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运 输 问 题 (Transportation Problem)

运 输 问 题 (Transportation Problem). 运输问题的数学模型. 表上作业法. 产销不平衡的运输问题. 一、运输问题的数学模型. 例:某运输问题的资料如下:. 数学模型的一般形式 已知资料如下:. 当产销平衡时,其模型如下:. 当产大于销时,其模型是:. 当产小于销时,其模型是:. 运输问题特征: 1 、 m 个供应地, n 个需求地的运输问题; 2 、决策变量个数为 m*n 个,约束条件个数为 m+n 个; 3 、系数矩阵中元素为 0 或 1 ;

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运 输 问 题 (Transportation Problem)

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Presentation Transcript


  1. 运 输 问 题 (Transportation Problem) 运输问题的数学模型 表上作业法 产销不平衡的运输问题

  2. 一、运输问题的数学模型 例:某运输问题的资料如下:

  3. 数学模型的一般形式 已知资料如下:

  4. 当产销平衡时,其模型如下:

  5. 当产大于销时,其模型是:

  6. 当产小于销时,其模型是:

  7. 运输问题特征: 1、m个供应地,n个需求地的运输问题; 2、决策变量个数为 m*n个,约束条件个数为 m+n个; 3、系数矩阵中元素为0或1; 4、每个决策变量在 m 个供应量约束和 n个需求量约束中各出现一次; 5、系数矩阵的秩等于( m+n-1 )个; 6、基本解中基变量个数等于(m+n-1)个; 7、平衡运输问题必有可行解,也必有最优解。

  8. 二、表上作业法 步骤: ⑴.找出初始基本可行解(初始调运方案,一般m+n-1个数字格),用最小元素法、西北角法、伏格尔法; ⑵.求出各非基变量的检验数,判别是否达到最优解。如果是停止计算,否则转入下一步,用位势法计算; ⑶.改进当前的基本可行解(确定换入、换出变量),用闭合回路法调整; ⑷.重复⑵. ⑶,直到找到最优解为止。

  9. 1、求初始方案: 例一、某运输资料如下表所示:

  10. ⑴.西北角法(或左上角法): 此法是纯粹的人为的规定,没有理论依据和实际背景,但它易操作,特别适合在计算机上编程计算,因而受欢迎。方法如下: 3 4 7 4 9 4 4 9 0 4 9 0 2 9 0 0 9 0 0 0 2 2 3 6 3 6 5 6 3 4 0 0 0 2 2 0 0 0 3 6 0 6 5 6 0 2 5 6 0 0 5 6 0 0 3 6 总的运费=(3×3)+(4×11)+(2×9)+(2×2)+(3×10)+(6×5)=135元 0 0 0 0

  11. ⑵.最小元素法: 基本思想是就近供应,即从运价最小的地方开始供应(调运),然后次小,直到最后供完为止。 3 11 3 10 4 3 1 9 2 8 3 1 7 4 10 5 6 3 总的运输费用=(3×1)+(6×4) +(4×3)+(1×2)+(3×10)+(3×5)=86元

  12. (3)伏格尔法 考虑到最小运费与次小运费及相互差额问题。差额最大处应用最小运费调运。 Cij销地 供地 B1 B2 B3 B4 供应量 A1 A2 A3 3 11 3 10 1 9 2 8 7 4 10 5 7 4 9 需 求 量 3 6 5 6

  13. Cij销地供地 Xij(0) 销地 供地 B1 B2 B3 B4 B1 B2 B3 B4 行差 供应量 A1 A2 A3 3 11 3 10 1 9 2 8 7 4 10 5 0 0 0 7 1 1 1 6 1 2 A1 A2 A3 7 4 9 列 差 • 2 5 1 3 • 1 3 • 2 1 2 需 求 量 3 6 5 6 用伏格尔法 得初始调运方案如下: 表1 5 2 3 1 6 3

  14. 2、最优解的判别(检验数的求法): ⑴.闭合回路法: σij≥0 (因为目标函数要求最小化) 表格中有调运量的地方为基变量,空格处为非基变 量。基变量的检验数σij=0,非基变量的检验数 σij≥0。 σij< 0 表示运费减少, σij> 0 表示运费增加。

  15. ② 1 3 4 (-1) (+1) 3 1 (-1) (+1) 3 6 计算如下:空格处( A1B1)= 3-3+2-1=1 此数即为该空格处的检验数。

  16. 1 2 4 3 3 1 6 3

  17. 1 2 4 3 -1 3 1 6 3

  18. 1 2 4 3 -1 3 1 1 6 3

  19. 1 2 4 3 -1 3 1 1 6 12 3

  20. 1 2 4 3 -1 3 1 1 10 6 12 3 检验数中有负数,说明原方案不是最优解。

  21. 1 2 0 0 -1 0 1 0 10 0 12 0

  22. ⑵.位势法 运输问题的约束条件共有m+n个,其中:m是产地产量的限制;n是销地销量的限制。 其对偶问题也应有m+n个变量,据此: σij=cij-(ui+vj) ,其中前m个计为ui(i=1.2…m),前n个计为vj (j=1.2…n) 由单纯形法可知,基变量的σij=0 ∴ cij-(ui+vj) =0 因此ui ,vj可以求出。

  23. 接上例: (ui+vj) 成本表 u2+v1=1 u2+ v3 =2 u3+v2=4 u1+ v4 =10 u1+v3=3 u3+ v4 =5 令: u1=0 u1=0 v1=2 u2 =-1 v2 =9 u3 =-5 v3 =3 v4 =10

  24. 按σij=cij-(ui+vj)计算检验数,并以σij≥0检验,或用(ui+vj)-cij≤0 检验。 cij (ui+vj) - σij 表中还有负数,说明还未得到最优解,应继续调整。 =

  25. ——闭合回路调整法(原理同单纯形法一样) 3、改进的方法 接上例: (+1) (-1) 4 3 3 (-1) (+1) 1 6 3

  26. B1 B2 B3 B4 产量 A1 7 4 3 (+1) (-1) 3 A2 4 1 (-1) (+1) 6 3 A3 9 销量 3 6 5 6

  27. (ui+vj) 成本表 B1 B2 B3 B4 B1 B2 B3 B4 A1 3 10 u1 A1 3 9 3 10 0 A2 1 8 u2 A2 1 7 1 8 -2 A3 4 5 u3 A3 -2 4 -2 5 -5 v1 v2 v3 v4 3 9 3 10 所有σij≥0 得到最优解, 最小运费为85元。 0 经检验

  28. 4、表上作业法计算中的问题 ⑴.无穷多最优解:产销平衡的运输问题必定存最优解。如果非基变量的σij=0,则该问题有无穷多最优解。如上例:(1.1)中的检验数是 0,经过调整,可得到另一个最优解。 ⑵.退化:表格中一般要有(m+n-1)个数字格。但有时,在分配运量时则需要同时划去一行和一列,这时需要补一个0,以保证有(m+n-1)个数字格。一般可在划去的行和列的任意空格处加一个 0 即可。

  29. 例1: 2 1 3 5 5 2 6 8 2 1 7 6 0 例2: 0 0

  30. 三、产销不平衡的运输问题及其求解方法 1、产大于销:模型 方法是先将原问题变成平衡问题,需假设一个销地(Bn+1 )(实际上考虑产地的存量),

  31. 模型为: 单位运价表中的单位运价为 2、销大于产:同样假设一个产地即可,变化同上。

  32. 例题: 20 30 20 用最小元素法求初始方案 30 20 40 30

  33. 已知某运输问题的资料如下表所示 练习: 1、表中的发量、收量单位为:吨,运价单位为:元/吨 试求出最优运输方案. 2、如将A2的发量改为17,其它资料不变,试求最优调 运方案。

  34. 解:1、用最小元素法求初始方案 运费为108元/吨 2、用位势法判断: 成本表

  35. u1+v3=5 u2+v4 =1 u1+v4 =3 u3+v2=2 u2+v1=1 u3+v4 =4 令: u1=0 u1=0 v1=3 u2=-2 v2 =1 u3 =1 v3 =5 v4 =3

  36. (ui+vj)

  37. cij (ui+vj) - = σij 表中还有负数,说明没有得到最优解,调整运输方案。

  38. 新的运送方案 -2 +2 +2 -2 总的运费 105元/吨 (ui+vj)1 新的成本表

  39. cij (ui+vj)1 = - (σij)1 表中还有负数,说明没有得到最优解,继续调整运输方案。

  40. 新的运送方案 B1 B2 B3 B4 B1 B2 B3 B4 A1 10 5 A1 10 0 5 A2 10 2 A2 12 A3 13 0 A3 13 0 总的运费 85元/吨 (ui+vj)2 新的成本表 B1 B2 B3 B4 ui B1 B2 B3 B4 A1 2 1 5 3 0 A1 2 5 3 A2 -1 -2 2 0 -3 A2 2 A3 3 2 6 4 1 A3 2 4 vj 2 1 5 3

  41. cij (ui+vj)2 - = (σij)2 表中没有负数,说明已经得到最优解。但有无穷多最优解。 0

  42. 最终的运送方案 B1 B2 B3 B4 A1 10 5 A2 12 A3 13 总的运费 85元/吨

  43. 成本表 u1+v1=2 u2+v4 =1 u1+v3 =5 u3+v2 =2 u2+v1=1 u3+v3 =7 令: u1=0 u1=0 v1=2 u2=-1 v2 =0 u3 =2 v3 =5 v4 =2

  44. (ui+vj) cij σij

  45. 成本表 u1+v3=5 u2+v3 =2 u1+v5 =0 u2+v4 =1 u2+v1=1 u3+v2=2 u3+v4=4 令: u1=0 u1=0 v1=4 u2=-3 v2 =2 u3 =0 v3 =5 v4 =4 v5=0

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