고체역학 (Solid Mechanics)

고체역학(Solid Mechanics)

제 1 장 응 력 (Stress) • 외력(External Loads)의 정의 • 변형체의 평형(Equilibrium of Deformable Body) • 내부하중(Internal Loads) • 응력(Stress)의 정의 bkhan@wow.hongik.ac.kr

1.1 서론  재료역학/ 고체역학(mechanics of materials/solid mechanics)이란? (1) 변형체에 가해지는 外力과 물체 내의 內力 사이의 관계 및 (2) 물체의 변형(deformation)을 연구하는 학문(안정성과도 관련)  역사적 발달 과정 17C 초: 다양한 재료의 beam, rod에 대한 하중-변형 실험(Galileo) 18C 초: 재료 거동에 관한 실험/이론적 연구 (France; Saint-Venant, Poisson, Lame, Navier..) 재료 강도학(strength of materials) 변형체(deformable bodies) 역학 or 재료역학 or 고체역학 탄성학, 소성학 등으로 발전(고등수학의 발달로), 컴퓨터 발달로 인해 FEM, BEM 등에 활용 선수과목(prerequisite):정역학(Statics) bkhan@wow.hongik.ac.kr

1.2 변형체의 평형(Equilibrium of Deformable Body) • 외력(External loads) 표면력(surface force): → → 물체력(body force): → → bkhan@wow.hongik.ac.kr

FR w w(s) C s 선형분포 하중의 예 분포하중  집중하중으로 대체하여 고려할 수 있는가? 하중(FR)의 크기 ? 하중(FR)의 작용점 ? bkhan@wow.hongik.ac.kr

표 1-1 지점 반력(support reactions) bkhan@wow.hongik.ac.kr

반력의 수는 어떻게 결정되는가? =(운동이 억제된 방향의 수) 용어: 이동(translation) 회전(rotation) 반력(reaction force) 모멘트(reaction moment) bkhan@wow.hongik.ac.kr

평형방정식 • 평형조건(3차원): • 평형 조건식: 9개 • Special case(2차원):동일 평면력(coplanar forces) • 평형 조건식: 3개 물체에 작용하는 기지 및 미지의 힘들을 모두 명시하는 가장 좋은 방법은 그 물체의 자유 물체도를 그리는 것이다. bkhan@wow.hongik.ac.kr

내부하중 성분들의 합력 bkhan@wow.hongik.ac.kr

표시: 힘:하나의 화살표로, 모멘트:회전방향을 나타내는 화살표와 함께 표시. (오른손 법칙) 점 O는 Centroid 내부하중 성분들의 합력 N :수직력(Nz); V :전단력(V=Vx+Vy); M :굽힘 모멘트 (M =Mx+My) Tz :비틀림 모멘트(torque) bkhan@wow.hongik.ac.kr

굽힘모멘트Mo O 수직력N 전단력V Special Case: Coplanar system of forces bkhan@wow.hongik.ac.kr

(i) 지점 반력: 전체 물체에 대한 FBD를 그리고, 평형방정식을 적용하여 구한다. (ii) 절단된 물체의 FBD를 그리고, 미지력 N, V, M, T를 표시한다. (iii) 평형방정식으로부터 N, V, M, T를 구한다. 해석과정 bkhan@wow.hongik.ac.kr

풀이: 예제1-1 점 C를 지나는 단면의 내부하중을 구하라. (i)지점 반력: RA= ? , MA=? (ii)자유물체도(Free-Body-Diagram) (iii)평형조건: bkhan@wow.hongik.ac.kr

예제1-2 점 C를 지나는 단면의 내부하중의 합력 과 합모멘트를 구하라. 단, 점 A와 B에서 베어링 지지 되어있다. 풀이 (i)지점 반력: 자유물체도(FBD)에서 (ii)점 C에서 절단한 FBD  그림 (c) (iii) 평형방정식: 음(-)의 부호의 의미는? bkhan@wow.hongik.ac.kr

예제1-3 질량 500 kg의 엔진이 그림과 같이 매달려 있다. 크레인 팔 E점을 지나는 단면에 작용하는 내부 하중의 합력과 합모멘트를 구하라. A 지점 반력: 전체물체의 FBD on AB 평형조건: 점 E에서 절단한 FBD 그림 (c) 평형방정식: bkhan@wow.hongik.ac.kr

예제1-4 두 힘 부재: 점 G를 지나는 단면의 내부하중은? 풀이 반력 성분: 점 C에는 1개, 점 E에는 2개 그 이유는? bkhan@wow.hongik.ac.kr

(ii) FBD (iii) Equilibrium: bkhan@wow.hongik.ac.kr

예제1-5 점 B를 지나는 단면의 내부하중의 합력과 합 모멘트는? 단, 파이프의 단위 길이 당 질량 w=2 kg/m이고, 끝 점에 작용하는 수직하중은 50 N, 우력은 70 N·m이다. 풀이: i)지점 반력: ii)점 B에서 절단한 FBD  그림 (b) 자중: iii) 평형방정식: 힘 평형; bkhan@wow.hongik.ac.kr

수직력 NB= (FB)y 전단력 VB=(0)2+(84.3)2 비틀림 모멘트 TB= (MB)y 굽힘 모멘트 MB= (30.3)2+(0)2 평형방정식:모멘트 평형; 값에서 음(-)의 부호의 의미는? bkhan@wow.hongik.ac.kr

內力의 合力 n F Fn F A Ft t 1.3 응력(stress) 인장응력(tensile stress) 압축응력(compressive stress) 內力의 분포를 나타내기 위해 응력의 개념을 도입  미소면적 A에 작용하는 內力에 관심.  A→0 (극한치) 단, 재료는 Continuous & Cohesive:Continuum Assumption  F /  A =const. =응력 bkhan@wow.hongik.ac.kr

z ΔF ΔA x y 작용면에 수직인 축 작용 방향 인장응력 수직응력(Normal stress): 압축응력 전단응력(shear stress): 직각 좌표계의 응력성분 (Cartesian stress components) bkhan@wow.hongik.ac.kr

xy평면 xz평면 yz평면 A를 포함하는infinitesimal cube를 고려하면; 면당 3개의 응력성분 bkhan@wow.hongik.ac.kr

xy xy xy xz yz z yz xz xz yz x y 평형조건(Equilibrium requirements) 응력성분(18개): bkhan@wow.hongik.ac.kr

z 응력 면적 힘 z z 힘의 평형 수직응력 성분  Fx=0:  Fy=0:  Fz=0: xy-평면 전단응력 성분  Fx=0:  Fy=0: xz-평면 전단응력 성분  Fx=0:  Fz=0:

z yz-평면 전단응력 성분  Fy=0:  Fz=0: 3개 응력성분6면=18개 응력성분 9개 응력성분 bkhan@wow.hongik.ac.kr

면적 응력 모멘트 팔 힘 모멘트 모멘트의 평형  Mz=0:  Mx=0:  My=0: 9개 응력성분 6개 응력성분 bkhan@wow.hongik.ac.kr

s z z t yz s s y y y t yz s z 일반적인 응력상태 2차원 응력상태(coplanar stress state) 응력성분은. 응력의 단위 SI: 1 Pa(pascal) = 1 N/m2, 1 kPa = 103 Pa cf.) 1 Mpa = 106 Pa, 1 Gpa = 109 Pa FPS: 1 psi = 1 lb/in2, 1 ksi = 1 kpsi =1000 lb/in2 cf.) 1 kip = 103 lb bkhan@wow.hongik.ac.kr

1.4 축하중을 받는 막대의 평균 수직 응력 가정: (i) prismatic bar (균일단면 막대) (ii) 재료: homogeneous + isotropic (iii) 균일변형

단축응력 (uniaxial stress) 응력의 부호가 바뀜 평균응력 • 내력은 단면에 균일하게 분포 • 평균응력 =P/A=N/A • 하중 P는도심에 작용 ► 압축력의 경우 좌굴(buckling)이 발생할 수 있음. ► 위의 응력식은 slightly tapered bar에도 적용 가능. bkhan@wow.hongik.ac.kr

막대에 축하중이 다수 분포되어 작용하거나, 단면이 불균일한 경우,수직력(축력)선도 N(x)를 그리고, (x)=N(x)/A(x)를 계산하여 최대값을 구한다. 최대 평균 수직 응력(maximum average normal stress) 해석과정 • 내부하중: • 부재를 길이방향 축에 수직하게 절단하고, • 자유물체도와 평형방정식을 사용하여 내부 축력 P를 구한다. • 평균수직응력 • 단면에서 부재의 단면적을 구하고, • =P/A로 평균 수직응력을 구한다. bkhan@wow.hongik.ac.kr

예제1-6 내부 하중: 폭 w=35 mm,두께 t=10 mm인 막대가 아래와 같이 힘을 받을 때, 최대 평균 수직응력은? 구간 BC에서 축력: PBC=30 kN 최대 평균 수직응력: bkhan@wow.hongik.ac.kr

예제1-7 질량 m=80 kg인 램프가 AB=10 mm, BC=8 mm인 막대에 매달려있다. 어느 막대의 평균 수직응력이 더 큰가? 내부 하중:  Fx=0:  Fy=0: 평균 수직응력: bkhan@wow.hongik.ac.kr

예제1-8 주조품 비중량 st=80 kN/m3, 점 A와 B에서의 평균 압축응력은? 자유물체도: Wst=stVst. 내부 하중:  Fz=0: 평균 압축 응력: 자유물체도 bkhan@wow.hongik.ac.kr

예제1-9 수직력 3kN에 의하여 점 C에서의 평균 압축응력과 막대 AB에서의 평균 인장응력이 같아지는 x의 값은? 단, AAB=400 mm2, AC=600 mm2. 내부 하중:  Fx=0:  MA=0: 평균 수직응력: 하중 작용점:

P P/2 P/2 M(x)=Px/2 x V=P/2 P/2 모멘트 선도 PL/4 L/2 L 1.5 평균 전단응력(Mean shear stress) 단순/직접 전단(simple or direct shear) =F/2 스팬 길이 L 0 Mmax와 V값의 크기비교 평균 전단응력: bkhan@wow.hongik.ac.kr

겹치기 이음 lap joint V=F V=F 이중 겹치기 이음 V=F/2 V=F/2 double lap joint 단일 전단(single shear): 전단면이 하나인 경우 모멘트가 발생하지만 작으므로 그 영향은 무시. 이중 전단(double shear): 전단면이 두개인 경우 bkhan@wow.hongik.ac.kr

절단면상의 한 점의 체적요소 해석과정 내부전단 응력을 구하고자 하는 면을 절단하고 자유물체도를 그린다.  평형 조건식으로부터 전단력 V를 구한다. 평균전단응력 avg =V/A를 사용하여 구하고, 방향은 전단력 V의 방향임. 한 면의 응력방향이 정해지면 다른 면은 평형을 고려하여 결정됨.

예제1-10 핀A(d=20mm)와B(d=30mm)에 작용하는 평균 전단응력을 구하라. 내부 하중: 핀 A에 작용하는 전단력(2중 전단): 핀 B에 작용하는 전단력(단일 전단): 평균전단응력: bkhan@wow.hongik.ac.kr

예제1-11 전단면 a-a와 b-b에작용하는 평균 전단응력을 구하라.(연결부 두께=150 mm) 내부 하중: 전단면 a-a: 전단면 b-b: 평균전단응력:

예제1-10 (구교재) b=40 mm인 정사각 단면 보의 a-a단면과 b-b단면의 평균 수직응력과 평균 전단응력은? a-a 단면:  Fx=0: 평균응력: b-b 단면:  Fx=0:  Fy=0: 평균응력: Alternative solution: Fx’=0, Fy’=0: bkhan@wow.hongik.ac.kr

예제1-11 (구 교재) d=10 mm인 강재 봉으로 고정된 목재 부재에 5 kN의 수직력이 작용할 때, 강재봉 내부의 평균 전단응력은? 목재의 평면 abcd에서의 평균 전단응력은? V=P V=P/2 평균 전단응력: 봉 목재

예제1-12 경사부재의 접촉면 AB와 BD에서의 평균 압축응력과 수평면 EDB의 평균 전단응력은? 내부 하중:  Fx=0:  Fy=0: 평균 응력: bkhan@wow.hongik.ac.kr

1.6 허용응력(allowable stress) 실제하중>설계하중 원인: ► 조립오차, ► 진동, 충격, 우발적인 하중, 동적하중 등 ► 부식, 풍화, 열화 등 이를 보완하기 위하여 안전계수(factor of safety, F.S.)도입 많은 경우, 하중과 응력이 비례하므로 (즉, P~, V~) F.S. 증가↑: 안전, 비경제적 감소↓: 경제적, 불안전 설계기준 or핸드북 참조; 공공의 안전, 환경적인 안전, 경제성 bkhan@wow.hongik.ac.kr

Case I:인장부재의 단면적 Case II:전단을 받는 연결부재의 단면적 Case III:받침을 위한 소요면적 Case IV:축하중에 의한 전단력의 소요면적 CASE I CASE II 1.7 간단한 연결부의 설계 재료의 거동을 단순화하면, bkhan@wow.hongik.ac.kr

Case III:받침을 위한 소요면적 Case IV:축하중에 의한 전단력의 소요면적 CASE III 지지응력(bearing stress): 두 면사이의 압축으로 발생하는 수직응력 CASE IV bkhan@wow.hongik.ac.kr

해석과정 내부하중: 부재를 가상적으로 절단하고 자유물체도를 그린다. 그리고 평형조건을 적용하여 절단면의 내력을 구한다. 소요면적: 구해진 내력을 지탱하기위해 필요한 단면적은, A= P/allow,또는 A=V/allow bkhan@wow.hongik.ac.kr

예제1-13 강의 허용전단응력이 allow=55 MPa일 때, 핀의 치수를 5 mm 단위로 구하라. 내부 전단력:  MC=0:  Fx=0:  Fy=0: 소요면적:

예제1-14 20 kN의 하중을 지탱하기 위한 봉의 최소 직경과 원판의 최소 두께는? 단, 봉의 허용응력 allow=60 MPa, 원판의 허용응력 allow=35 MPa이다. 봉의 직경: 원판의 두께:

예제1-14(구교재) 핀의 허용전단응력allow=12.5 ksi,막대CB의 허용 인장응력allow=16.2 ksi일 때, 핀A와B의 직경과 막대CB의 직경을1/16 in. 단위로 구하라. 봉의 직경: 핀의 직경: bkhan@wow.hongik.ac.kr

예제1-15 점 C의 허용 지지응력 (b)allow=75 MPa, 축의 평균 수직응력이 허용 인장응력 (t)allow=55 MPa를 초과하지 않는 하중 P의 값은? 축응력: 지지응력: bkhan@wow.hongik.ac.kr

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