1 / 38

离散数学 DISCRETE MATHEMATICS

离散数学 DISCRETE MATHEMATICS. 教师 : 石兵 Email:shibing@cs.scu.edu.cn. 二零一三. 本次课重点. 函数的定义 单射、满射和双射 ( 函数的递归定义 — 自学 ) 集合的基数. 第六章 函数. 第一节 函数的集合概念 1 、定义:设 f 是集合 X 到 Y 的一条对应规则,如 果对每个 x  X ,都有唯一的 y Y 与之对应, 则称 f 是 X 到 Y 的一个(一元)函数。一般记 为 f : X  Y 。 对应规则 f 也常叫做映射。

Download Presentation

离散数学 DISCRETE MATHEMATICS

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. 离散数学 DISCRETE MATHEMATICS 教师:石兵 Email:shibing@cs.scu.edu.cn 二零一三

  2. 本次课重点 • 函数的定义 • 单射、满射和双射 • (函数的递归定义—自学) • 集合的基数

  3. 第六章 函数 第一节 函数的集合概念 1、定义:设f是集合X到Y的一条对应规则,如 果对每个x  X,都有唯一的y Y与之对应, 则称f 是X到Y的一个(一元)函数。一般记 为 f:X  Y。 对应规则 f 也常叫做映射。 在 f 下 x 与 y 的对应习惯记为 f(x) = y。

  4. X叫做函数f 的定义域,也称为 f 的像源集。 Y叫做函数f 的值域,f(X)称为 f 的像集。 如果X=Y,就说f 是集合A上的函数。 注意:这里定义的函数满足: ①处处有定义; ② 单值。 本章中定义的函数称为全函数,如果不是 处处有定义,则称为部分函数(或偏函数)。

  5. 例如,定义域为正整数集合的映射f(n)= n/(n-3),以及复数集合上的映射h(x)= x的复根,它们都不满足这里的函数定 义。前者在n=3处无定义,因而是部分 函数;后者不满足单值条件,称为多值 函数。这种情况不纳入考虑范围。

  6. 2、函数的几个例子 例1、熟知的实数集R上的线性函数 f(x)=ax+b, 指数函数 g(x)=axn, 正实数集合R+上的对数函数 h(x)=lnx 等,都满足函数的定义。

  7. 例2、设A={a, b, c, d},定义f: A  A如下: f (a)=a, f(b)=c, f(c)=a, f(d)=c 则 f是A上的一个函数。也可以记为 f ={ (a, a), (b, c), (c, a), (d, c)}。 f 的定义域和值域都是A,f 的像集是 f(A)={a,c}。

  8. 例3、正整数集合I+上的欧拉函数  : I+I+ 满足: (n)=不超过n且与n互质的正整数个数. 根据定义,可计算出: (1)=1, (2)=1, (8)=4, (20)=8, ...

  9. 例4: 正整数集合I+上的 Fibonacci函数 f(1)=1 f(2)=2 f(n+2)=f(n+1)+f(n) (n  I+) 注意,函数的这种定义方式称为递归 定义,是计算机科学中常用的一种定 义数据对象的方式。这里的递归定义

  10. 可以看成是定义了一个序列f1,f2,f3,... (或记为(fn)),其中第一、二两式指定了这个 序列的前两个值,第三个式子称为递归公式, 用以产生序列其余的各个值。大家熟知的阶 乘定义就是这种形式: 0 !=1 n !=n  (n-1) !

  11. 3、多元函数 定义: 如果映射 f:A1  A2  ...  AnB1  B2 ...  Bt 满足对任何 (a1, a2, ...,an)  A1  A2  ...  An , 存在唯一 (b1, b2,...,bt)  B1  B2 ...  Bt 与之对应, 则称f 是一个n元函数。

  12. 例4、定义集合A的幂集2A上的二元映射 f: 2A 2A 2A如下: f(X,Y)=X Y 根据多元函数定义,f 是一个二元函数。 4、函数与关系的联系与区别 ① 一元函数 f:X  Y 是一个特殊的二元 关系:f={(x, y) f(x)=y}。

  13. ② 函数定义域中每个元素只有一个像,关 系则无限制。 ③ 关系的并、交、补、差仍是关系,而函 数的并、交、补、差则不一定是函数。 5、两个函数f 和g 相等问题 f=g 当且仅当①它们有共同的定义域和 值域; ②对定义域中任何x,f(x)=g(x) 。

  14. 6、函数的复合运算 ① 、定义:设函数f:A  B,g:B  C, 令 g f={(x, z)(y)[yB  f(x)=y  g(y)=z]}, 称 g f为函数f复合g的复合函数。 注意: 函数复合与关系复合记法的不同, 约定g f(x)=g(f(x))。

  15. ② 函数的复合满足结合律 由于函数也是关系,可以从关系的复合满 足结合律,知道函数的复合也满足结合律。 例1:设A={a, b, c, d},定义f、g: A  A 如下: f ={ (a, a), (b, c), (c, a), (d, c)}, g ={ (a, b), (b, d), (d, c), (c, a)},

  16. 则f ={ (a, a), (b, c), (c, a), (d, c)}, g ={ (a, b), (b, d), (d, c), (c, a)}, gf={(a, b), (b, a), (c, b) , (d, a)} fg ={(a, c), (b, c), (c, a), (d, a)}, f(gf) ={(a, c), (b, a), (c, c), (d, a)} (fg)f ={(a, c), (b, a), (c, c), (d, a)} ff={(a, a), (b, a), (c, a), (d, a)}。 ff f ={(a, a), (b, a), (c, a), (d, a)}。

  17. 例2:设f、g是实数集R上的函数,其中 f(x)=x2— 3x+2,g(x)=2x —5, 那么, gf (x)=g(f(x))= 2x2— 6x —1, fg (x)=f(g(x))= 4x2— 26x +42。 当f是集合A上的函数时,记f2= ff, f3= ff f ,一般,fn= fn-1 f。 特别规定 f0=IA ( 即A上的恒等函数)。 作业:习题六 1、2

  18. 第二节 单射、满射和双射 一、定义:设映射f:A  B,如果 ① 、对任何x1、x2 A,当x1x2时,必 然 f(x1) f(x2),则称f是(A到B的)单射; ②、对任何yB,都有xA使f(x)=y,则称 f 是(A到B的)满射; ③、如果 f 既是单射又是满射时,称 f 是 (A到B的)双射。

  19. “单射”表达的意义可简记为“源不同则 像不同”;“满射”表达的意义可简记为 “值域都有源”;“双射”则是“单且满”。 例1:设f、g是实数集R上的函数,其中 f(x)=x2— 4x+2,g(x)=2x —5, 由于f(x)是一个一元二次函数,其最小值为 —2,因而它不是满射;它对应的图像是一 个开口向上的抛物线,对任何 y 〉 —2,

  20. f(x)=y都有两个不同解x1和x2,因而不满足 “源不同则像不同”的条件,所以也不是 单射。 至于g(x),它是一个线性函数,对任何 y,f(x)=y都有唯一的解,因而它既是单射又 是满射,也就是双射。它对应的图像是一条 斜率为 2 的直线。 实际上,单调函数都是单射。

  21. 例2:R+到R的对数函数f(x)=lnx、R到R+的 指数函数f(x)=ex都满足单射和满射的条 件,因而都是双射。 例3:设A={a1,a2,...,an},并假定元素的 参照顺序为其下标序,则这n个元素的任 意全排列(相对于参照序)称为集合元素 的一个置换,可记为

  22.  a1 a2 ... an  =   (a1) (a2) ... (an) 由于全排列中每个元素出现一次且仅出现 一次,因而置换既是单射又是满射,也就 是双射。我们知道n个元素的全排列数目是 n!, 所以A上的不同置换也有n!个。

  23. 例如,设A={a,b,c}时,可得到如下 6个置换: a b c a b c a b c a b c a c b b a c a b c a b c a b c b c a c a b c b a 例4:集合A上的恒等函数IA是双射。 例5:(-, +)到(-/2, /2)的映射 f(x)= arctg x 是双射。

  24. 二、复合函数的单射、满射情况 定理 设映射f:A  B 和 g:B  C是 两个函数,对于复合函数g  f:A C ① 当f和g都是单射时,g  f也是单射; ② 当f和g都是满射时,g  f也是满射; ③ 当f和g都是双射时,g  f也是双射。

  25. 证明要点:对于①,假设 g  f (a1)= g  f (a2), 即g(f (a1)) = g(f (a2)), 由于g是单射,因而f (a1) = f (a2), 再由于f是单射,最后导致a1=a2。 根据定义, g  f也是单射。

  26. 对于②,设任意c C,由于g是满射, 因而存在 bB,使g(b)=c。对于这个 bB ,由于 f 也是满射,因而存在 a A,使 f(a)=b。也就是g  f (a)=c, 由c的任意性可知, g  f是满射。 ③可由 ①和 ②推得。

  27. 例4:如果f是有限集合A上的满射,证明 f 必是双射。 证明:假设A含有n个元素,如果f 不是单 射,则A中至少有两个不同元素在f下的像 相同,因而f(A)的元素个数少于n,这与f 是满射的前提矛盾。所以f 既是满射也是 单射,从而是双射。

  28. 三、函数的逆 首先注意,函数f的逆不一定是函数。例如 设f 是集合A={a, b, c, d}上的函数,定义为: f ={ (a, a), (b, c), (c, a), (d, c)}, 其逆为 g ={ (a, a), (c, b), (a, c), (c, d)}, 已不是函数。

  29. 1、定义:设函数f:A  B,如果存在函数 g:B  A使g  f=IA和f  g=IB,则称 g 是 f 的逆函数,并记为 g =f–1。 2、定理:函数 f 存在逆函数的充要条件是f 是双射。 证明要点:如果 f 有逆函数,根据定义 f 必须既是满射又是单射,所以是双射。

  30. 如果f有逆函数f–1,则f f–1=IB ,及IB (y)= = f f–1(y)=y. 设: f–1 (y)=x, 即 f(x)=y.因此,f是满射. • 假设s,t A, 使得f(s)=f(t), 那么f–1 f(s)= f–1 f(t). 因为f–1 f = IA, 即 s=t.所以,f是单射.

  31. 反过来,当f是双射时,则定义域和值域的 元素具有双向的一一对应,故存在逆函数。 例5: f ={ (a, a), (b, c), (c, d), (d, b)}是集合 A={a, b, c, d}上的双射函数,它的逆函数是 f–1 ={ (a, a), (c, b), (b, d), (d, c)}。 例6:R+到R的对数函数f(x)=lnx和R到R+的 指数函数f(x)=ex都是双射,它们互为逆函数。

  32. 3、定理 如果f是双射,则(f–1)–1 = f。 其证明是明显的。 4、定理: 如果f和g都是双射,则 (gf)–1 = f–1  g–1 证明:假设f:A  B, g:B  C,则 gf :A  C。根据已知,f–1 、 g–1、 (gf)–1和gf都是双射,且

  33. (gf)(f–1  g–1 )= (g(ff–1) g–1 ) = (gIB g–1 ) = g  g–1= IC。 同样(f–1  g–1) (gf) = (f–1(g–1 g) f) = (f–1IB f ) = f–1 f= IA。 根据定义, (gf)–1 = f–1  g–1。 作业:习题六 7,8,9

  34. 第四节 集合的基数简介 一、集合间的等势 1、定义:如果存在从集合A到集合B的双 射,则称A和B等势,并记为A  B。 2、定理:等势是集合族上的等价关系。 证明要点:自反性可由恒等映射说明;对 称性可由双射函数的逆是双射说明;至于 传递性可由双射函数的复合也是双射说明。

  35. 3、有限集的等势与无限集等势的区别 ① 两个有限集合等势当且仅当它们的元素 个数相等。 由双射的一 一对应得出。 ② 无限集可以与它的真子集等势。 例1:I是整数集合,设2I是偶数集合,显然 2I I。可以构造映射f:I 2I,使得对任 意xI,f(x)=2x。那么f是双射,因此I  2I。

  36. 例2:R是实数集合,(0, 1)是实数开区间, 显然(0, 1)  R。构造映射f:R (0, 1), 使得对任意xR,f(x)= 1/2+(arctgx)/ 。 那么f是双射,因此R  (0, 1)。 二、集合的基数 1、有限集合A的基数就是集合A的元素个 数,并记为|A|。

  37. 例如:由英文小写字母组成的集合L是有限 集,且|L|=26。 2、非有限集合X的基数是与之等势的集合族 的一种属性描述,记为card(X)。 3、自然数集N的基数规定为card(N)= 0。 4、凡与自然数集N等势的集合,其基数都是 0。包括整数集合、有理数集合。

  38. 5、实数集合R与自然数集N不等势,其基数 称为。 已知的基数的大小可以排列如下: 0<1<2<3<...< 0 <  6、没有最大的基数。 因为对任何集合X,card(X) < card(2X)。 作业:习题六 18

More Related