KARTEZYEN ÇARPIM

1. www.muratguner.net KARTEZYEN ÇARPIM HER GENÇ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR MURAT GÜNER KELKİT- 2011

2. www.muratguner.net ÖRNEK Türkiye A Milli Futbol Takımında oynayan Nihat, Emre ve Sabri 9, 10, 11 numaralı formaları giyebilirler.Bu oyuncuların giyebilecekleri formaları gösteren sıralı ikilileri yazınız. ÇÖZÜM Futbolcular F = { Nihat, Emre, Sabri } Forma Numaraları N = { 9, 10, 11 } {( Nihat, 9 ), ( Nihat, 10 ), ( Nihat, 11 ) Oluşacak ikililer; ( Emre, 9 ), ( Emre, 10 ), ( Emre, 11 ) ( Sabri, 9 ), ( Sabri, 10 ), ( Sabri, 11) }

3. www.muratguner.net Futbolcular ile forma numaralarının oluşturduğu bu ikililer kümesi F ile N kümelerinin kartezyen çarpımıdır. TANIM A ve B boş olmayan iki küme olmak şartıyla birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak elde edilen bütün sıralı ikililerin kümesine A ile B’ninkartezyen çarpımıdenir veAXBbiçiminde gösterilir. AXB = { (x,y) l x A Λ y  B } dir.

4. www.muratguner.net ÖRNEK A = { a, b } ve B = { 1, 2, 3 } kümeleri için AXB ve BXA kümelerini yazınız. ÇÖZÜM: A = { a , b } B = { 1 , 2 , 3 } AXB = { ( a, 1 ), ( a, 2 ), ( a, 3 ), ( b, 1 ), ( b, 2 ), ( b, 3 ) } Benzer düşünceyle BXA kümesi aşağıdaki gibi yazılır. BXA = { ( 1, a ), ( 1, b ), ( 2, a ), ( 2, b ), ( 3, a ), ( 3, b ) }

5. www.muratguner.net ÖRNEK A = { x : 2 ≤ x < 5, xN } ve B = { y : – 2 ≤ x ≤ 1, y Z } kümeleri veriliyor. Buna göre AXB ’yi yazınız. ÇÖZÜM A= { 2, 3, 4 } B= { – 2, – 1, 0, 1 } AXB = { ( 2, –2 ), ( 2, –1 ), ( 2, 0 ), ( 2, 1 ), ( 3, – 2 ), ( 3, –1 ), ( 3, 0 ), ( 3, 1 ), ( 4, – 2 ), ( 4, – 1 ) , ( 4, 0 ), ( 4, 1 ) }

6. www.muratguner.net ÖRNEK AXB = { ( 0, 0 ), ( 0, 1 ), ( 1, 0), ( 1, 1), ( 2, 0), ( 2, 1) } ise A∩B kümesini bulunuz. ÇÖZÜM Kartezyen çarpım kümesinin elemanı olan sıralı ikililerin birinci bileşenleri A kümesinden, ikinci bileşenleri B kümesinden alınacağından; A = { 0,1, 2 } B = { 0, 1 } Buna göre; • A∩B = { 0, 1 }

7. www.muratguner.net ÖRNEK AXB = { ( a, 1 ), ( a, 2 ), ( a, 3), ( b, 1), ( b, 2), ( b, 3) } BXC = { ( 1, x ), ( 1, y ), ( 2, x), ( 2, y), ( 3, x), ( 3, y) } olduğuna göre AXC kümesini yazınız. ÇÖZÜM Kartezyen çarpım kümesinin elemanı olan sıralı ikililerin birinci bileşenleri A kümesinden, ikinci bileşenleri B kümesinden alınacağından; A = { a , b } B = { 1, 2, 3 } Kartezyen çarpım kümesinin elemanı olan sıralı ikililerin birinci bileşenleri B kümesinden, ikinci bileşenleri C kümesinden alınacağından; C = { x, y } AXC = { ( a, x ), ( a, y ), ( b, x ), ( b, y) }

8. www.muratguner.net UYARI AXA = { (x,y) : x  A Λ y  A } dır. ÖRNEK A={ 2, 3 } ise AXA kümesini liste şeklinde yazınız. ÇÖZÜM Kartezyen çarpımının kolayca yapılabilmesi için, A kümesi yan yana iki kez yazılır. A X A = { 2 , 3 } X { 2 , 3 } tür. A X A = { ( 2, 2 ), ( 2, 3 ), ( 3, 2 ), ( 3, 3 ) } şeklinde yazılır.

9. www.muratguner.net KARTEZYEN KOORDİNAT SİSTEMİ AXB grafikle gösterilirken A kümesinin elemanları x ekseninde B kümesinin elemanları da y ekseninde alınır ve bu noktalardan eksenlere dikmeler çizilir. Bu dikmelerin düzlemdeki kesişim noktalarının kümesi AXB ’nin grafiğini verir.

10. www.muratguner.net ÖRNEK A = { a, b, c } ve B = { 1, 2 } kümeleri veriliyor. AXB ’nin ve BXA’nın grafiğini çiziniz. ÇÖZÜM BXA = { ( 1, a ), (1, b ), ( 1, c ), ( 2, a ), ( 2, b ) , ( 2, c ) } AXB = { ( a,1 ), (a, 2 ), ( b, 1 ), ( b, 2 ), ( c, 1 ), ( c, 2 ) } y y c b 2 A B a 1 x x a c 1 b 2 A B ( BXA ’nın grafiği ) ( AXB ’nın grafiği )

11. www.muratguner.net ÖRNEK A = { x : 1  x  3, x bir doğal sayı } B = { x : 1  x  3, x bir gerçek sayı } kümeleri veriliyor.AXB kümesini analitik düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM A = { 1 , 2 , 3 } ( Sonlu bir küme ) B = [ 1,3 ] ( Sonsuz elemanlı bir küme ) AXB = { ( 1,1.1 ), (1, 1.2 ), (1, 1.3 ), ( 1, 1.4 ), ….. ( 1, 3 ), ( 2, 1.1 ), (2, 1.2 ), (2, 1.3 ), ... ( 2, 3 ), ( 3, 1.1 ),…..( 3,3 } } y 3 B 1 Biri sonlu diğeri sonsuz elemanlı iki kümenin kartezyen çarpımı sonucu oluşan grafik yatay veya dikey çubuklardan oluşur. x 1 3 2 A

12. www.muratguner.net ÖRNEK A = { x : 2  x  4, x bir gerçek sayı } B = { x : 1  x  3, x bir doğal sayı } kümeleri veriliyor.AXB kümesini analitik düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM A = [ 2, 4 ]( Sonsuz elemanlı bir küme ) B = { 1 , 2 , 3 } ( Sonlu bir küme ) AXB = { (2 , 1 ), ( 2.1, 1 ), (2.2, 1 ), ( 2.3, 1 ), ….. ( 3, 1 ), ( 3.1, 1 ), (3.2, 1 ), (3.3, 1 ), ... ( 3.9, 1 ), ( 4, 1 )…………..........} y 3 B 2 1 Biri sonlu diğeri sonsuz elemanlı iki kümenin kartezyen çarpımı sonucu oluşan grafik yatay veya dikey çubuklardan oluşur. x 2 4 A

13. www.muratguner.net ÖRNEK A = { x : 2  x < 4 , xR } B = { x : 1  x < 3, xR } kümeleri veriliyor.AXB kümesini analitik düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM A = [ 2, 4 )( Sonsuz elemanlı bir küme ) B = [ 1,3 ) ( Sonsuz elemanlı bir küme ) y 3 B 1 Sonsuz elemanlı iki kümenin kartezyen çarpımı sonucu oluşan grafik bir alan belirtir. x 2 4 A

14. 1 dahil olduğu için düz çizgi 2 dahil olduğu için düz çizgi 3dahil olmadığı için kesikli çizgi 4 dahil olmadığı için kesikli çizgi www.muratguner.net ÖRNEK A = { x : 2  x < 4, x R } B = { x : 1  x < 3, x R } kümeleri veriliyor.AXB kümesini analitik düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM A = [ 2, 4 )( Sonsuz elemanlı bir küme ) B = [ 1,3 ) ( Sonsuz elemanlı bir küme ) Sonsuz elamanlı A kümesi ile sonsuz elamanlı B kümesinin grafiği çizilirkenönce A kümesinin alt ve üst değerlerini gösteren dikey çizgiler çizilir. Sonra B kümesinin alt ve üst değerlerini gösteren yatay çizgiler çizilir.Yatay ve dikey çizgilerin arasında kalan bölge istenen grafiğe ait bölgedir.Uç noktaların dahil olup olmadığı anlamak için çizgilere bakılır. iki düz çizginin kesim noktası çözüme dahildir diğer haller çözüme dahil değildir. y 3 B 1 Sonsuz elemanlı iki kümenin kartezyen çarpımı sonucu oluşan grafik bir alan belirtir. x 2 4 A

15. 2 dahil olmadığı için kesikli çizgi 3 dahil olduğu için düz çizgi 4 dahil olmadığı için kesikli çizgi 5dahil oduğuı için düz çizgi www.muratguner.net ÖRNEK A = [ 3,4), B = ( 2, 5 ] ise AXB kümesini analitik düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM Sonsuz elamanlı A kümesi ile sonsuz elamanlı B kümesinin grafiği çizilirkenönce A kümesinin alt ve üst değerlerini gösteren dikey çizgiler çizilir. Sonra B kümesinin alt ve üst değerlerini gösteren yatay çizgiler çizilir.Yatay ve dikey çizgilerin arasında kalan bölge istenen grafiğe ait bölgedir.Uç noktaların dahil olup olmadığı anlamak için çizgilere bakılır. iki düz çizginin kesim noktası çözüme dahildir diğer haller çözüme dahil değildir. y 5 B 2 Sonsuz elemanlı iki kümenin kartezyen çarpımı sonucu oluşan grafik bir alan belirtir. x 3 4 A

16. – 2 dahil olmadığı için kesikli çizgi 3 dahil olmadığı için kesikli çizgi – 1 dahil olmadığı için kesikli çizgi 3 dahil olmadığı için kesikli çizgi www.muratguner.net ÖRNEK A = ( – 1, 3 ), B = ( –2, 3 ) olduğuna göre AXB kümesinin elemanlarını analitik düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM y 3 x – 1 3 – 2 Sonsuz elemanlı iki kümenin kartezyen çarpımı sonucu oluşan grafik bir alan belirtir.

17. – 2 dahil olduğu için düz çizgi 3 dahil olduğu için düz çizgi – 2 dahil olmadığı için kesikli çizgi 1 dahil olmadığı için kesikli çizgi www.muratguner.net ÖRNEK A=(–2,1 ), B=[1, 3 ] olduğuna göre AXB’nın grafiğini çiziniz. ÇÖZÜM y 3 1 – 2 1 x Sonsuz elemanlı iki kümenin kartezyen çarpımı sonucu oluşan grafik bir alan belirtir.

18. y Şekilde AXB nin grafiği verilmiştir.Buna göre A ve B kümeleri aşağıdakilerden hangisidir? 6 2 x 1 5 A= [ – 1,5 ) A= [1,5 ) A= [1, 2 ) A) C) B) B= [2,6 ) B= [ 5, 6 ] B= [ 2, 5 ) A= ( 1,5 ) A= (1, 5 ] D) E) B= ( 2,6 ) B= [ 2, 6 ) www.muratguner.net ÖRNEK

19. 3 2 1 2 r = –2 – 1 www.muratguner.net ÖRNEK 1988 A = { – 2 , – 1 , 0 }, B = { 1 , 2 , 3 } kümelerinin AXB ( kartezyen çarpımı ) kümesinin noktalarını dışarıda bırakmayan en küçük çemberin yarıçapı kaç birimdir? ÇÖZÜM AXB = { ( – 2, 1 ), ( – 2, 2 ), ( – 2, 3 ), ( –1, 1 ), ( – 1, 2 ), ( – 1, 3 ), ( 0, 1), ( 0, 2 ), ( 0, 3 ) } 22 + 22 = ( 2r )2 ( Pisagor Teoremi ) r 8 = 4r2 r 2= r2

20. www.muratguner.net KARTEZYEN ÇARPIMIN ELEMAN SAYISI Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir; yani, s( AXB ) = s( A ).s( B ) ÖRNEK s(A X B ) = 56 ve s( A ) = 7 ise s( B X B ) = ? ÇÖZÜM s( B X B ) = s( B ) . s( B ) s( A X B ) s ( A ).s( B ) = 56 7 . s( B ) = = 8 . 8 = 64  s( B ) = s( B ) = 8

21. www.muratguner.net ÖRNEK A = { a, b, c } BXC = { ( x, 1 ), ( x, 2 ), ( y, 1 ), ( y, 2 ), ( z, 1 ), ( z, 2 ) } olduğuna göre s( AXC ) kaçtır? ÇÖZÜM  A = { a, b, c } s( A ) = 3 Kartezyen çarpım kümesinde, birinci bileşenleri A kümesinden ikinci bileşenleri C kümesinden alınacağından;  s( C ) = 2 s( AXC ) = s( A ).s( C ) C = { 1, 2 } = 3.2 = 6

22. www.muratguner.net ÖRNEK AXB = { ( a, b ), ( b, b ), ( a, c ), ( b, c ) } ve s[ (A U B ) X C ] = 18 ise s( C ) = ? ÇÖZÜM Kartezyen çarpım kümesinde, birinci bileşenleri A kümesinden ikinci bileşenleri B kümesinden alınacağından; A={ a, b } B={ b, c } Buradan AUB = { a,b,c } elde edilir. O halde s(A U B ) = 3 tür. s[ (A U B ) X C ] = s(AUB) . s(C)  s( C ) = 6 18 = 3 . s( C )

23. www.muratguner.net KARTEZYEN ÇARPIMIN ÖZELLİKLERİ  A X A = A2 A X A X A = A3  A X B ≠ B X A ( Değişme özelliği yoktur.)  s (A X B ) = s( B X A ) = s ( A ). S ( B )  A X B X C = ( A X B ) X C = A X ( B X C ) (Birleşme özelliği vardır)

24. www.muratguner.net ÖRNEK A = { 1, 2 }, B = { a, b }, C = { ,  } ise AXBXC’yi yazınız. ÇÖZÜM: AXBXC = { ( 1, a,  ), ( 1, a ,  ), ( 1, b,  ), ( 1, b,  ), ( 2, a,  ), ( 2, a,  ), ( 2 , b ,  ), ( 2, b,  ) }  A X (B U C ) = ( A X B ) U ( A X C ) (Kartezyen çarpımın U üzerine dağılma özelliği vardır)  A X (B ∩ C ) = ( A X B ) ∩ ( A X C ) (Kartezyen çarpımın ∩ üzerine dağılma özelliği vardır)

25. www.muratguner.net ÖRNEK s(A) = 5, s( BUC ) = 7olduğuna göre s[ ( BXA ) U ( CXA ) ] kaçtır? ÇÖZÜM s[ ( B X A ) U ( C X A ) ] = s[ ( B U C ) X A] = s( B U C ).s( A ) = 7.5 = 35  A X  =  X A =   A X B =  ise A =  veya B = 

26. y x www.muratguner.net ANALİTİK DÜZLEM Sıfır sayısının karşılık geldiği O noktasından,birbirine dik olan biri yatay diğeri dikey iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme dik koordinat sistemi, bu sayı doğrularının belirttiği düzleme de analitik düzlem denir. Dik koordinat sistemini oluşturan sayı eksenlerinden ;  Yatay olanına apsisler ekseni, Orjin Ordinatlar ekseni Apsisler ekseni  Düşey olanına ordinatlar ekseni,  Eksenlerin kesiştiği noktaya orijin( başlangıç noktası) denir.

27. y x www.muratguner.net  ( a, b ) sıralı ikilisine karşılık gelen noktayı A ile gösterirsek, A noktasını A(a , b ) biçiminde yazarız. a’ya A noktasının apsisi,b ’ye A noktasının ordinatı, ( a ,b ) ikilisine de A noktasının koordinatlarıdenir.  A(a, b ) noktasını koordinat ekseninde gösterirken; x ekseninden a kadar alıp buradan y eksenine paralel çizeriz. y ekseninden b kadar alıp buradan x eksenine bir paralel çizeriz.Bu paralellerin kesim noktası A(a, b ) noktasını verir. A( a , b ) b a

28. y B ( , ) 3 2 A ( , ) 1 x –3 –2 3 –1 1 2 –1 –2 C ( , ) –3 D ( , ) www.muratguner.net ÖRNEK Yandaki koordinat sisteminde verilen A, B, C ve Dnoktalarının koordinatlarını bulunuz. – 2 3 3 1 – 3 – 2 1 – 3

29. y x www.muratguner.net  Koordinat eksenleri analitik düzlemi 4 bölgeye ayırır. a, bR+ olmak üzere A( a, b ) noktasının bu bölgelerdeki konumları aşağıdaki şekilde belirtilmiştir. B ( – a , b ) A ( a , b ) b 1.Bölge 2.Bölge a –a 4.Bölge 3.Bölge –b D ( a , – b ) C ( – a , – b )

30. b < 0 a www.muratguner.net ÖRNEK a ve b reel sayıları için A( – a, b/a ) noktası analitik düzlemin 3.bölgesinde olacak biçimde seçilmiştir.Buna göre B( – ab, –b ) noktası analitik düzlemin hangi bölgesinde olur? ÇÖZÜM – a < 0  a > 0 y  b < 0 –a x Buna göre – ab > 0 ve –b > 0 olacağından, 3.Bölge B( – ab, –b ) noktası analitik düzlemin 1.bölgesindedir.

31. y x www.muratguner.net UYARI Koordinat sisteminde x ekseni üzerindeki noktaların ordinatları sıfırdır. B ( – 2 , 0 ) A ( 3 , 0 ) – 2 3

32. y x www.muratguner.net UYARI Koordinat sisteminde y ekseni üzerindeki noktaların apsisleri sıfırdır. D ( 0 , 4 ) 4 – 3 C ( 0 , – 3 )