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Wahrscheinlichkeitstheorie. Laplacescher Wahrscheinlicheitsraum. Wahrscheinlichkeitstheoretische Interpretation von Mengenoperationen. Vereinigung. Durchschnitt. Differenz. Komplement. Wahrscheinlichkeitsräume. Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes. Daraus ergeben sich:.
E N D
Wahrscheinlichkeitstheoretische Interpretation von Mengenoperationen Vereinigung Durchschnitt
Differenz Komplement
Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes Daraus ergeben sich:
Die Wahrscheinlichkeiten in (a) und (b) betragen 0,7714 und 0,4265 0,9714 und 0,5265 0,9714 und 0,4265 0,8714 und 0,3265
Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt: Notation
Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt: Notation
Die geometrische Verteilung Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt:
Die hypergeometrische Verteilung Notation
Eine Urne enthält n Kugeln, davon N weiße und n - Nschwarze. Aus der Urne werden nacheinander m Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genauk weiße Kugeln zu ziehen? Sie beträgt geradeH(n, N, m)(k)!
Die Wahrscheinlichkeiten in (a) und (b) betragen 0,2714 und 0,2265 0,1714 und 0,5265 0,1888 und 0,2028 0,1714 und 0,3265
Die Anzahl der Wörter beträgt 10 in (a), 60 in (b) und 440 in (c) 6 in (a), 40 in (b) und 640 in (c) 6 in (a), 60 in (b) und 2520 in (c) 6 in (a), 60 in (b) und 840 in (c)
Gauß-Bildnis und –Kurve auf 100 DM-Schein
Die Student- oder t-Verteilung Hängt von Parameter n ab!
Die Chi-Quadrat-Verteilung Hängt ebenfalls von Parameter n ab!
Unabhängigkeit Vier Spielkarten zeigen auf der Vorderseite die folgenden Aufschriften: 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Eine Karte wird zufällig gezogen. Ereignisse A, B und C A : „Oben steht eine 0“ B: „In der Mitte steht eine 0“ C: „Unten steht eine 0“
Man hat zwar: Trotzdem sind die Ereignisse A, B und C nicht unabhängig: d. h. C kann nicht eintreten, wenn A und B eintreten.
Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Belegschaft eines Betriebes wird nach Rauchern und Nicht- rauchern eingeteilt. Dabei ergibt sich die folgende Tabelle:
Also haben wir: Allgemein definiert man:
A und B sind unabhängig, weil P(A B) = P(A) P(B) A und B sind nicht unabhängig, weil P(A B) = P(A) P(B) A und B sind unabhängig, weil P(A B) = P(A) P(B) A und B sind nicht unabhängig, weil P(A B) = P(A) P(B)
Es ist P(A B) = 1/2 und P(B A) = 1/4 P(A B) = 1/3 und P(B A) = 1/4 P(A B) = 1/4 und P(B A) = 1/8 P(A B) = 1/8 und P(B A) = 1/3
Die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,333 0,25 0,125 0,5
Baumdiagramm START p(1) p(3) p(2) 1 3 2 p(1.2 1) p(3.3 3) p(2.1 2) 3.3 1.1 3.1 3.2 1.2 2.1 p(3.3.1 3.3) p(2.1.1 2.1) p(1.1.2 1.1) 1.2.1 1.2.2 2.1.1 2.1.2 2.1.3 3.3.2 3.2.1 3.2.2 1.1.1 1.1.2 1.2.3 3.1. 3.3.1 (Eigentlich z. B. b(1.2.1) statt 1.2.1)
Urne mit roten und grünen Kugeln Wir betrachten eine Urne mit einer rotenund 3 grünen Kugeln. • Stufe: Eine Kugel wird zufällig gezogen, ihre Farbe notiert. • Anschließend werden diese und eine Kugel derselben Farbe • in die Urne zurückgelegt. 2. Stufe: Nach dem guten Mischen wird erneut eine Kugel zufällig gezogen und deren Farbe notiert.
Baumdiagramm START 3/4 1/4 1 0 1/5 3/5 2/5 4/5 0 1 0 1
Die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,56 0,25 0,65 0,50
Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit Einkommensverteilung der Haushalte in einer bestimmten Gegend Anteil der Haushalte, die ein Auto > DM 40 000,- anschaf- fen, in den verschiedenen Einkommensklassen
Es ergibt sich: 5 Also nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit:
Allgemein: Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
Satz von Bayes In einer Stadt vermutet man, dass für die Bevölkerung die folgende Aufteilung in Deutsche, Italiener und Ausländer, die keine Italiener sind, besteht: wobei die letzte Zeile den jeweiligen Anteil von Personen in der Bevölkerungsgruppe angibt, die gerne Spaghetti bestellen.
