力学 (Classical Mechanics)

力学(Classical Mechanics) 数学预备知识矢量（vector)

矢量（vector) • 矢量是物理学研究中所使用的重要数学工具之一，利用矢量来描述物理规律具有许多的优点： • 形式简单； • 与坐标系的选择无关； • 本章内容： • 矢量的加法和减法 • 矢量的标积（点积） • 矢量的矢积（叉积） • 矢量分解 • 矢量函数的微商

一、矢量及其表示(Vector and its representation) 1.矢量的定义 • 有些物理量(如位移、速度、加速度、力等）需要同时指明其大小和方向，进行相加运算时遵从平行四边形法则，这类量称为矢量（vector)。矢量的特点： • 由大小和方向（magnitude and direction）唯一地确定，平行移动不会改变一个矢量。 • 平行四边形相加法则；vector algebra • 有些物理量（如质量、温度、电量等）只需用包含正负的数字来表征，这类量称为标量（scalar)，标量遵从代数运算法则。标量的特点： • 用包含正负的数就可充分描述； • 遵从代数运算法则； • 矢量和标量不能包含全部的物理量，例如角位移、既不是矢量也不是标量，而是张量（tensor)，需用矩阵表示。

一、矢量及其表示(Vector and its representation) 2.矢量的表示 • 矢量几何表示：从几何的观点看，可用有方向的线段来表示矢量，线段的长度表示该矢量的大小，箭头的方向表示该矢量的方向 • 矢量的书写：习惯上， • 书写时在字母上方加一箭头代表矢量，如 • 印刷时用黑体字母表示矢量，如 A 做作业和考试时，必须用字母上面架箭头的方式表示矢量矢端矢尾

一、矢量及其表示(Vector and its representation) 3.有关矢量的定义 • 矢量的模：矢量的大小称为矢量的模，矢量A的模，记为|A| • 注：在不致引起混淆的情况下，可用斜体字母表示矢量的模：A • 矢量相等(Equality of two vectors): 具有相同长度和相同方向的两个矢量彼此相等。 • 例如：矢量B和矢量C长度相同方向相同，则B和C相等，记为B=C • 零矢量（zero vector)：模等于零的矢量称为零矢量，记为零矢量的方向是任意的。 • 单位矢量（unit vector)：若一个矢量的长度为1单位，则该矢量称为单位矢量 • 例如：沿直角坐标系xyz轴的正向，取单位矢量，记作 • 利用矢量的模和延矢量方向的单位矢量A0可将矢量A表示为A=|A|A0

二、矢量的数乘(Product of a scalar and a Vector) • 定义:矢量A与实数m的乘积仍是一个矢量,记为mA • mA的大小: |mA|=|m||A| • mA的方向: • m>0: 与A同向; • m<0: 与A反向; • m=0: 零矢量 • m=-1: mA = -A,其中,-A表示一个与A大小相等方向相反的矢量 • 性质: • 分配律:(associative law) • 交换律:(commutative law)

三、矢量的加法和减法(vector addition and subtraction) • 在力学中,经常遇到矢量的加减运算,如求作用在质点上的力的合力、已知两个时刻质点的位置求这段时间内质点的位移等 • 矢量的运算与标量的运算有很大的不同，除考虑其大小外还必须考虑其方向。 1. 两个矢量的加法： • 定义：C=A+B • C：A和B的矢量和; A,B: C的分量 • 运算方法： • 平行四边形法则：将B矢量平移，使A和B的矢尾相连，由A和B为邻边所构成的平行四边形的对角线即为和矢量C B C B 平移 A A

三、矢量的加法和减法(vector addition and subtraction) C B • 简化为三角形法则：将B矢量的矢尾与A矢量的矢端相连，从A的矢尾到B的矢端做矢量,则该矢量即为欲求的和矢量C • C的大小和方向: 由余弦定理: 由正弦定理 求出角, 或者 2. 多个矢量的加法先求出F1和F2的和矢量F12，再求F12与F3的和矢量F123，依次类推… 3.矢量加法的性质： • 交换律(commutative law): A+B=B+A • 结合律(associative law):(A+B)+C=A+(B+C)   A -

三、矢量的加法和减法(vector addition and subtraction) ４.两矢量的减法： • 定义：　C=A-B=A+(-B) • 即两矢量A和B的矢量差C可看成为矢量A和矢量(-B)的矢量和 • 运算方法： • 平行四边形法则：以A和(-B)为邻边做平行四边形，其对角线即为矢量差C • 三角形法则：将A和B的矢尾相接，由B的矢端向A的矢端做矢量，则该矢量即为矢量差C B B B A C -B A C A

四、矢量的标积（点积）(scalar product of two vectors)  • 定义 • 矢量　和　的标积是一个标量，记为　，定义为 • 其中为两矢量间的夹角 • 标积　　随角度的不同可为正值、负值或零 • 当　　　　　　　　　　　　特别地 • 性质： • 交换律(commutative law): • 分配律(distributive law): • 结合律(associative law):

五、矢量的矢积（叉积）(vector product of two vectors) • 定义： • 矢量　和　的矢积为一矢量，记为 • 　的大小：以　和　为邻边所决定的平行四边形的面积 • 其中为　和　的夹角，规定总是小于 • 当＝０或时（　　）， • 当 • 的方向：垂直于　和　所决定的平面，　　　　三矢量构成右手螺旋系统 • 矢积运算的性质

六、矢量的分解(the components of vectors) • 问题的提出：前述矢量的相加、相减和乘积运算以及后面将要介绍的矢量函数的导数，不涉及到坐标系的选择，但是，在分析具体问题时，将矢量按一些特定的方向分解为若干个分矢量常常是有益的，特别是，将矢量投影到正交坐标轴上进行代数的运算和微积分的运算，比起矢量的几何运算和矢量的微积分运算要容易。因此，我们常常根据需要选择一定的正交坐标系来研究各种矢量问题； • 把一个矢量分解成若干个分矢量之和，可能采取的分解方式有无限多个，如果规定了三个正交分量的方向，则分解是唯一的。如，规定矢量　在某一直角坐标系的xyz轴上分解，则可表示成 • 其中　、和　是矢量　在xyz轴上的三个 • 分量，简称分量 • 矢量投影式 z y x

六、矢量的分解(the components of vectors) • Ax,Ay和Az为标量，称为矢量　在xyz轴上的投影。 • 注意：Ax,Ay和Az不表示分矢量的大小，它们是代数量，可取正值亦可取负值： • 矢量　的大小： • 矢量　的方向： • 方位角：　与xyz轴的夹角：、、 • 方向余弦：

六、矢量的分解(the components of vectors) • 直角坐标系下n个矢量的求和 • n个矢量： • 每个矢量都可分解成矢量投影式 • 和矢量： • 利用矢量数乘的分配率 • 即和矢量在某一坐标轴上的投影等于各个分矢量在同一坐标轴上投影的代数和 • 矢量求和的几何相加变成了三个代数和的计算

六、矢量的分解(the components of vectors) • 在直角坐标系中两矢量的标积的投影表示 • 在直角坐标系中两矢量的矢积的投影表示 • 　　　　　　　　　行列式表示

七、矢量函数的导数(the derivative of vector functions) • 矢量函数： • 若某一矢量的大小和方向会发生改变，则称该矢量为变矢量； • 如果对于标量变量t的每一个取值都相应地存在变矢量A的一个确定的矢量，则称矢量 A为标量变量t的矢量函数，记作A=A(t) • 在力学中,标量变量t通常是时间； • 在直角坐标系中： • 矢量函数的导数 • 定义：设在[t,t+t]时间间隔内，矢量A由A(t)变为A(t+ t )，增量为A A是一矢量比值A/ t是与A方向相同的另一矢量

七、矢量函数的导数(the derivative of vector functions) • 当t0时，若比值 A/ t趋近于一确定的极限矢量，则称该极限矢量为A(t)在时刻t的导数 • 矢量的导数也是一矢量： • 大小： • 方向：当t0时，A的极限方向，沿A(t)的矢端曲线的切线且指向时间增加的方向； • 当A(t)的大小不变而只是方向改变时 A 

七、矢量函数的导数(the derivative of vector functions) • 矢量导数的在直角坐标系中的正交分解式 • 求导规则 • 设A(t)和B(t)均为t的矢量函数，f为t的标量函数，C为常矢量

八、矢量函数的积分(the integral of vector functions) 设A(t)是B(t)的一个原函数 • 不定积分： • 定积分： • 计算矢量函数的积分时，应利用矢量的正交分解式

力学 (Classical Mechanics)