1 / 110

CHAPTER 4

CHAPTER 4. TOPIK DALAM TEORI FUNGSI. 4.1 Konsep Topologi dalam R n. Analisis fungsi yang dinyatakan pada subset R n membutuhkan konsep dari teori himpunan tertentu yang membahas tentang posisi titik-titik dalam ruang (space). Contoh :

brett-odonnell
Download Presentation

CHAPTER 4

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. CHAPTER 4 TOPIK DALAM TEORI FUNGSI Rolando Danao

  2. 4.1 Konsep Topologi dalam Rn Analisis fungsi yang dinyatakan pada subset Rn membutuhkan konsep dari teori himpunan tertentu yang membahas tentang posisi titik-titik dalam ruang (space). Contoh : Dalam kalkulus, teorema menyatakan bahwa jika suatu fungsi dari real variabel adalah differentiabel dan f mempunyai maxima pada titik interior x* dari domainnya, maka f’(x*) = 0. Syarat x* menjadi interior adalah necessary; sebaliknya teorema tidak berlaku. Rolando Danao

  3. 4.1.1 Definisi Andaikan x  Rn. Euclidean norm dari X, dinotasikan dengan || x || didefenisikan sebagai berikut : ||x|| = (xtx)1/2 = ( xj2)1/2 …… (4.1) Andaikan x, y  Rn. Euclidean distance (ED) diantara x dan y, dinotasikan dengan d(x,y), didefenisikan sebagai berikut: n j=1 n j=1 d(x,y) = ||x - y|| = [ (xj – yj)2 ]1/2 …… (4.2) Himpunan Rn yang diisi dengan ED disebut euclidean n space dan elemen dari Rn biasanya disebut titik (titik dan vektor akan digunakan bergantian). Rolando Danao

  4. x d(x,y) y2 x2 – y2 d(x,y) y1 x1 – y1 x y 0 x1 x2 R1 R2 4.1.2 Remarks Pada real line R1 (R saja), jarak antara dua titik X dan Y adalah nilai absolute dari perbedaannya (selisih), yaitu d(X,Y) = |X – Y|. Pada plane R2, distance adalah jarak yang diperoleh dengan pythagorean theorem, i.e. d(x,y) = [(x1-y1)2 + (x2-y2)2]1/2 Gambar 4.1 Distance in R1 and R2 Rolando Danao

  5. x-r x x+r R1 R2 4.1.3 Definisi Let x  Rn dan r > 0. Himpunan titik dalam Rn yang memiliki distance dari x kurang dari r disebut open neighborhood dari x dan dinotasikan dengan Nr (x), i.e. Nr(x) = {y  Rn| d(x,y) < r} …… (4.3) 4.1.4 Contoh Pada riil line R, Nr(x) adalah interval terbuka (x-r, x+r). Untuk R2, Nr(x) adalah disk dalam lingkaran dari radius r dengan pusat r (gambar 4.2) Open neighborhood in R1 and R2 Rolando Danao

  6. Interior point x S Boundary point Gbr. 4.3 Interior and Boundary Points in R2 4.1.5 Definisi Andaikan S  Rn. Suatu titik x adalah boundary point dari S jhj Nr (x) berisi setidaknya satu titik dalam S dan titik lain di luar S. Himpunan boundary point dari S disebut boundary dari S. y Rolando Danao

  7. 4.1.6 Definisi Andaikan S  Rn. Titik S yang bukan boundary point dari S disebut interior point dari S. Equivalently x adalah interior point dari S jhj terdapat suatu open Nr(x) seperti Nr(x)  S. Interior S adalah himpunan titik interior dari S dan dinotasikan dengan int (S). 4.1.7 Definisi Let S  Rn . Closure S adalah union dari S dan titik boundarynya dinotasikan dengan C1 (S). Rolando Danao

  8. 4.1.8 Contoh 1) Andaikan S = (a,b) adalah interval terbuka dalam R. Maka semua titik S adalah interior point dan titik a dan b adalah titik boundary. Semua titik ini bukan milik S. Himpunan T = (a,b) memiliki titik interior dan boundary point yang sama dengan S. Tetapi dalam kasus ini a adalah T dan b tidak dalam T. Catatan: C1(S) = [a, b] = C1(T). 2) Andaikan S = {xR2|x12 + x22 ≤ 1} Disk dengan pusat pada origin dengan radius 1. Int (S) terdiri dari titik dalam lingkaran C={xR2|x12+x22 = 1} maka boundary pointnya adalah titik C. Catatan bahwa semua titik milik S  C1(S) = S Rolando Danao

  9. 3) Andaikan S = {xR2|x12 + x22 = 1} Lingkaran dengan radius 1 dengan pusat origin. S tidak memiliki interior point. Semua titiknya adalah boundary point. Seperti C dalam kasus ini C1(S) = S. 4.1.9 Definisi Suatu himpunan S  Rn adalah terbuka jhj setiap titik S adalah interior point. A set S  Rn adalah tertutup jhj S terdiri dari semua boundary point. 4.1.10 Contoh Open Sets (1) Nr(x) = {y  Rn | d(x,y) < r} (2) Interior dari suatu himpunan (3) Rn (4) S = {xRn | ptx < }. Himpunan ini disebut an open half- space. In R, S adalah open half-line; in R2 an open half-plane. (5) Rn++= {xRn | x > 0}. Ini disebut positive orthant. In R adalah positive line; in R2 adalah positive quadrant. Rolando Danao

  10. Closed set (1) Nr(x) = {y  Rn | d(x,y) ≤ r} (2) Closures of sets. (3) Rn (4) H- = {x  Rn | ptx ≤ }. Himpunan ini disebut closed half-space. In R, ini disebut a close half-line; in R2 adalah closed half-plane. (5) Rn+= {x  Rn | x ≥ 0}. Himpunan ini disebut non- negative orthant. In R adalah non-negative line; in R2 adalah non-negative quadrant. (6) H = {x  Rn | ptx = }. Ini disebut a hyperplane. In R, ini adalah titik x1= /p1; in R2 adalah line given dengan persamaan p1 x1 + p2 x2 = ; in R3 adalah the plane didefinisikan dengan p1 x1+ p2 x2 +p3 x3 = . Rolando Danao

  11. 4.1.11 Komentar (1)Suatu himpunan bisa terbuka atau tertutup tergantung space yang berisi subset. Contoh, suatu interval terbuka adalah himpunan terbuka dari subset R tetapi tidak terbuka untuk subset R2. (2)Adalah mungkin untuk setiap himpunan tidak terbuka dan tidak tertutup. Contoh : himpunan [0,1] = {xR|0≤x<1} adalah tidak terbuka dan tidak tertutup dalam R. (3)Memungkinkan suatu himpunan untuk keduanya terbuka dan tertutup. Contoh, Rn adalah keduanya terbuka dan tertutup dalam Rn . Rolando Danao

  12. 4.1.12 Definisi Andaikan (xk | k = 1,2, …) merupakan suatu sequence dari titik-titik dalam Rn. Kita katakan bahwa (xk | k = 1,2, …) menuju ke xoRn jhj setiap open neighborhood dari xo, Nr(xo) berisi semua tetapi suatu finite number dari term of sequence. Dalam kasus ini, ditulis lim xk = xo 4.1.13 Contoh (1) Sequence (1, ½. 1/3, ¼, ……) menuju ke 0 sejak setiap open neighborhood (yaitu open interval) berisi 0 tetapi finite number dalam bentuk sequence. (2) Sequence tidak converge. k 1 8 1 16 1 4 1 2 15 16 7 8 3 4 , … , , , , , , Rolando Danao

  13. 0 1/16 1/8 1/4 1/2 3/4 7/8 15/16 1 Meskipun beberapa term of sequence converge ke 0 dan beberapa ke 1. 4.1.14 Theorema (i) Intersection dari himpunan tertutup adalah tertutup (ii) Suatu set S  Rn adalah tertutup jhj setiap converge sequence dalam S mempunyai limit dalam S. Proof : Simmons (1963) Rolando Danao

  14. 4.1.15 Definisi A set S  Rn adalah bounded above jhj terdapat suatu  > 0 yaitu untuk setiap x  S dan untuk semua i = 1,2, …, n, kita memiliki xi < . S is bounded below jhj  > 0 untuk setiap x  S dan  i = 1,2, … , n; kita miliki –<xi. S is bounded if and only if it bounded above and bounded below. 4.1.16 Definisi A set S  Rn adalah compact jhj dia closed and bounded. 4.1.17 Remark Compact set adalah penting untuk eksistensi maxima dan minima dari suatu fungsi continuous. Rolando Danao

  15. x2 Compact set closed and bounded /p2 0 x1 /p1 4.1.18 Contoh Himpunan : X = {x  Rn | ptx ≤ , x ≥ 0, p > 0,  > 0} adalah tertutup sejak merupakan intersection dari closed set H- = {x  Rn| ptx ≤ } Rn+= {x  Rn| x ≥ 0} X adalah bounded sejak untuk setiap x  X, kita memiliki 0 ≤ x1 ≤ /pi. Jadi X adalah compact. Gambar. 4.5. Shows X on the plane R2 Rolando Danao

  16. S T 4.2 Function of Mappings 4.2.1 Definisi Suatu fungsi atau pemetaan dari himpunan S ke himpunan T adalah a rule that associates setiap element S dengan suatu unique element T. Himpunan S disebut domain dari fungsi dan subset T yang diasosiasikan dengan elemen S disebut range of function. 4.2.2 Notasi Fungsi f dari S ke T dinotasikan dengan f : ST atau ST. Jika x  S, elemen dari T diasosiasikan dengan x di bawah f dinotasikan dengan f(x) dan disebut image x di bawah f. Jika xRn, kita juga tuliskan f(x) = f(x1, … xn). f Rolando Danao

  17. 4.2.3 Contoh dari Fungsi (1) f : R3 R2 dimana : f(x, x2, x3) = (2) g : R2 R2 dimana : g(x1, x2) = (3) u : R2 R dimana : u(x1, x2) = x1x2 (4) q : R2+ R+dimana : q(K,L) = K L1- x12 + x22 + x32 x1 + x2 + x3 x1+ x2 x1x2 Rolando Danao

  18. 4.2.4 Remark Ketika fungsi adalah himpunan bahagian dari himpunan bilangan real, maka fungsi itu disebut real-valued function. 4.2.5 Definisi Grafik dari fungsi f adalah himpunan titik atau vektor [x,f(x)] dimana x ada dalam domain dari f. Rolando Danao

  19. y y = f(x1) = x12 x 0 4.2.6 Contoh (1) f : R  R+ diperoleh dengan y = f (x1) = x12 Grafik f adalah set vektor (x,y) dimana x1R’ dan y = x12 gambar R2 adalah parabola. (2) Let D adalah disk dengan radius 1 dengan pusat origin. Disk ini dinyatakan pada x1x2-plane dengan vektor (x1,x2)t memenuhi x12 + x22 ≤1. Pertimbangan fungsi f : D  R defined by y = f(x1,x2) = (1- (x12 + x22)1/2 Rolando Danao

  20. y f x y = f(x) = c 4.3. Beberapa Bentuk Fungsi 4.3.1 The Linier function The function f : R  Rdefined by y = f(x) = a + bx ...... (4.4) 4.3.2 Fungsi Kuadrat The function f : R  Rdefined by y = f(x) = a + bx + cx2 (c ≠ 0) is called a quadratic function. Its graph is a parabola when c>0, the parabola is U-shape when c<0, it has an inverted U shape (c<0 adalah ). Rolando Danao

  21. 4.3.3 Fungsi Polynomial Fungsi linier dan fungsi kuadrat belong to the class of polynomial function f : R R given by y = f(x) = a0 + a1x1 + … + an-1xn-1 + anxn (an≠0) ……(4.6) This expression is called a polynomial of degree n. It is characterized by the fact that the equation f(x) = 0 has n roots which may be real or complex numbers. 4.3.4 Rational function The polynomial functions belong to a larger set of functions called the rational function h is defined by h (x) =  g(x) ≠ 0 ……(4.7) f (x) g (x) Rolando Danao

  22. 4.3.5 Contoh Fungsi biaya : Biaya produksi naik dengan T output tetapi dengan tingkat kenaikan yang menurun (konsisten dengan decreasing MC). Jika FC adalah nol dan c represents cost, then c = a1q+a2q2+a3q3 , (a3>0) AC = = = a1 + a2q + a3q3 a1q+a2q2+a3q3 q TC q TC Q MC = = a1 + 2a2q + 3a3q2 Rolando Danao

  23. C MC AC MC TC AC q q Loge (x)= ln x 4.3.8 Theorem (1) Log a (uv) = log a (u) + log a (v) ……(4.9) (2) Log a (u/v) = log a (u) – log a (v) ……(4.10) (3) Log a (uk) = k log a (u) ……(4.11) (4) Log a (a) = 1  log 2 (2) = 1 ……(4.12) (5) Log a (1) = 0 ……(4.13) (6) Log a (u) = log a (v)  u = v ……(4.14) Rolando Danao

  24. (7) Untuk a > 1 :Log a (u) < log a (v) u < v ……(4.15) (8) Untuk a < 1 :Log a (u) < log a (v)  u > v ……(4.16) (9) Log a (u) = ln (u) ln (a) ……(4.17) (10) Uk = ek ln (u)……(4.18) 4.3.9 Remark Logaritma digunakan untuk mentransfer beberapa fungsi non-linier ke linier Contoh : fungsi produksi Cobb Douglas Q = A L . k , A > 0 ……(4.19) Ln Q = Ln A +  Ln L +  Ln K Setting : y = ln Q a = ln A x1 = ln L x2 = ln K maka y = f (x1, x2) = a + x1 + x2 Rolando Danao

  25. 4.4. Fungsi dari Fungsi Lainnya 4.4.1 Definisi Let f : S  T dan g : T  U dimana T adalah range f. Fungsi h : S  U didefinisikan dengan h(s) = g[f(s)] disebut komposisi f dan g dan dinotasikan gof, i.e., gof (x) = g [f(x)] h S T U f g 4.4.2 Contoh f(x) = x2, g(x) = ln(x) gof(x) = g[f(x)] = ln[f(x)] = ln(x2) fog(x) = f[g(x)] = f[ln(x)] = [ln(x)]2 Rolando Danao

  26. 4.4.3 Remark Urutan adalah penting untuk fungsi komposisi. Contoh dari point 4.4.2, gof (x) = ln(x2) = 2ln(x) = ln(x) + ln(x) fog (x) = [ln(x)]2 = (ln x) (ln x) 4.4.4 Definisi Let f : D  R dan g : D  R adalah fungsi dari domain D yang sama. Fungsi penjumlahan, dinotasikan dengan f+g, adalah - Fungsi (f + g) : D  R adalah (f+g)(x) = f(x) + g(x) - Fungsi produksi, dinotasikan dengan perkalian fg, adalah fungsi fg adalah fungsi fg : D  R adalah (fg)(x) = f(x) g(x) - Quotient function, dinotasikan dengan Pembagian f/g, adalah fungsi f/g : D  R diperoleh (f/g)(x) = f(x) / g(x), g(x) ≠ 0 Rolando Danao

  27. 4.4.5 Contoh Let f : R  R dimana f(x) = 2x2 g : R  R dimana g(x) = 5x+1 kemudian (f+g) (x) = f(x) + g(x) = 2x2+5x+1 (fg (x)) = f(x) g(x) = 2x2(5x+1) (f/g) (x) = f(x)/g(x) = 2x2/5x+1  x ≠ -1/5 4.4.6 Definisi Suatu fungsi f dikatakan one-to-one jhj x ≠ y dinotasikan f(x) ≠(y). Rolando Danao

  28. 4.4.7 Contoh (1) S = { 1, 2, 3, 4} R  R     f : S  T T = { 1, 4, 9, 16} f(x) = x2 Fungsi g bukan one-to-one U = {1,-1, 2,-2, 3,-3, 4,-4} V = { 1, 4, 9, 16} f(x) = x2 U  V R  R (2) Fungsi f : R+ R+ defined by g(x) = x2 adalah bukan one-to-one. f dan g are different since their domains differ. Rolando Danao

  29. f(x1) f(x2) 0 x2 x1 g(x1)=g(x2) x2 0 x1 fungsi one to one fungsi not one to one Perbedaan  berbeda domain 4.4.8 Remark Consider the following fungsi one-to-one : S = { S1, S2, S3, S4}     f T = {f(S1), f(S2), f(S3), f(S4)} Rolando Danao

  30. Dapat diperoleh suatu fungsi f--1 : T  S dengan membalikkan anak panah S = { S1, S2, S3, S4}     f--1 T = {f(S1), f(S2), f(S3), f(S4)} f--1 = f(s) = S disebut inverse f. 4.4.9. Definisi Let f : S  T be a one-to-one function yaitu T adalah range dari f. Maka f--1 : T  S f--1[f(s)] = S disebut inverse f 4.4.10. Remark Jelas, invers dari [f-1]-1 = f Inverse dari real value adalah fungsi satu variabel. Rolando Danao

  31. 4.5 Limit dari Fungsi Andaikan f : D  R, dimana D Rn dan xo  Rn jika f(x) mendekati  sebagaimana x mendekati xo maka dapat dikatakan  adalah limit dari f(x) dimana x mendekati xo dan ditulis f(x) =  f(x) mungkin akan mendekati berbagai nilai seperti x cenderung xo. Contoh fungsi pengiriman surat. 1.000 0 < W ≤ 20 2.000 20 < W ≤ 40 C = f(w) = 3.000 40 < W ≤ 60 4.000 60 < W ≤ 80 etc Lim x  xo Rolando Danao

  32. C 4 Figure (4.16) Step Function 3 2 1 W x12 – x22 x12 + x2 Contoh lain : f(x1,x2) = Let xo = (0,0)t . On the line x2 = x1 , f(x1,x2)  0 as x  xo On the x1-axis , f(x1,x2)  1 as x  xo On the x2-axis , f(x1,x2)  -1 as x  x0 4.5.1 Definisi lim f(x) =  x  xo Jhj given Є > 0 dimana a  > 0 that d (f(x),) < Є wherever d(x,xo) <  Rolando Danao

  33. 4.5.2 Remark (1) Dalam Rn , x  y means xj  yj for each j. (2) Statement f”(x0) = ” dan f(x) = ” adalah dua statement yang berbeda. Dalam kenyataannya suatu fungsi tidak didefinisikan pada x = xo tetapi mempunyai limit x  xo. Contoh: f(x) = Untuk x = 1 tidak didefenisikan Tetapi f(x) = 2 Sejak nilai x mendekati 1 tetapi tidak sama dengan 1 f(x) = = x+1 lim x-xo X2 – 1 X – 1 Lim X1 (x-1)(x+1) (x – 1) f(x) Gambar 4.17 Rolando Danao 0 x

  34. 4.5.3 Teorema (i) Jika f(x) = c , a constant, maka f(x) = c ……(4.22) (ii) (f(x) ± g(x) = f(x) + g(x) ……(4.23) (iii) f(x) g(x) = ( f(x)) ( g(x)) ……(4.24) (iv) ……(4.25) Lim Xxo Lim Xxo Lim Xxo Lim Xxo Lim Xxo Lim Xxo Lim Xxo Lim Xxo f(x) f(x) g(x) Lim Xxo Lim Xxo =  g(x) ≠ 0 g(x) Lim Xxo Rolando Danao

  35. 4.5.4 Corollary Limit dari polynomial pada x = xo adalah nilai dari polynomial pada x = xo, contoh (bnxn + … + b1x + b0) = bnx0n + b1x0 + b0 Lim xxo 4.5.5 Corollary Let r (x) = adalah fungsi rational dimana q (x0) ≠ = 0 sehingga r (x) = = = r(xo) p(x) q(x) p(x) q(x) p(xo) q(xo) Lim xxo Lim xxo Rolando Danao

  36. 4.6 Continuity Suatu fungsi boleh saja tidak didefinisikan pada titik xo tetapi memiliki suatu batas (lihat gambar 4.17) juga mungkin untuk suatu fungsi f didefinisikan pada xo tetapi x mendekati xo, f(x) mungkin mendekati nilai yang berbeda tergantung pada x mendekati xo (lihat gambar 4.16). Jadi nilai fungsi loncat sehingga dikatakan discontinuous. Fungsi akan continu jika tidak ada gap (loncat). Rolando Danao

  37. 4.6.1 Definisi Let D  Rn and let f : D  R. Fungsi f adalah continuous at x0 D jhj f(x) = f(xo) Jika f adalah continuous pada setiap point pada domain D dan f disebut continuous on D. Dalam bentuk sequence, f is continuous pada x0 jhj setiap sequence (xk  D| k = 1,2,…) xk xo => f(xk)  f(x0) Lim xxo 4.6.2 Contoh 1 x 1. f(x) = Is not continuous pada x = 0  f(0) = tidak didefenisikan Rolando Danao

  38. 2. Fungsi pada gambar 4.16 adalah continuous pada w = 20,40,60, dst 3. f(x) = 3x+1 adalah continue pada x = 2 f (x) = (3x+1) = 7 = f (2) 4. Fungsi H : R  {0, ½ , 1) defined by 0 , x < 0 H (x) = ½ , x = 0 1 , x > 0 adalah continuous pada R kecuali x = 0 Lim x2 Lim x2 Rolando Danao

  39. 5. Fungsi biaya (c) dan jumlah yang diproduksi (q) c : f(q) = 100 + 0,2 q2 , untuk q < 30 Untuk q ≥ 30 perlu untuk menyewa tambahan ruangan untuk menaikkan fixed costs by 50 sehingga c = f(q) = 150 + 0,2q2 , untuk q ≥ 30 pada q = 30 fungsi tidak continuous 4.6.3. Theorema Jika f dan g adalah continuous pada titik xo sehingga f + g, fg, dan f/g demikian pula untuk g(x0) ≠ 0. 4.6.4. Theorema Jika f adalah continuous pada xo dan g adalah continuous pada f(xo) sehingga komposisi gof adalah continuous pada xo. Rolando Danao

  40. 4.7 Derivative 4.7.1 Definisi Let f adalah real-valued function diperoleh pada open interval I dan xo  I. The derivative dari f pada xo dinotasikan f’(xo) diperoleh dengan f’(xo) = ……(4.26) Jika ada limit dapat dikatakan bahwa f adalah differentiable at xo dan proses mendapatkan derivative adalah differentiation. f(x) – f(xo) x - xo Lim xxo Rolando Danao

  41. 4.7.2 Remark Definisi derivative mendorong f’ real memiliki domain yang terdiri dari semua titik pada f yang differentiable. 4.7.3 Definisi Suatu real-valued function f, defined pada subset R, adalah continuous differentiable pada x0 jhj f adalah differentiable pada x0 dan f’ adalah continuous pada x0. 4.7.4. Notasi The following Leibniz notations are commonly used for derivatives. Let y = f (x). f’(x) == (x) == The derivative as a Rate of Change df dx dy dx dy dx df(x) dx Rolando Danao

  42. The difference quotient The Derivative as Slope of a Curve S P P f(x)-f(xo) Po x xo x f(x) – f(xo) x – xo Figure 4.18 T Of the secant S through PP0 is Ms = S mendekati T tangens pada P0  Slop S mendekati slope T f(x) – f(xo) x – xo Rolando Danao

  43. Mt = , Ms = = f ’(x0) (a) is differentiable (b) is not differentiable f(x) – f(xo) x – xo Lim xxo Lim PPo x 0 xo 0 xo x (b) (a) Figure 4.20 f’(x)<0 decreasing f’(x)>0 increasing Rolando Danao

  44. 4.7.5 Definisi f be a real-valued function defined on an interval I (i) f adalah non decreasing on I jhj  x1,x2  I x1 < x2 => f(x1) ≤ f(x2) (ii) f adalah increasing on I jhj  x1,x2  I x1 < x2 => f(x1) < f(x2) (iii) f adalah non increasing on I jhj  x1,x2  I x1 < x2 => f(x1) ≥ f(x2) (iv) f adalah decreasing on I jhj  x1,x2  I x1 < x2 => f(x1) > f(x2) Rolando Danao

  45. 4.7.6 Theorema The real-valued function f adalah continuous pada closed interval (a,b) dan differentiable pada (a,b). (i) Jika f’(x) ≥ 0 for all x  (a,b) ,  f adalah non decreasing on (a,b) (ii) Jika f’(x) > 0 for all x  (a,b) ,  f adalah increasing on (a,b) (iii) Jika f’(x) ≤ 0 for all x  (a,b) ,  f adalah non increasing on (a,b) (iv) Jika f’(x) < 0 for all x  (a,b)  f adalah decreasing on (a,b) Differentiability and Continuity Rolando Danao

  46. 4.7.7 Theorema If f is differentiable at point x0 dan f is continuous at x0. Proof : …. 4.7.8. Remark lawan theorem 4.7.7 adalah tidak benar. Contoh, f(x) = |x|. Fungsi ini continuous pada x = 0 tetapi tidak differentiable. 4.8. Kaidah Differensiasi 4.8.1 Theorema (i) If f(x) = c, a constant, then f’(x) = 0 …….. (4.27) (ii) If f(x) = x, then f’(x) = 1 …….. (4.28) Sum, Difference, Product and Quotient Rules Rolando Danao

  47. 4.8.2 Theorema (i) (f)’ (x) = f’ (x) …….. (4.29) (ii) (f ± g)’ (x) = f’ (x) ± g’ (x) …….. (4.30) (iii) (fg)’ (x) = f(x) g’(x) + f’(x) g(x) …….. (4.31) (iv) (f/g)’ (x) = , g(x) ≠ 0 …….. (4.32) The Chain Rule f’(x) g(x) – f(x) g’(x) fg(x)2 4.8.3 Theorema (Chain Rule) Katakan f adalah differentiable pada x0 dan g adalah differentiable pada f (x0). Komposisi gof adalah differentiable pada x0 dan (gof)’ (x0) = g’ [(f(x0)] f’ (x0) …….. (4.33) Proof : Rolando Danao

  48. 4.8.4 Remark Let y = f(x), z = g(y) , i.e., z = g[f(x)] = gof(x) Then = f ’ (x) = g’(y) , And = (gof)’ (x) = g’ [f(x)] f ’(x) = g’ (y) f ’(x) hence , = …….. (4.34) The Inverse Function Rule dz dy dy dx dz dx dz dx dz dy dy dx Rolando Danao

  49. 4.8.5 Theorema (inverse function theorem) Andaikan y = f(x) dari f adalah one-to-one real-valued function dengan derivative continuous pada interval terbuka I yang berisi xo yaitu f’(x) ≠ 0. Andaikan yo = f(xo) maka terdapat suatu interval terbuka Iy yang berisi yo yaitu f-1 memiliki suatu derivative continuous pada Iy. 4.8.6 Theorema (inverse function rule) Let y = f(x) dimana f memiliki kondisi inverse function theorem, maka (f-1)’(y) = atau = 1 dy/dx dy dx 1 f’(x) Rolando Danao

  50. Proof : x = f-1 (y) dan y = f (x) Defferentiating with respect to x, using the Chain Rule, We get 1 = (f-1)’ (y) f’ (x) ; Hence, (f -1)’(y) = 1/f’(x) Atau = dy dx 1 dy/dx 4.8.7 Example. Demand Function q = f(p) = a – bp (a,b > 0) Inverse function dapat ditulis p = f-1(q) = - q Note that , = -b dan =- a b 1 b dq dp 1 b dp dq Rolando Danao

More Related