WYKŁAD 5 : RÓWNANIA KONSTYTUTYWNE C. D.

1. Biomechanika przepływów WYKŁAD 5 : RÓWNANIA KONSTYTUTYWNE C. D.

2. WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Jak już wspomniano na wykładach wcześniejszych : Ciało będące pod działaniem pola sił ulega deformacjom mierzonym jako odkształcenia, które zależą od charakterystyki materiału z którego zbudowane jest dane ciało. Charakterystyka ciała reprezentowana jest przez odpowiednią relację pomiędzy polem naprężeń a odkształceniami, która to nazywana jest - relacją konstytutywną. Na poprzednim wykładzie omawiane były główne znane relacje konstytutywne opisywane za pomocą tensorowych równań konstytutywnych t. j.: Lepki płyn Newtonowski, Płyn nielepki i Elastyczne ciało Hooka. Teraz omówimy ogólniej trzy podstawowe relacje: ciała liniowo elastyczne, ciała nie liniowo elastyczne, oraz ciała liniowo lepko – elastyczne.

3. WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Ciało Liniowo Elastyczne Odkształcenie oraz naprężenie, mogą być reprezentowane za pomocą jednowymiarowych macierzy ( o wymiarze 6 x 1 ), ze względu na to iż, symetria powoduje że, jest tylko 6 różnych elementów tensorów odkształcenia i naprężenia: naprężenie: odkształcenie: Liniowe równanie dla materiałów izotropowych ( Prawo Hooka) może być zapisane: (*) Elastic constitutive matrix

4. WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Wykorzystujączałożenieoizotropowościmożnawykazaćże, C możebyćprzedstawione Zapomocądwóchstałychmateriałowych : modułuYounga E istałejPoissonaν. E przedstawiawspółczynnikproporcjonalnościdlajednowymiarowegoodkształcania: Natomiastν jest stosunkiemwartościpoprzecznegoodkształceniaeyydo odkształcenia Wzdłużnegoexxkiedymateriałjest obciążanywkierunkux:

5. WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Różneformystałej C dlaróżnychwarunkówfizycznych: Dlaogólnej 3-wymiarowej deformacji (**)

6. WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Dlaprzypadkówosiowosymetrycznychtj. : Niezeroweodkształceniamogą byćodniesione do: gdzie: γ – odkształceniestyczne Macież C sprowadzasię do pstaci 4 x 4 :

7. WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Dlaprzypadkupłaskiego (a)

8. WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Przykład 1: Płaskamembrana: Dlapłaskiejmembrany (płaskiegostanunaprężenia) wpłaszczyźniex-ymamynastępujący warunek:

9. WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. równieżwszystkiestycznenaprężeniaiodkształceniawkierunkuzsąrówne0: stosującrównanie (*) i (**) otrzymamy: Po przekształceniachotrzymujemyrównanieokreślająceodksztacenienormalne (nagrubościmembrany):

10. WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. po podstawieniu ezz w prierwszych dwóch równaniach dostajemy:

11. WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. a więc konsekwentnie constytutywna macierz przybiera postać:

12. WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Podobną technikę można użyć do opisu zachowania się powierzchni sferycznej wprowadzamy nowy układ współrzędnych (lokalny: x1, x2, x3) w którym macierz konstytutywna przybiera postać:

13. WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Przykład 2: Określenie siły reakcji dla przewodu kołowego pod ciśnieniem Prosta rura przedstawiona na rysunku nie podlega odkształceniom wzdłużnym. Rura znajduje się pod ciśnieniem wewnętrznym p. Grubość rury δ jest mała w porównaniu z promieniem przewodu R. Zakładamy również że, podpory pozwalają na zmianę średnicy przewodu. Można więc przyjąć iż stan naprężenie – odksztacenie jest jednolity dla przewodu.

14. WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. niezerowe naprężenia w rurze to: naprężenie wzdłużne naprężenie obwodowe z warunków równowagi można wyprowadzić relację: (siły na jednostkę długości)

15. WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. poprzez istnienie wzdłużnych podpór, wzdłużne odksztacenie rury jest zerowe. korzystając z oraz macierzy konstytutywnej: otrzymamy:

16. WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. odkształcenie obwodowe przyjmuje postać: po podstawieniu do: otrzymamy Siły reakcji na podporach wynoszą: