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人工知能特論 2011 資料 No.6

人工知能特論 2011 資料 No.6. 東京工科大学大学院 担当教員　亀田弘之. 前回までの確認から. Prenex Conjunctive Normal Form. Literal Clause PCNF. 前回までこんな話をしました。. Leteral. Literal の定義： アトム はリテラル ( 例： P(x), Q(3,5,8) ) アトムの否定 もリテラル ( 例： ~P(x), ~Q(3,5,8))

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人工知能特論 2011 資料 No.6

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Presentation Transcript

  1. 人工知能特論2011資料No.6 東京工科大学大学院 担当教員　亀田弘之

  2. 前回までの確認から

  3. Prenex Conjunctive Normal Form • Literal • Clause • PCNF 前回までこんな話をしました。

  4. Leteral • Literalの定義： • アトムはリテラル (例： P(x), Q(3,5,8) ) • アトムの否定もリテラル (例： ~P(x), ~Q(3,5,8)) • 上記の１を正リテラル(positive literal)、２を負リテラル(negative literal) という。（例： P(f(x)) は正リテラル, ~P(f(x)) は負リテラル)

  5. Clause • Clauseの定義： • ゼロ個以上かつ有限個のリテラルからなる選言のこと。例：　 • P(a) v Q(x,b,f(s)) • ~Q(x,y) ＜＝１個のリテラルの選言！

  6. Clauseの集合による表記法 • P(a) v Q(x,b,f(s)){P(a) , Q(x,b,f(s))} • ~Q(x,y)  {~Q(x,y) } いろいろな表記法があります。慣れるしかありません。

  7. Prenex Conjunctive Normal Form

  8. Prenex Conjunctive Normal Form Clause Prenex Matrix

  9. PCNFの例

  10. PCNFへの変形 • 任意の述語論理式はPCNFに変形することができる。その際、その論理式の真理値は保存される。 • 例：

  11. 定理 • 任意の論理式φに対して、φと真理値が等価な論理式ψでかつPCNFのものが１つ存在する。

  12. 変形の手順（その１） • 論理式φの中の→と↔を次の規則を用いて取り除く。 • （A→B）　を　(~A v B) に置き換える。 • (A↔B) を　(~A v B)^(A v ~B) に置き換える。 • 分離された変数がそれぞれ異なるように変数名を書き換える。

  13. 変形の手順（その２） • すべての～がアトムの直前に来るように次の規則を用いて変形する。 • ～∀x ψ　を　∃ｘ～ψ　に置き換える。 • ～∃ x ψ　を ∀ｘ～ψ　に置き換える。 • ～( φ ∨ ψ ) を ( ~φ ∧ ~ψ ) に置き換える。 • ～( φ ∧ ψ ) を ( ~φ ∨ ~ψ ) に置き換える。 • ～～φ を φ に置き換える。

  14. 変形の手順（その３） • すべての限量子∀と∃を論理式の先頭部分へ移動させる。 • ∃ｘ φ∨ψ 　＝＞　 ∃ｘ (φ∨ψ) • φ∨∃x ψ 　＝＞　∃ｘ (φ∨ψ) • ∀ｘ φ∨ψ 　＝＞　 ∀ｘ (φ∨ψ) • φ∨ ∀x ψ 　＝＞ ∀ｘ (φ∨ψ) • ∃ｘ φ∧ψ 　＝＞　 ∃ｘ (φ∧ψ) • φ∧∃x ψ 　＝＞　∃ｘ (φ∧ψ) • ∀ｘ φ∧ψ 　＝＞　 ∀ｘ (φ∧ψ) • φ∧∀x ψ 　＝＞　∀ｘ (φ∧ψ)

  15. 変形の手順（その4） • Matrix部分をCNF形式に変形する。 • ((A∧B)∨C) を ((A∨C) ∧(B ∨C)) に • ((A∨B)∧C) を ((A∧C) ∨(B ∧C)) に

  16. PCNF導出の例（練習問題） 何度も練習してみてください。

  17. 確認問題 • 次の置き換えは、真理値を保存するか確かめよ。

  18. 確認問題 • 次の置き換えは、真理値を保存することを確かめよ。

  19. Skolem Standard Form

  20. Skolem Standard Form Clause Prenex Matrix

  21. PCNF　＝＞　SSFへの書き換え • 限量記号（存在記号）∃を除去しなければならない。そのために、スコーレム定数やスコーレム関数を導入する。 • 例：

  22. 大切な注意事項（その１） • 任意の論理式はPCNFに変形可能 • 任意のPCNFはSSFに変形可能 • 任意の論理式とそれから導かれるSSFとは論理的に等価であるとは限らない（真理値は必ずしも保存されない！）。

  23. 真理値が保存されない例

  24. 大切な注意事項（その２） • BUT • 充足不可能な論理式は充足不可能なSSFに変形される。 • 元の論理式がモデルを持つための必要十分条件は、SSFがモデルを持つことである。（これは重要な定理の１つ）

  25. Herbrand Models • 次に、フランスの論理学者JacquesHerbrand が考案した解釈(interpretation)を導入する。この解釈を特に、Herbrand interpretation とよび、この解釈に基づくモデルを Herbrand modelと呼ぶ。

  26. Herbrand universe U • Herbrand base B • Herbrand pre-interpretation J • Herbrand interpretation I • Herbrand model M以下、例で説明する。

  27. 例： まず、このような論理式の集合を考える。

  28. Herbrand Universe 元の論理式に含まれていた定数と関数に着目し、これからか得られるすべての項を集めたもの。

  29. HerbrandBase 元の論理式に含まれていた述語を、先ほどのUの要素に適用して得られる述語すべてからなる集合。

  30. Herbrand pre-interpretation • 解釈の領域D：Hebrand Universe U • 定数記号の解釈: 自分自身に対応させる。 • 関数記号の解釈：自分自身に対応させる。

  31. Herbrand interpretation • Herbrand pre-interpretation に基づくInterpretation をHerbrand Interpretation と呼ぶ。 • なおHIの内、所与の論理式（群）を充足するものを Herbrand Model (HM) と呼ぶ。

  32. 例

  33. 注意事項 • HMの意義 • Σがモデルを持つ　　ΣがHMを持つ。 • Σ　｜＝　φ　　SはHMを持たない。ただし、Sは Σ∪{～φ} のSSF。

  34. 述語論理における推論 • Resolution • 代入 • 論理プログラミング（Prologなど） • 帰納論理プログラミング(Progolなど)＝＞知識分類・知識獲得・知識発見

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