F(z=L, t) Atenuació f q1 L t

35. aq2 > 0 a = 0 f aq2 < 0 Eixamplament q2 = 0 1 Compressió L/t2 Dispersió normal: , altrament, anòmala Group velocity dispersion: q2

36. C. Canvi de medi material • En canviar de medi material, hi ha una discontinuitat en la funció dielèctrica: Com es determinen i quines són les solucions de les equacions d’En Maxwell, en aquest cas? • Condicions de contorn a la frontera

37. A cada costat de la superfície hi tenim un medi diferent, amb ses funcions dielèctrica i conductivitat • A la superfície, hi ha una densitat (superficial) de càrrega elèctrica, rs, i hi circula una densitat de corrent (superficial) js e’(w) s’(w) e(w) s(w) normal tangencials • Continuitat de les components tangencials d’E • Continuitat de la component normal de B • Discontinuitat de la component normal de D = rs • Discontinuitat de la component tangencial d’H = js

38. Nosaltres habitualment treballarem en un límit on no hi ha càrregues ni corrents (freqüències òptiques!) • A més, medis amb molt poca atenuació e  real = n2 , s  0

39. Apliquem les condicions de contorn: • Les freqüències han de ser iguals, ja que s’han de verificar a qualsevol punt de la superfície de separació a tot temps t. • A més, per a que es verfiquin a qualsevol punt de la superfície hem de tenir que Les tres ones són coplanàries, i el pla conté

40. qt qr qi i) Cas TE: E  pla d’incidència Solució de prova + camps magnètics de cada ona Conds. Contorn Normal D Tangencial E Normal B Tangencial H

41. Sistema homogeni de 3 eqs. amb 3 incògnites: per a tenir solució no trivial, cal que s’anul·li el determinant

42. qt qr qi i) Cas TM: E || pla d’incidència Solució de prova + camps magnètics de cada ona Conds. Contorn Normal D Tangencial E Tangencial H Normal B

43. Sistema homogeni de 3 eqs. amb 3 incògnites: per a tenir solució no trivial, cal que s’anul·li el determinant

44. Brewster: Camps en sentit contrari al suposat a les solucions de prova

45. ? • Què vol dir t > 1? Conservació de l’energia? • Què passa per a angles d’incidència majors que l’angle límit?

46. i. Conservació de l’energia Cal mirar el flux net d’energia que atravessa la superfície tant al cas || com al 

47. x n2 <n1 n1 qr z qi ii. Què passa a angles majors que l’angle límit? La solució de prova no és bona, ja que no pot verificar les condicions de contorn en aquest cas (i. e. no és solució): l’ona transmesa té vector d’ona complex malgrat el medi ser transparent! Per verificar les BC cal que

48. Amb els vectors d’ona incident i reflexat reals, podem tenir un vector d’ona transmès complex! Ona que NO es propaga al llarg de Z: amplitud exp. decreixent amb z! Queda confinada a prop de la superfície de separació |A|t ~ e-az Lp z

49. Aplicant les condicions de contorn per a aquest tipus de solució, trobem que de manera que la reflectivitat és total (té mòdul 1) per a les dues polaritzacions, però introdueix una fase al camp (de Goos-van Hanschen shift)

50. D. El límit geomètric • En el límit en que la longitud d’ona de la llum és zero, l’òptica electromagnètica es redueix a l’òptica de raigs • Quan totes les dimensions d’interès a un problema siguin molt majors que l, podrem usar l’òptica de raigs. • A escales de l’ordre de l, caldrà la teoria electromagnètica