Álgebra de Matrices

1. Álgebra de Matrices Prof. PEDRO GODOY

2. Justificación Las matrices son una herramienta importante en las representación de ideas matemáticas. Sus aplicaciones alcanzan todas las ramas de matemáticas y ciencias. El conceptos de matriz es tan importante que existe toda una rama de las matemáticas que trata exclusivamente el estudio de las matrices, esta se conoce como el álgebra lineal. Veremos en este módulo los conceptos generales de matrices y las aplicaciones a la solución de sistemas de ecuaciones lineales.

3. Objetivos: • Definir el concepto de matriz. • Definir los conceptos de matrices cuadradas, matriz • identidad, matriz transpuesta, matriz inversa, vectores fila y columna y matrices triangularizadas. • 3. Definir las operaciones entre matrices. • 4. Resolver ejercicios de aplicación usando matrices.

4. Definición: Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números que forman la matriz se llaman entradas o elementos y se escriben dentro de paréntesis. Las matrices se identifican con letras mayúsculas. Ejemplos de matrices: Las líneas horizontales de números se conoce como filas y las verticales como columnas. fila columna

5. Matriz 2x2 Al número de filas por el número de columnas de una matriz se le llama el orden o tamaño de la matriz. Matriz 3x3 Matriz 2x3 Una matriz puede tener cualquier número finito de filas y de columnas.

6. Definición de matriz mxn: Un arreglo rectangular de números que tiene m filas y n columnas se conoce como una matriz m x n. Los elementos de la matriz se expresan de la forma aij donde i corresponde a la posición de la fila y j corresponde a la posición de la columna. Una matriz mxn se suele escribir en la forma general abreviada,

7. Definición de un vector fila: Una matriz que tiene una sola fila se llama vector fila. Ejemplo: vector fila 1x4 Definición de un vector columna: Una matriz que tiene una sola columna se llama vector columna. Ejemplo: vector columna 3x1 Aclaración: No confunda la notación aij de un elemento con la notación de una matriz.

8. Definición : Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y los mismos elementos. Ejemplo: Definición : La transpuesta de una matriz A de mxn, es la matriz nxm cuya fila i es la columna j de A. La transpuesta de A se denota por AT Ejemplo:

9. Matrices especiales: • Matrices especiales: • La matriz cero • Una matriz mxn cuyas entradas son todas ceros de conoce • como la matriz cero y se denota por 0nxm o solo por 0. • Tenga cuidado que no confunda la matriz cero con el • número cero. • Ejemplo: • La matriz cero 2x3 es; • 2. Matrices cuadradas • Una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas. • Ejemplo: Matriz cuadrada 3x3

10. Matrices especiales: Matriz cuadrada 2x2 3. Matriz diagonal Una matriz cuadrada nxn cuyas entradas son todas ceros excepto las entradas de la diagonal se llama matriz diagonal. Ejemplo: Una matriz diagonal 2x2 es; Una matriz diagonal 3x3 es;

11. Matrices especiales: 4. Matrices triangularizadas Una matriz se dice que está triangularizada por arriba si todas las entradas bajo la diagonal principal son cero. Una matriz se dice que está triangularizada por abajo si todas las entradas sobre la diagonal principal son cero. Ejemplos: Una matriz triangularizada por arriba es; Una matriz triangularizada por abajo es;

12. Matrices especiales: 5. Matriz identidad Una matriz cuadrada cuyas entradas son todas cero excepto las de la diagonal principal que tiene entradas iguales a 1, se llama matriz identidad. Existe una matriz identidad para cada tamaño de matriz cuadrada nxn. Ejemplos: La matriz identidad 2x2 es; La matriz identidad 3x3 es; La matriz identidad 4x4 es;

13. Operaciones con matrices: 1. Suma de matrices La suma de matrices se obtiene sumando las entradas correspondientes de las dos matrices. Observe que la suma está bién definida si las dos matrices tienen el mismo tamaño. Ejemplos: Encuentra la suma las matrices. 5

14. Operaciones con Matrices : 9

15. Propiedades de matrices nxm: • Propiedades de matrices nxm: • 1. A + B = B + A, propiedad conmutativa. • 2. A + (B + C) = (A + B) + C, propiedad asociativa • 3. A + 0 = 0 + A = A , propiedad de identidad • 4. (A + B)T = AT + BT propiedad de las transpuestas • Ejemplos: a. Demuestra que A + B = B + A.

16. Propiedades de matrices nxm: b. Demuestra que A + (B + C) = (A +B) + C. 3

17. Propiedades de matrices nxm: c. Demuestra que A + 0 = A. Definición de la multiplicación escalar: Si es una matriz mxn y k es un número real (un escalar) definimos y denotamos la multiplicación escalar de A y k por, . La multiplicación escalar se obtiene multiplicando cada entrada o elemento de la matriz A por el escalar k.

18. La multiplicación de matrices: La multiplicación de matrices Para definir la multiplicación de dos matrices necesitamos definir la multiplicación de un vector fila por un vector columna y determinar los tamaños de las matrices que se pueden multiplicar. Definición del producto interno de vectores El producto interno de un vector fila de tamaño, 1xp, por un vector columna de tamaño, px1, se denota y define por, Observa que el producto interno de un vector fila por un vector columna produce un número real.

19. La multiplicación de matrices: Ejemplo: Encuentra el producto interno de los siguientes vectores. Ojo: El resultado del producto interno es un número real y el número de columnas del primer vector debe ser igual al número de filas del segundo.

20. La multiplicación de matrices: Definición de la multiplicación de matrices Sea A una matriz de tamaño nxp,y sea B una matriz de tamaño pxm. Definimos y denotamos la multiplicación de A y B por A.B = C, donde C es la matriz de tamaño nxm cuyas entradas cij son el producto interno de la fila i por la columna j. Ejemplo: Encuentra los productos AB y BA de las siguientes matrices.

21. La multiplicación de matrices:

22. La multiplicación de matrices:

23. La multiplicación de matrices: Propiedades de la multiplicación de matrices Si AB y C son matrices para las cuales la multiplicación esta definida y k es un número real (escalar): 1. A(BC) = (AB)C propiedad asociativa 2. A( B + C ) = AB + AC propiedad distributiva 3. ( A + B )C = AC + BC propiedad distributiva 4. (kA)B = k(AB) asociativa escalar Ejemplo: Demuestra las siguientes igualdades.

24. La multiplicación de matrices:

25. La multiplicación de matrices: Ejemplos: 9. ¿Qué tamaño tienen las matrices AB y BA si A es una matriz 3x4 y B es una matriz 4x3? 10. ¿Qué tamaño tienen las matrices AB y BA si A es una matriz 5x4 y B es una matriz 3x5?

26. La inversa de una matriz: La matriz identidad La matriz cuadrada diagonal nxn cuyas entradas en la diagonal principal son todas 1 y las demás entradas son todas 0 se conoce como la matriz identidad nxn. La inversa de una matriz Sea A una matriz cuadrada nxn. Si existe una matriz B, nxntal que AB = BA = In, decimos que B es la matriz inversa de A y la denotamos por B = A-1.

27. La inversa de una matriz: Ejemplos: 1. Verifica que la matriz inversa de es . 2. Verifica que la matriz inversa de es .

28. MATRIZ INVERSA DE 2 X 2 Sea la matriz de manera que A  A-1 = I Calculando x, y , z, w se obtiene que

29. Aplique lo anterior en las siguientes matrices de 2x2 y compruebe que su respuesta es correcta

30. Operaciones elementales en una matriz Intercambiar dos filas o dos columnas Sumar dos filas o dos columnas Multiplicar una fila o columna por un escalar Sumar una fila o columna con el múltiplo de otra fila o columna Estas operaciones usadas de manera apropiada permite obtener matrices inversas, resolver sistemas de ecuaciones y calcular el valor de un determinante, mas adelante se ocupa en la programación lineal.

31. Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz Si A es una matriz invertible nxn construya la matriz ampliada . La matriz inversa A-1, nxn,se obtiene reduciendo la matriz mediante operaciones elementales de filas hasta obtener la matriz . Ejemplos: 1. Encuentra la matriz inversa de .

32. La inversa de una matriz: Verifica que AA-1 = I2 .

33. La inversa de una matriz: 2. Encuentra la matriz inversa de .

34. La iversa de una matriz: 3. Encuentra la matriz inversa de . No es posible tener la matriz inversa en el lado izquierdo por lo tanto la matriz no es invertible, la matriz inversa no existe.

35. Sistemas de ecuaciones 2x2 y ecuaciones matriciales. Si tenemos un sistemas de ecuaciones 2x2, podemos definir los siguientes conceptos, a. La matriz de los coeficientes, b. El vector variable, c. El vector constante, d. La ecuación matricial del sistema,

36. Sistemas de ecuaciones 2x2 y ecuaciones matriciales. La ecuación matricial del sistema se puede resolver multiplicando ambos lados de la ecuación por la inversa de la matriz de los coeficientes. Se puede demostrar que la matriz inversa 2x2, es Ejemplo: Resuelve el sistema usando la ecuación

37. Sistemas de ecuaciones 2x2 y ecuaciones matriciales. Solución:

38. Sistemas de ecuaciones 2x2 y ecuaciones matriciales. Ejemplo 2: Pedro invirtió $10,000 parte al 6% de interés anual y el resto al 12% anual. ¿Cuánto debe invertir a cada por ciento de manera que obtenga un, a. 8% de interés anual? b. 10% de interés anual? c. 10.5% de interés anual? Escribe la ecuación matricial y resuelve el sistema. Solución: Sea x la cantidad invertida al 6% y y la cantidad invertida al 12%. Las ecuación matricial es :

39. Sistemas de ecuaciones 2x2 y ecuaciones matriciales. La inversa de la matriz de coeficientes es,

40. Sistemas de ecuaciones 2x2 y ecuaciones matriciales.

41. Sistemas de ecuaciones 2x2 y ecuaciones matriciales.

42. EJERCICIOS

43. 5. Pedro invirtió $10,000 parte al 6% de interés anual y el resto al12% anual. ¿Cuánto debe invertir a cada por ciento de manera que obtenga un 8% de interés anual? Resuelve usando matrices.

44. Respuesta

46. Cálculo de la matriz inversa de 3x3 Sea A una matriz de 3x3, los siguientes pasos indican Como obtener la matriz inversa. • Formar la matriz ampliada (A|I) • Realizar operaciones elementales en el lado izquierdo • de forma de construir en aquel lugar una matriz idéntica • Las acciones realizadas en A afectaran el lado de I, por lo • quede al finalizar, en ese lado quedará la matriz inversa • buscada.

47. Sea una matriz cualquiera, obtener si existe su inversa

48. Así tenemos que la matriz inversa es