MATRICES

1. ANALISIS MATEMÁTICO PARA ECONOMISTAS - I MATRICES Econ. Luis Figueroa S.

2. Competencias: • .Define una matriz.Tipos de matrices • .Igualdad de matrices • .Realiza operaciones de suma y producto por un escalar. Propiedades. • .Transposición. Propiedades. • .Define el producto de matrices. • .Propiedades.

3. Introducción • Una empresa desea fabricar 4 productos A, B, C, D que requieren de dos materias primas digamos “X” e “Y” y de cantidades de unidades de mano de obra. Desea además comparar los números de unidades que se requieren en la producción semanal de dichos artículos. • Supongamos que tal información se encuentra dada en la siguiente tabla: • Las columnas expresan las unidades requeridas por cada producto, mientras que las filas expresan las unidades de cada insumo requeridas por los 4 productos • Por ejemplo: 230 es el número de unidades de la materia prima Y usadas para la • producción semanal del producto (artículo) B

4. filas columnas Definición: Una matriz es un arreglo rectangular de números reales, encerrados en grandes paréntesis. Se denotan con letras mayúsculas. El orden o tamaño mxn lo determina el número de filas m y el número de columnas n. NOTACIÓN: La matriz A = [ aij ] , donde aij representa el elemento que se encuentra en La i-esima fila y la j-esima columna. En general una matriz A de orden mxn se escribe:

5. Matriz A de orden mxn : Elemento de la fila i y columna j • Nota: • A las matrices se les acostumbra denotar por letras mayúsculas. • Se emplean paréntesis ( ) o corchetes [ ] para encerrar los elementos que conforman a la matriz. En nuestro curso emplearemos corchetes.

6. TIPOS DE MATRICES Matriz Nula o Cero Es una matriz que tiene todos sus elementos nulos. Se denota por O. Es una matriz cero de orden 4x3

7. MATRIZ COLUMNA Tiene m filas y una sola columna. La matriz C tiene 3 filas.

8. MATRIZ CUADRADA El número de filas es igual al número de columnas. En este caso se dice que la matriz es de orden n. La matriz M es cuadrada de orden 3. Una matriz de orden 1 tiene un sólo elemento

9. MATRIZ DIAGONAL • La matriz cuadrada A se dice que es diagonal si cumple con las siguientes condiciones : • Si ij entonces aij= 0 • Los elementos aii no son todos nulos. Matriz Diagonal de orden 4 Matriz Diagonal de orden 2

10. MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR • La matriz cuadrada A se dice que es triangular superior si cumple con las siguientes condiciones : • Si i > j entonces aij= 0 • Si i  j entonces aij es cualquiera

11. MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR • La matriz cuadrada A se dice que es triangular inferior si cumple con las siguientes condiciones : • Si i  j entonces aij= 0 • Si i  j entonces aij es cualquiera

12. MATRIZ IDENTIDAD Es una matriz diagonal con todos los elementos aii=1. Se denota por In. Matriz identidad de orden 3

13. IGUALDAD DE MATRICES Sean A=(aij) y B=(bij) dos matrices del mismo orden, se dice que A es igual B y se escribe A=B si para todo elemento ij se tiene aij= bij Además el orden de A es igual que el orden de B.

14. Ejemplo: ¿Para que valores de x, y, z las matrices A y B son iguales?

16. OPERACIONES CON MATRICES 1. SUMA DE MATRICES Sean A=(aij) y B=(bij) dos matrices de orden mxn , se denota por A+B a la suma de las matrices A y B y se define por C=(cij) como la nueva matriz tal que cij= aij+ bij para todo ij: C=A+B

17. Propiedades de la suma Sean A, B y C tres matrices del mismo orden. Entonces: 1. A+B=B+A 2. A+O=A 3. (A+B)+C=A+(B+C)

18. Producto de un escalar por una Matriz • Sean A=(aij) y  una matriz de orden mxn y un escalar respectivamente, se denota por A al producto de un número por una matriz. Es decir: •  A = ( aij)

19. Propiedades del Producto por un Escalar Sean A y B dos matrices del mismo orden y  ,  dos escalares. Entonces: 1. (A+B)=A+ B 2. (+)A=A+A 3. ( ) A= (  A) 4. 1A=A 5. 0A=O

20. 1.- Determine una matriz B = [ bij ]3x2 tal que bij = 2i + 3j – 4 2.- Hallar x, y, z, w para que la siguiente igualdad tenga sentido Ejercicios

21. 2.- Una cadena de tiendas tiene dos distribuidores. En mayo las ventas de TV, DVD y estéreos en los dos almacenes estuvieron dadas por: TV DVD estéreos Distribuidor 1 Distribuidor 2 Ejercicios a) Si las ventas para junio se esperan con un 50% de aumento sobre las de mayo, escriba la matriz que representa las ventas proyectadas para junio. b) El número de TV, DVD y estéreos en existencias para el mes de mayo vienen representadas por la matriz B. Durante este mes se hicieron entregas a los almacenes de acuerdo a la información dada por la matriz C. Determine la matriz que representa el número de artículos en existencias al final de mayo, si las matrices B y C son:

22. P Q R Lápices Marcadores Caracas Valencia Materia prima P Materia prima Q Materia prima R Ejemplo Una empresa fabrica dos productos lápices y marcadores, usando tres materias primas digamos P,Q y R. Sea A la matriz de las unidades de las materias primas usadas por los productos La producción se realiza en dos plantas, Caracas y Valencia. Sea B la matriz de los costos de la materias primas (por unidad) en las dos plantas ¿Como se expresa el costo total de las materias primas para la producción de Lápices en Caracas? CT = 3.10 + 2. 8 + 4.6

23. Caracas Valencia Lápices Marcadores Ejemplo ¿Cómo será el costo total en Valencia? CT = ¿Cómo es el costo en el caso de la producción de marcadores en Caracas y en Valencia? ¿Se puede escribir esto en una matriz? ¿Cuál será dicha matriz?

24. Def:Dadas las matrices A = [ aij]mxp y B = [ bij]pxn , tales que el número de columnas de A es igual al número de filas de B, el producto AB es una matriz C = [ cij]mxn ,cuyo elemento Cij se obtiene al multiplicar escalarmente la fila i-esima de A con la columna j-esima de B. Propiedades: Sean A, B y C matrices de tamaños “adecuados” y K escalar. (AB)C = A(BC), (asociativa) A(B + C) = AB + AC, (distributiva a la izquierda) (A + B)C = AC + BC, (distributiva a la derecha) K(AB) = (KA)B = A(KB), para K escalar Si A es una matriz cuadrada A. I = I.A = A Producto de matrices

25. Efectúa el producto entre las siguientes matrices A y B Ejercicios

26. NOTA 1: El producto de dos matrices no es conmutativo, sin embargo para ciertas matrices se cumple esta propiedad. NOTA 2: Se pueden tener dos matrices A y B tales que AB = O y sin embargo ninguna de las matrices sea una matriz cero. Observaciones

27. Ejercicio Una empresa usa 4 diferentes materias primas M1 , M2 , M3 , M4 en la elaboración de su producto. El no de unidades de M1 , M2 ,M3 , M4 usadas por unidad del producto son 4, 3 , 2 y 5 respectivamente. El costo por unidad de las 4 materias primas es $5, $7, $6 y $3, respectivamente. ¿Cómo es la matriz que expresa el Nº de unidades de las materias primas M1 , M2 ,M3 , M4 usadas por unidad de producto? ¿Cómo es la matriz que expresa el costo por unidad de éstas materias primas? ¿Cómo se calcula el costo total de las materias primas por unidad del producto expresada como el producto de dos matrices ?

28. TRASPOSICION DE MATRICES Definición: Sea A=(aij) una matriz de orden mxn se denota AT y se llama traspuesta de A, a la nueva matriz de orden nxm con elementos aji , es decir:AT=(aji )

29. PROPIEDADES DE LA TRANSPOSICION 1. (AT)T=A 2. (A+B)T= AT+BT 3. (cA)T=cAT Nota: En la propiedad 2, A y B tienen que ser del mismo orden.

30. Producto escalar: Se define entre A = [ aij ]1xn una matriz fila y B = [ bij ]nx1 una matriz columna, Se denota por A• B se realiza operando las matrices de la siguiente manera: Operaciones definidas ¿Que tienen en común estos pares de matrices A y B? ¿Se podrá definir este producto para algunos pares de las siguientes matrices? Señale para cueles pares de matrices es posible.

31. PRODUCTO DE MATRICES Definición 1: Si A1xn y Bnx1 son matrices de elementos reales entonces se denota por AB al producto de A por B y se define como la matriz que tiene por elemento el número real

32. Ejemplo 1x3-1x4+2x0+5x7 = 34

33. PRODUCTO DE MATRICES Definición 2: Si Amxp y Bpxn se denota por AB al producto de A por B y se define como la nueva matriz C=AB de orden mxn con elementos cij dados por:

34. OBSERVACIONES 1. Notar que para que el producto AB se pueda realizar se requiere que el número de columnas de A tiene que ser igual al número de filas de B. 2. El resultado de la operación AB es una nueva matriz C que tiene: El mismo número de filas que la matriz A. El mismo número de columnas de B.

35. 3. El producto AB puede existir y sin embargo no existir BA. Ejemplo Sin embargo: NO EXISTE

36. 4. Si existe AB y BA, el producto matricial entre A y B no es conmutativo.

37. 5. La matriz identidad permite conmutar el producto de AI Ejemplo

38. 6. Si AB = 0 esto no implica que A = 0  B = 0 o ambos. Ejemplo

39. PROPIEDADES DEL PRODUCTO MATRICIAL Sean A, B y C matrices tales que las operaciones que aparecen a seguir están definidas, entonces: 1. AI=A IA=A Ley asociativa 2. (AB)C=A(BC)

40. 3. A (B+C)= AB+AC (B+C) A= BA+CA Ley distributiva

41. = = 4. (AB)T=BTAT Nota: En esta propiedad se requiere que A y B sean multiplicativas.