제 8 장 일반함수모형의 비교정태분석

1. 제8장 일반함수모형의 비교정태분석

2. 일반함수모형의 비교정태분석 • 일반함수모형 • 개요(introduction) • - 편도함수의 정의는 독립변수들 간에 어떤 함수관계도 • 존재하지 않는 것을 전제로 함(즉, 상호독립적). • - 그러나 일반함수형태가 모형에 포함되면, 어떤 명시적 • 축약형의 해를 얻을 수 없을 경우에는, 그러한 편리한 • 방법은 기대할 수 없음. • - 예를 들어, 단순한 국민소득모형에서 • Y=C+I0+G0 • C=C(Y, T0) [여기서 T0는 외생변수로서의 조세]

3. 일반함수모형의 비교정태분석 • 일반함수모형 - 앞의 두 모형은 Y*를 구하기 위해 하나의 단일방정식 (하나의 균형조건)으로 다음과 같이 축약할 수 있음. Y=C(Y, T0)+I0+G0 - 그러나 소비함수 C가 일반함수형태로 주어져 있어서 명시적인 해를 얻는 것은 불가능함. - 균형해 Y*를외생변수 I0, G0, T0의 미분가능함수라면, Y*=Y*(I0, G0, T0) 또는 Y*C(Y*, T0)+I0+G0

4. 일반함수모형의 비교정태분석 • 일반함수모형 - 만일 앞의 식에서 ∂Y*/∂T0를 구하고자한다면, 함수 C에 포함된 두 변수는 서로 독립적이지 않음. - 왜냐하면, 이 경우 T0는 직접적으로 C에 영향을 미칠 뿐만 아니라, Y*에 대해서도 간접적으로 영향을 미침. - 따라서 편미분은 이러한 문제를 해결 수 없음. - 결과적으로, 이러한 문제를 해결하기 위하여 전미분 (total differentiation)이라는 편미분의 대비 개념이 필요함.

5. 일반함수모형의 비교정태분석 • 일반함수모형 - 전미분의 과정은 전도함수(total derivative)의 개념과 관련됨. - 전도함수는 C(Y*, T0)와 같은 함수에서독립변수 T0가 다른 독립변수 Y*에 영향을 줄 때, 변수 T0에 관한 그 함수의 변화율의 정도를 나타냄.

6. dy ⊿y ⊿y dy ⊿y dy dx ⊿x ⊿x dx ⊿x dx • 일반함수모형의 비교정태분석 • 미분(differentials) • 미분과 도함수(differentialsand derivatives) • - 도함수 dy/dx=f(x)는 차분몫의 극한임. • =f(x)= • - 따라서⊿y/⊿x 그 자체는 (⊿x0의 규정없이) dy/dx와 • 같지 않음. • - 여기서 이 두 몫의 불일치를 로 나타내면, • - = 또는 = + [단, ⊿x0에 따라 0] • - ⊿x가 0에 무한접근하면, 불일치항 도 0에 무한접근 lim ⊿x0

7. dy dx • 일반함수모형의 비교정태분석 • 미분(differentials) • 미분과 도함수(differentialsand derivatives) • - 앞의 식을 양변에 ⊿x를 곱하면 다음과 같음. • ⊿y= ⊿x+⊿x 또는 ⊿y=f(x)⊿x+⊿x • - 이 식은 ⊿x의 특정변화로 인한 y의 변화(⊿y)를 나타냄. • - 여기서 ⊿x가 충분히 작은 수이면 도 충분히 작은 수가 • 되고, ⊿x는 더욱 작은 수가 됨. • - 따라서 f(x)⊿x는 y의 증분 ⊿y의 근사값으로 사용할 수 • 있음.

8. 일반함수모형의 비교정태분석 • 미분(differentials) • 미분과 도함수(differentialsand derivatives)

9. CB CD ⊿y dy ⊿x AC dx AC • 일반함수모형의 비교정태분석 • 미분(differentials) • 미분과 도함수(differentialsand derivatives) • - [그림 8.1]의 x0에서 x0+⊿x로변하면, y=f(x) graph에서 • 점 A에서 점 B로 이동함. • - 이때 ⊿y는 CB이고, 두 거리의 비율(=기울기)은 CB/AC= • ⊿y/⊿x임. • - 이를 수식으로 다시 정리하면, • ⊿y= ⊿x= AC=CB • dy= dx= AC=CD

10. 일반함수모형의 비교정태분석 • 미분(differentials) • 미분과 도함수(differentialsand derivatives) • - 여기서 점 A를 지나는 접선을 그리고, CB 대신 CD를 • ⊿y의 근사값으로 사용하면, 불일치또는 근사값 오차는 • DB가 됨. • - AD의 기울기는 f(x0)이므로, ⊿x가 감소함에 따라(⊿x0) • 점 B에서 점 A로 이동함. 이에 따라 불일치를 줄이고 • f(x0), 즉 dy/dx를 ⊿y/⊿x에 더 가까운 근사값으로 만듬. • - 따라서 ⊿x가 감소함에 따라 dy와 ⊿y의 차이도 0에 • 접근

11. dy dx • 일반함수모형의 비교정태분석 • 미분(differentials) • 미분과 도함수(differentialsand derivatives) • - [그림 8.1]에서 접선 AD의 기울기는 dy/dx가 됨. • - 따라서 다음과 같이 정리할 수 있음. • =접선 AD의 기울기=f(x) • - 위 식의 양변을 dx로 곱하면, • dy=f(x)dx • 따라서dx의어떤특정한 값이주어지면, 그것에 f(x)를 • 곱함으로써 ⊿y의 근사값으로서의 dy를 구할 수 있음. • - 변화량 dy와 dx를 각각 x와 y의 미분(differential)이라 함.

12. 일반함수모형의 비교정태분석 • 미분(differentials) • 미분과 점탄력성(differentialsand point elasticity) • - 수요함수 Q=f(P)의 가격탄력성은 (⊿Q/Q)/(⊿P/P)로 • 정의됨. • - 위 식에서 근사값을 사용하면, 독립적 변화 ⊿P와 종속 • 적 변화 ⊿Q는 dP와 dQ로 바꿀 수 있음. • - 따라서 d(elasticity를 나타내는 그리스 문자 epsilon) • 로 표현되는 수요의 점탄력성(point elasticity)이라는 • 근사값으로서의 탄력성측도를 얻음.

13. dQ/Q dQ/dP 한계함수(marginal function) dP/P Q/P 평균함수(average function) • 일반함수모형의 비교정태분석 • 미분(differentials) • 미분과 점탄력성(differentialsand point elasticity) • - 수요의 점탄력성 다음과 같이 정리할 수 있음. • d= = = • - 수요의 점탄력성은 평균함수에 대한 한계함수의 비율 • - 위 식에서 • d 일 때 수요는 = 1 =1 1 =0 완전탄력적(perfectly elastic) 탄력적(elastic) 단위탄력적(unitary elastic) 비탄력적(inelastic) 완전비탄력적(perfectly inelastic)

14. dQ Q 100-2P dQ/dP 100-2P -P dP P P Q/P P 50-P • 일반함수모형의 비교정태분석 • 미분(differentials) • 미분과 점탄력성(differentialsand point elasticity) • - 수요함수 Q=100-2P일 때 수요의 점탄력성(d)? • =-2 및 = • - 평균함수에 대한 한계함수의 비율인 점탄력성은 • d= =-2/ = • - 이처럼탄력성은 P의 함수로 주어짐. 따라서 특정한 • 가격이 선택되면 점탄력성의 크기가 결정됨.

15. 일반함수모형의 비교정태분석 • 미분(differentials) • 미분과 점탄력성(differentialsand point elasticity) • - 예를 들어, P=25일 때 d=-1 또는 d=1이므로 수요는 • 이 가격(점)에서 단위탄력적임. • - P=30일 때 d =1.5이므로 수요는 이 가격에서 탄력적임. • - 만약 25P50일 때 d1이므로 수요는 탄력적이고, • 0P25일 때 d1이므로 수요는 비탄력적임. • - 여기서 만약 P=50이라면d=(완전탄력적)가 되고, • P=0라면d=0(완전비탄력적)이 됨.

16. dQ Q dQ/dP 2P+7 P2+7P dP P Q/P P+7 P • 일반함수모형의 비교정태분석 • 미분(differentials) • 미분과 점탄력성(differentialsand point elasticity) • - 공급함수 Q=P2+7P일 때 공급의 점탄력성(s)? • =2P+7 및 = =P+7 • - 평균함수에 대한 한계함수의 비율인 점탄력성은 • s= = • - 여기서 P=2일 때, 공급탄력성의 값은 11/9(1)임. • 따라서 공급은 P=2에서 탄력적(elastic)임.

17. 일반함수모형의 비교정태분석 • 미분(differentials) • 미분과 점탄력성(differentialsand point elasticity)

18. 일반함수모형의 비교정태분석 • 미분(differentials) • 미분과 점탄력성(differentialsand point elasticity) • - 앞의 [그림 8.2]에서 두 경우 모두 곡선상의 점 A에서 • (또는 정의역 x=x0에서) 한계함수의 값은 접선 AB의 • 기울기로 측정됨. • - 한편, 평균함수의 값은 직선 OA(원점에서 곡선상의 • 점 A를 연결한 직선)의 기울기로 측정됨. • - 따라서 점 A에서 점탄력성은 평균함수와 한계함수의 • 기울기 수치의 비교로 알 수 있음. • - 점 A에서⒜의 경우 비탄력적, ⒝의 경우 탄력적임.

19. 일반함수모형의 비교정태분석 • 미분(differentials) • 미분과 점탄력성(differentialsand point elasticity)

20. 일반함수모형의 비교정태분석 • 미분(differentials) • 미분과 점탄력성(differentialsand point elasticity) • - 점탄력성은 두 기울기 수치의 비교로 측정할 수 있기 • 때문에 비교되는 두 기울기는 두 각(m과 a; 하첨자 • m과 a는 한계와 평균을 의미)의 크기에 의존함. • - 따라서 두 기울기를 비교하는 대신에 이에 상응하는 • 두 각을 비교해도 무방함. • - [그림 8.2]⒜는 (ma)비탄력적, ⒝는 (ma)탄력적 • - [그림 8.3]에서는 ⒜와⒝ 기울기의 두 각이 모두 같음 • (m=a). 즉, 주어진 곡선상의 점 C에서단위탄력적임.

21. 일반함수모형의 비교정태분석 • 미분(differentials) • 미분과 점탄력성(differentialsand point elasticity) • - 지금까지 살펴본 기하학적 방법은 함수 y=f(x)의 종속 • 변수 y가 세로축에 표시되고 있음을 유의해야 함 • (왜냐하면, 경제학에서는 정반대로 표시하기 때문). • - 따라서 수요와 공급의 점탄력성을 구하고자 할 때, • 종속변수인 수요(Qd)와 공급(Qs)이 가로축에 위치하면 • 점탄력성을 구하는 방법은 정반대로 수정되어야 함.

22. 일반함수모형의 비교정태분석 • 미분(differentials) • 전미분(total differentials)의개요 • - 미분의 개념은 독립변수가 둘 이상인 다변수함수에 • 대해서도 확장할 수 있음. • - 함수 z=f(x, y)에서 x와 y의 증분을 각각 ⊿x, ⊿y라면, • ⊿z=f(x+⊿x, y+⊿y)-f(x, y) • - 위식의우변에서 f(x, y+⊿y)를 빼고 더하면, • ⊿z=[f(x+⊿x, y+⊿y)-f(x, y+⊿y)]+[f(x, y+⊿y)-f(x, y)] • - 첫 번째 대괄호 안에서 x는 변하고 y는 고정되어 있고, • 두 번째 대괄호 안에서 y는 변하고 x는 고정되어 있음.

23. f(x+⊿x, y+⊿y)-f(x, y+⊿y) f(x, y+⊿y)-f(x, y) ⊿x ⊿y • 일반함수모형의 비교정태분석 • 전미분(total differentials) • 전미분(total differentials)의개요 • - 한편, 앞의 식은 다음과 같은 식이 성립함. • =fx(x, y)+1 • =fy(x, y)+2 • - 여기서각각 ⊿x, ⊿y를 양변에 곱하고, 다시 정리하면 • 다음과 같이 나타남. • ⊿z=fx(x, y)⊿x+fy(x, y)⊿y+1⊿x+2⊿y • - 위에서 fx와 fy는 각각의편도함수(partial derivatives)임.

24. ∂z ∂z ∂x ∂y • 일반함수모형의 비교정태분석 • 전미분(total differentials) • 전미분(total differentials)의개요 • - 한편, 앞의 식에서 ⊿x와 ⊿y가 각각 0에 무한접근하면, • 각각의 불일치항인 1과 1도 0에 무한접근함. • - 따라서 1⊿x와 1⊿y도 더욱 더 작은 수가 되므로,z의 • 총변화(dz)는 근사값으로 다음과 같이 미분됨. • dz= dx+ dy 또는 dz=fx(x, y)dx+fy(x, y)dy • - 위식에서 dz는 두 원천으로부터 발생하는 변화의 합 • 이기 때문에, 이것을 dz의 전미분이라 함.

25. 일반함수모형의 비교정태분석 • 전미분(total differentials) • 전미분(total differentials) • - 예를 들어, 저축함수 S=S(Y, i); 여기서 S는 저축, Y는 • 국민소득, i는 이자율임. • - 여기서 각각의 편도함수 ∂S/∂Y는 한계저축성향(MPS), • ∂S/∂i는 한계이자율성향(MPI)을 나타냄. • - 따라서 Y의 미소변화 dy에 따른 S의 변화는 근사값 • (∂S/∂Y)dy로, i의 미소변화 di에 기인하는 S의 변화는 • 근사값 (∂S/∂i)di로 나타낼수있음.

26. ∂S ∂S ∂S dS ∂Y ∂i ∂Y dY • 일반함수모형의 비교정태분석 • 전미분(total differentials) • 전미분(total differentials) • - 그러면, 저축 S의 총변화는 다음과 같이 미분으로 근사 • 할 수 있음. • dS= dY+ di 또는 dS=SYdY+Sidi • - 만약 i는 일정한데 Y만 변한다면, 이 경우 di=0이 되고, • 전미분은 dS=(∂S/∂Y)dY로 되고, 양변을 dY로 나누면 • = • - 따라서편도함수 ∂S/∂Y는 독립변수 i가 일정하다는 전제 • 하에 두 미분 dS와 dY의 비율과 같음.

27. ∂U ∂U ∂U ∂x1 ∂x2 ∂xn • 일반함수모형의 비교정태분석 • 전미분(total differentials) • 전미분(total differentials) • - n개의 독립변수로 구성된 일반함수형태의 효용함수 • U=U(x1, x2,, xn) • - 위 함수의 전미분은 다음과 같이 표현할 수 있음. • dU= dx1+ dx2++ dxn • 또는 dU=U1dx1+U2dx2++Undxn=Uidxi • - 위 식에서 우변의 각 항은 어떤 하나의 독립변수가 • 미소변화할 때 초래되는 총효용변화의 근사값임.

28. 일반함수모형의 비교정태분석 • 전미분(total differentials) • 전미분(total differentials) • - 다른 함수와 마찬가지로 점탄력성을 구할 수 있음. • - 그러나 각 탄력성은 여러 개의 독립변수 중 오직 어떤 • 하나의 독립변수 변화에 대한 종속변수 변화로 정의됨. • - 따라서 앞서 저축함수는 두 개의 탄력성이 정의될 수 • 있고, 효용함수는 n개의 탄력성이 정의될 수 있음. • - 이 때, 각각의 독립변수 변화에 대한 종속변수 변화는 • 편도함수가 되고, 이들의 탄력성을 편탄력성(partial • elasticity)이라 함.

29. ∂U ∂S/∂Y ∂S ∂U/∂xi Y ∂S/∂i xi ∂S i ∂i S/Y ∂Y S ∂xi S U/xi S/i U • 일반함수모형의 비교정태분석 • 전미분(total differentials) • 전미분(total differentials) • - 앞에서의저축함수에 대한 편탄력성은 다음과 같음. • SY= = Si= = • - 효용함수에대한 n개의 편탄력성은 다음과 같음. • Uxi= = (i=1, 2,, n)

30. ∂U ∂U ∂U ∂U ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 • 일반함수모형의 비교정태분석 • 전미분(total differentials) • 전미분(total differentials) • - 예 1 : U(x1, x2)=ax1+bx2 (여기서 a, b0) • =U1=a =U2=b • dU=U1dx1+U2dx2=adx1+bdx2 • - 예 2 : U(x1, x2)=x12+x23+x1x2 (여기서 a, b0) • =U1=2x1+x2 =U2=3x22+x1 • dU=U1dx1+U2dx2=(2x1+x2)dx1+(3x22+x1)dx2

31. ∂U ∂U ax1ax2b bx1ax2b ax1ax2b bx1ax2b ∂x1 ∂x2 x1 x2 x1 x2 • 일반함수모형의 비교정태분석 • 전미분(total differentials) • 전미분(total differentials) • - 예 3 : U(x1, x2)=x1ax2b (여기서 a, b0) • =U1=ax1a-1x2b= • =U2=bx1ax2b-1= • dU=U1dx1+U2dx2=( )dx1+( )dx2

32. ∂z ∂z ∂z ∂z ∂x ∂y ∂x ∂y • 일반함수모형의 비교정태분석 • 전미분(total differentials) • 전미분(total differentials) • - 예 4 : z=2x+5xy+y • =z1=2+5y =z2=5x+1 • dz=z1dx+z2dy=(2+5y)dx+(5x+1)dy • - 예 5 : z=2x2+y2 • =z1=4x =z2=2y • dz=z1dx+z2dy=4xdx+2ydy

33. ∂y x2 ∂u ∂u -x1 ∂u x1 ∂y -x1 x2 ∂x1 ∂x ∂y ∂z x1+x2 (x1+x2)2 (x1+x2)2 ∂x2 (x1+x2)2 (x1+x2)2 • 일반함수모형의 비교정태분석 • 전미분(total differentials) • 전미분(total differentials) • - 예 6 : u=xy2z3 • =u1=y2z3 =u2=2xyz3 =u3=3xy2z2 • du=u1dx+u2dy+u3dz=y2z3dx+2xyz3dy+3xy2z2dz • - 예 7 : y= • =y1= =y2= • dy=y1dx1+y2dx2= dx1+ dx2

34. 일반함수모형의 비교정태분석 • 미분연산법칙(rulesof differentials) • 함수 y=f(x1, x2)의 전미분 dy를 구하는 간단한 방법은 • 편도함수 f1과 f2를 구하고, 다음 식에 대입하는 것임. • dy=f1dx1+f2dx2 • - 그러나다음과 같은 미분법칙을 적용하는 것이 편리함. • - 여기서 k는 상수이고, u, v는 변수 x1, x2의함수임. • [법칙 1] dk=0 (상수함수의 법칙) • [법칙 2] d(cun)=cnun-1du (멱함수의 법칙) • [법칙 3] d(uv)=dudv(합과차의 법칙) • [법칙 4] d(uv)=vdu+udv (곱의 법칙)

35. u 1 v v2 • 일반함수모형의 비교정태분석 • 미분연산법칙(rulesof differentials) • [법칙 5] d( )=(vdu-udv) (몫의법칙) • [법칙 6] d(uvw)=dudvdw • [법칙 7] d(uvw)=vwdu+uwdv+uvdw • 이상의법칙들이 응용되는 실례를 살펴보기로 함. • - 예 1 : y=5x12+3x2 • 이 함수의 편도함수 f1=10x1 및 f2=3이므로 구하고자 • 하는 미분은 dy=f1dx1+f2dx2=10x1dx1+3dx2 • 그러나u=5x12과 v=3x2로 놓고, 미분법칙을 적용하면, • dy=d(5x12)+d(3x2)=10x1dx1+3dx2

36. 일반함수모형의 비교정태분석 • 미분연산법칙(rulesof differentials) - 예 2 : y=3x12+x1x22 편도함수 f1=6x1+x22와 f2=2x1x2이므로 구하고자 하는 미분은 dy=f1dx1+f2dx2=(6x1+x22)dx1+2x1x2dx2 u=3x12과 v=x1x22로 놓고, 미분법칙을 적용하면, dy=d(3x12)+d(x1x22)=6x1dx1+x22dx1+x1d(x22) =(6x1+x22)dx1+2x1x2dx2

37. -(x1+2x2) x1+x2 -(x1+2x2) 1 1 1 -(x1+2x2) 2x13 2x12 2x13 2x13 2x12 2x12 2x12 • 일반함수모형의 비교정태분석 • 미분연산법칙(rulesof differentials) - 예 3 : y= 편도함수 f1= 와 f2= 이므로 구하고자 하는미분은 dy=f1dx1+f2dx2= dx1+ dx2 u=x1+x2와 v=2x12으로 놓고, 미분법칙을 적용하면, dy=(1/4x14)[2x12d(x1+x2)-(x1+x2)d(2x12)] =(1/4x14)[2x12(dx1+dx2)-(x1+x2)4x1dx1] =(1/4x14)[-2x1(x1+2x2)dx1+2x12dx2] = dx1+ dx2

38. 일반함수모형의 비교정태분석 • 미분연산법칙(rulesof differentials) - 예 3 : y=3x1(2x2-1)(x3+5) 위 식의편도함수 f1=3(2x2-1)(x3+5),f2=2(3x1)(x3+5), f3=3x1(2x2-1)이므로 구하고자 하는미분은 dy=f1dx1+f2dx2+f3dx3=3(2x2-1)(x3+5)dx1 +2(3x1)(x3+5)dx2+3x1(2x2-1)dx3 u=3x1, v=2x2-1, w=x3+5으로 놓고, 미분법칙을 적용 dy=(2x2-1)(x3+5)d(3x1)+3x1(x3+5)d(2x2-1) +3x1(2x2-1)d(x3+5) =3(2x2-1)(x3+5)dx1+2(3x1)(x3+5)dx2+3x1(2x2-1)dx3