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离散数学 DISCRETE MATHEMATICS. 教师 : 石兵 Email:shibing@cs.scu.edu.cn. 二零一三. 本次课重点. 函数的定义 单射、满射和双射 ( 函数的递归定义 — 自学 ) 集合的基数. 第六章 函数. 第一节 函数的集合概念 1 、定义:设 f 是集合 X 到 Y 的一条对应规则,如 果对每个 x X ,都有唯一的 y Y 与之对应, 则称 f 是 X 到 Y 的一个(一元)函数。一般记 为 f : X Y 。 对应规则 f 也常叫做映射。
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离散数学 DISCRETE MATHEMATICS 教师:石兵 Email:shibing@cs.scu.edu.cn 二零一三
本次课重点 • 函数的定义 • 单射、满射和双射 • (函数的递归定义—自学) • 集合的基数
第六章 函数 第一节 函数的集合概念 1、定义:设f是集合X到Y的一条对应规则,如 果对每个x X,都有唯一的y Y与之对应, 则称f 是X到Y的一个(一元)函数。一般记 为 f:X Y。 对应规则 f 也常叫做映射。 在 f 下 x 与 y 的对应习惯记为 f(x) = y。
X叫做函数f 的定义域,也称为 f 的像源集。 Y叫做函数f 的值域,f(X)称为 f 的像集。 如果X=Y,就说f 是集合A上的函数。 注意:这里定义的函数满足: ①处处有定义; ② 单值。 本章中定义的函数称为全函数,如果不是 处处有定义,则称为部分函数(或偏函数)。
例如,定义域为正整数集合的映射f(n)= n/(n-3),以及复数集合上的映射h(x)= x的复根,它们都不满足这里的函数定 义。前者在n=3处无定义,因而是部分 函数;后者不满足单值条件,称为多值 函数。这种情况不纳入考虑范围。
2、函数的几个例子 例1、熟知的实数集R上的线性函数 f(x)=ax+b, 指数函数 g(x)=axn, 正实数集合R+上的对数函数 h(x)=lnx 等,都满足函数的定义。
例2、设A={a, b, c, d},定义f: A A如下: f (a)=a, f(b)=c, f(c)=a, f(d)=c 则 f是A上的一个函数。也可以记为 f ={ (a, a), (b, c), (c, a), (d, c)}。 f 的定义域和值域都是A,f 的像集是 f(A)={a,c}。
例3、正整数集合I+上的欧拉函数 : I+I+ 满足: (n)=不超过n且与n互质的正整数个数. 根据定义,可计算出: (1)=1, (2)=1, (8)=4, (20)=8, ...
例4: 正整数集合I+上的 Fibonacci函数 f(1)=1 f(2)=2 f(n+2)=f(n+1)+f(n) (n I+) 注意,函数的这种定义方式称为递归 定义,是计算机科学中常用的一种定 义数据对象的方式。这里的递归定义
可以看成是定义了一个序列f1,f2,f3,... (或记为(fn)),其中第一、二两式指定了这个 序列的前两个值,第三个式子称为递归公式, 用以产生序列其余的各个值。大家熟知的阶 乘定义就是这种形式: 0 !=1 n !=n (n-1) !
3、多元函数 定义: 如果映射 f:A1 A2 ... AnB1 B2 ... Bt 满足对任何 (a1, a2, ...,an) A1 A2 ... An , 存在唯一 (b1, b2,...,bt) B1 B2 ... Bt 与之对应, 则称f 是一个n元函数。
例4、定义集合A的幂集2A上的二元映射 f: 2A 2A 2A如下: f(X,Y)=X Y 根据多元函数定义,f 是一个二元函数。 4、函数与关系的联系与区别 ① 一元函数 f:X Y 是一个特殊的二元 关系:f={(x, y) f(x)=y}。
② 函数定义域中每个元素只有一个像,关 系则无限制。 ③ 关系的并、交、补、差仍是关系,而函 数的并、交、补、差则不一定是函数。 5、两个函数f 和g 相等问题 f=g 当且仅当①它们有共同的定义域和 值域; ②对定义域中任何x,f(x)=g(x) 。
6、函数的复合运算 ① 、定义:设函数f:A B,g:B C, 令 g f={(x, z)(y)[yB f(x)=y g(y)=z]}, 称 g f为函数f复合g的复合函数。 注意: 函数复合与关系复合记法的不同, 约定g f(x)=g(f(x))。
② 函数的复合满足结合律 由于函数也是关系,可以从关系的复合满 足结合律,知道函数的复合也满足结合律。 例1:设A={a, b, c, d},定义f、g: A A 如下: f ={ (a, a), (b, c), (c, a), (d, c)}, g ={ (a, b), (b, d), (d, c), (c, a)},
则f ={ (a, a), (b, c), (c, a), (d, c)}, g ={ (a, b), (b, d), (d, c), (c, a)}, gf={(a, b), (b, a), (c, b) , (d, a)} fg ={(a, c), (b, c), (c, a), (d, a)}, f(gf) ={(a, c), (b, a), (c, c), (d, a)} (fg)f ={(a, c), (b, a), (c, c), (d, a)} ff={(a, a), (b, a), (c, a), (d, a)}。 ff f ={(a, a), (b, a), (c, a), (d, a)}。
例2:设f、g是实数集R上的函数,其中 f(x)=x2— 3x+2,g(x)=2x —5, 那么, gf (x)=g(f(x))= 2x2— 6x —1, fg (x)=f(g(x))= 4x2— 26x +42。 当f是集合A上的函数时,记f2= ff, f3= ff f ,一般,fn= fn-1 f。 特别规定 f0=IA ( 即A上的恒等函数)。 作业:习题六 1、2
第二节 单射、满射和双射 一、定义:设映射f:A B,如果 ① 、对任何x1、x2 A,当x1x2时,必 然 f(x1) f(x2),则称f是(A到B的)单射; ②、对任何yB,都有xA使f(x)=y,则称 f 是(A到B的)满射; ③、如果 f 既是单射又是满射时,称 f 是 (A到B的)双射。
“单射”表达的意义可简记为“源不同则 像不同”;“满射”表达的意义可简记为 “值域都有源”;“双射”则是“单且满”。 例1:设f、g是实数集R上的函数,其中 f(x)=x2— 4x+2,g(x)=2x —5, 由于f(x)是一个一元二次函数,其最小值为 —2,因而它不是满射;它对应的图像是一 个开口向上的抛物线,对任何 y 〉 —2,
f(x)=y都有两个不同解x1和x2,因而不满足 “源不同则像不同”的条件,所以也不是 单射。 至于g(x),它是一个线性函数,对任何 y,f(x)=y都有唯一的解,因而它既是单射又 是满射,也就是双射。它对应的图像是一条 斜率为 2 的直线。 实际上,单调函数都是单射。
例2:R+到R的对数函数f(x)=lnx、R到R+的 指数函数f(x)=ex都满足单射和满射的条 件,因而都是双射。 例3:设A={a1,a2,...,an},并假定元素的 参照顺序为其下标序,则这n个元素的任 意全排列(相对于参照序)称为集合元素 的一个置换,可记为
a1 a2 ... an = (a1) (a2) ... (an) 由于全排列中每个元素出现一次且仅出现 一次,因而置换既是单射又是满射,也就 是双射。我们知道n个元素的全排列数目是 n!, 所以A上的不同置换也有n!个。
例如,设A={a,b,c}时,可得到如下 6个置换: a b c a b c a b c a b c a c b b a c a b c a b c a b c b c a c a b c b a 例4:集合A上的恒等函数IA是双射。 例5:(-, +)到(-/2, /2)的映射 f(x)= arctg x 是双射。
二、复合函数的单射、满射情况 定理 设映射f:A B 和 g:B C是 两个函数,对于复合函数g f:A C ① 当f和g都是单射时,g f也是单射; ② 当f和g都是满射时,g f也是满射; ③ 当f和g都是双射时,g f也是双射。
证明要点:对于①,假设 g f (a1)= g f (a2), 即g(f (a1)) = g(f (a2)), 由于g是单射,因而f (a1) = f (a2), 再由于f是单射,最后导致a1=a2。 根据定义, g f也是单射。
对于②,设任意c C,由于g是满射, 因而存在 bB,使g(b)=c。对于这个 bB ,由于 f 也是满射,因而存在 a A,使 f(a)=b。也就是g f (a)=c, 由c的任意性可知, g f是满射。 ③可由 ①和 ②推得。
例4:如果f是有限集合A上的满射,证明 f 必是双射。 证明:假设A含有n个元素,如果f 不是单 射,则A中至少有两个不同元素在f下的像 相同,因而f(A)的元素个数少于n,这与f 是满射的前提矛盾。所以f 既是满射也是 单射,从而是双射。
三、函数的逆 首先注意,函数f的逆不一定是函数。例如 设f 是集合A={a, b, c, d}上的函数,定义为: f ={ (a, a), (b, c), (c, a), (d, c)}, 其逆为 g ={ (a, a), (c, b), (a, c), (c, d)}, 已不是函数。
1、定义:设函数f:A B,如果存在函数 g:B A使g f=IA和f g=IB,则称 g 是 f 的逆函数,并记为 g =f–1。 2、定理:函数 f 存在逆函数的充要条件是f 是双射。 证明要点:如果 f 有逆函数,根据定义 f 必须既是满射又是单射,所以是双射。
如果f有逆函数f–1,则f f–1=IB ,及IB (y)= = f f–1(y)=y. 设: f–1 (y)=x, 即 f(x)=y.因此,f是满射. • 假设s,t A, 使得f(s)=f(t), 那么f–1 f(s)= f–1 f(t). 因为f–1 f = IA, 即 s=t.所以,f是单射.
反过来,当f是双射时,则定义域和值域的 元素具有双向的一一对应,故存在逆函数。 例5: f ={ (a, a), (b, c), (c, d), (d, b)}是集合 A={a, b, c, d}上的双射函数,它的逆函数是 f–1 ={ (a, a), (c, b), (b, d), (d, c)}。 例6:R+到R的对数函数f(x)=lnx和R到R+的 指数函数f(x)=ex都是双射,它们互为逆函数。
3、定理 如果f是双射,则(f–1)–1 = f。 其证明是明显的。 4、定理: 如果f和g都是双射,则 (gf)–1 = f–1 g–1 证明:假设f:A B, g:B C,则 gf :A C。根据已知,f–1 、 g–1、 (gf)–1和gf都是双射,且
(gf)(f–1 g–1 )= (g(ff–1) g–1 ) = (gIB g–1 ) = g g–1= IC。 同样(f–1 g–1) (gf) = (f–1(g–1 g) f) = (f–1IB f ) = f–1 f= IA。 根据定义, (gf)–1 = f–1 g–1。 作业:习题六 7,8,9
第四节 集合的基数简介 一、集合间的等势 1、定义:如果存在从集合A到集合B的双 射,则称A和B等势,并记为A B。 2、定理:等势是集合族上的等价关系。 证明要点:自反性可由恒等映射说明;对 称性可由双射函数的逆是双射说明;至于 传递性可由双射函数的复合也是双射说明。
3、有限集的等势与无限集等势的区别 ① 两个有限集合等势当且仅当它们的元素 个数相等。 由双射的一 一对应得出。 ② 无限集可以与它的真子集等势。 例1:I是整数集合,设2I是偶数集合,显然 2I I。可以构造映射f:I 2I,使得对任 意xI,f(x)=2x。那么f是双射,因此I 2I。
例2:R是实数集合,(0, 1)是实数开区间, 显然(0, 1) R。构造映射f:R (0, 1), 使得对任意xR,f(x)= 1/2+(arctgx)/ 。 那么f是双射,因此R (0, 1)。 二、集合的基数 1、有限集合A的基数就是集合A的元素个 数,并记为|A|。
例如:由英文小写字母组成的集合L是有限 集,且|L|=26。 2、非有限集合X的基数是与之等势的集合族 的一种属性描述,记为card(X)。 3、自然数集N的基数规定为card(N)= 0。 4、凡与自然数集N等势的集合,其基数都是 0。包括整数集合、有理数集合。
5、实数集合R与自然数集N不等势,其基数 称为。 已知的基数的大小可以排列如下: 0<1<2<3<...< 0 < 6、没有最大的基数。 因为对任何集合X,card(X) < card(2X)。 作业:习题六 18