1 / 45

Linear Equation

Linear Equation. Example. R 1. R 2. i 1. V 1. V 2. i 2. R 3. i 3. R 5. R 4. Existence & Uniqueness. Existence and Uniqueness of a solution Ax = b depend on whether the matrix A is singular or nonsingular . Nonsingular Matrix satisfies the following:

brita
Download Presentation

Linear Equation

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Linear Equation

  2. Example R1 R2 i1 V1 V2 i2 R3 i3 R5 R4

  3. Existence & Uniqueness Existence and Uniqueness of a solution Ax=b depend on whether the matrix A is singular or nonsingular. Nonsingular Matrix satisfies the following: • A has an inverse, i.e., A-1 such that AA-1=I • Det(A) 0 • Rank(A)=n • For any vector z 0, Az 0

  4. Jika matriks A adalah nonsingular, maka A punya inverse A-1, dan Ax=b selalu mempunyai solusi unik, untuk setiap b Jika matriks A adalah singular, maka solusi Ax=b bergantung pada b, bisa ada atau bisa tidak ada solusi.

  5. Example 1

  6. Solusi x adalah unik karena A adalah nonsingular, berapapun b.

  7. Example 2

  8. Karena A adalah singular, solusi x mungkin ada mungkin tidak !, bergantung pada b. Kalaupun ada solusi, pasti solusinya tidak unik

  9. Jika b=[4 7]T, tidak ada solusi untuk x. Jika b=[4 8]T, maka solusinya:

  10. Problem Transformations Transformasi tidak mengubah solusi, malah bahkan bisa mempermudah menemukan solusi

  11. Example: Permutation P Matrik permutasi P selalu nonsingular, dan berlaku P-1 = PT.

  12. Example: Diagonal Scaling Matriks diagonal D= {dij} : semua elemen dij= 0 untuk ij.

  13. Triangular Linear Systems Triangular Matrix x3=-1; x2=3; x1=-1 Jika A adalah matrix triangular, solusi lebih mudah ditemukan ! Lakukan transformasi matrik A menjadi matriks triangular !

  14. Triangular Matrix Types • Lower Triangular Matrix L={lij}: semua elemen diatas elemen diagonal bernilai nol, yaitu lij = 0 untuk i < j • Upper Triangular Matrix U={lij}: semua elemen dibawah elemen diagonal bernilai nol, yaitu lij = 0 untuk i > j NB: Matrix L dan U dapat dipermutasikan menjadi U dan L dengan matrix permutasi yang sesuai

  15. Forward Substitution • Dilakukan dalam memecahkan problem Lx = b dengan persamaan berikut: -------------------------Pseudocode------------------------------- for j = 1 to n {loop over columns} if ljj =0 then stop {stop if matrix is singular} xj=bj / ljj {compute solution component} for i=j+1 to n bi=bi – lij xj {update right-hand side} end end

  16. Backward Substitution • Dilakukan dalam memecahkan problem Ux = b dengan persamaan berikut: -------------------------Pseudocode------------------------------- for j = n to 1 {loop over columns} if uij =0 then stop {stop if matrix is singular} xj=bj / ujj {compute solution component} for i=1 to j-1 bi=bi – uij xj {update right-hand side} end end

  17. Elementary Elimination Matrix(Gaussian Transformation) Dipakai untuk mentransformasi sembarang matriks menjadi matriks triangular

  18. Properties of M • Mk : lower triangular matrix, nonsingular • Mk=I-mekT, dimana m=[0,…,0,mk+1,..,mn]T (multiplier vector) dan ek adalah kolom ke k matriks identitas • Mk-1 = I+mekT adalah sama dg Mk kecuali tanda elemen-elemen di bawah diagonal adalah dibalik • Jika Mj, j>k, adalah matrik elementer yang lain sbgmn Mk,dengan multiplier vector t, maka MkMj=I-mekT -tekT +mekTtekT =I-mekT -mekT Note : ekTt= 0;

  19. Example Cari M1 dan M2 !

  20. Gaussian Elimination Jika matrix Gaussian Elimination sudah ditemukan, maka Ax=b bisa dengan mudah ditransformasi menjadi bentuk upper triangular M1Ax=M1b Kolom PERTAMA matrix A bernilai nol semua kecuali baris pertama M2M1Ax=M2M1b  Kolom KEDUA matrix M1A bernilai nol semua kecuali baris kedua M3M2M1Ax=M3M2M1b  Kolom KETIGA matrix M2M1A bernilai nol semua kecuali baris ketiga

  21. MAx=Mn-1…M3M2M1Ax=Mn-1...M3M2M1b M=Mn-1…M3M2M1 M-1=L U=MA -> A= M-1U A=LU

  22. LU Factorization A=LU Ax=b LUx=b  x=? Forward substitution: Ly=b Barkward substitution: Ux=y

  23. Algorithm of LU Factorization for k=1 to n-1 {Loop over columns} if akk=0 then stop {stop if pivot is zero} for i=k+1 to n {compute multipliers mik=aik/akkfor current column} end for j=k to n for i=k+1 to n aij=aij-mikakj{apply transformation endto remaining submatrix} end end

  24. Example Cari M1, M2 dan M3 lalu temukan L dan U, kemudian pecahkan x1,x2,dan x3 !

  25. Problem of LU Factorization (LUF) Metode LUF tidak bisa dipakai jika elemen diagonal matrix A bernilai nol/sangat kecil, meskipun A adalah nonsingular. Masalah ini diatasi dengan melakukan pivoting, yaitu menukar baris matrix yang elemen diagonalnya nol/sangat kecil dgn baris yang lain yang elemen diagonalnya tidak nol./besar

  26. Example 1 non-singular BUT no LU factorization non-singular and has LU factorization

  27. Example 2 0<< mach In floating-point arithmetic !

  28. Example 2 (contd.) In floating-point arithmetic !

  29. Ax=b

  30. LU Factorization by Gaussian Elimination with Partial Pivoting for k=1 to n-1 {Loop over columns} find index p such that {search for pivot |apk| > |aik| for k ≤ i ≤ n current column} if p ≠ k then {interchange rows, interchange rows k and p if necessary} if akk=0 then {skip current column continue with next k if it’s zero already} for i=k+1 to n {compute multipliers mik=aik/akkfor current column} end for j=k to n for i=k+1 to n aij=aij-mikakj {apply transformation endto remaining submatrix} end end

  31. Cholesky Factorization for k=1 to n {Loop over columns} akk = sqrt(akk) for i=k+1 to n aik=aik/akk end for j=k+1 to n for i=k+1 to n aij=aij-aikajk end end end

  32. Banded System d1=b1 for i=2 to n mi=ai/di-1 di=bi-mici-1 end

More Related