1 / 28

CAMPOS VECTORIALES

CAMPOS VECTORIALES. DEFINICIÓN DOMINIO . REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA OPERACIONES LIMITES Y CONTINUIDAD DERIVACIÓN Y DIFERENCIACIÓN EL OPERADOR «NABLA» DIVERGENCIA Y ROTACIONAL CAMPOS CONSERVATIVOS ROSA N. LLANOS VARGAS. CAMPOS VECTORIALES.

cade
Download Presentation

CAMPOS VECTORIALES

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. CAMPOS VECTORIALES DEFINICIÓN DOMINIO . REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA OPERACIONES LIMITES Y CONTINUIDAD DERIVACIÓN Y DIFERENCIACIÓN EL OPERADOR «NABLA» DIVERGENCIA Y ROTACIONAL CAMPOS CONSERVATIVOS ROSA N. LLANOS VARGAS

  2. CAMPOS VECTORIALES Definición.- Sean los subconjuntos no vacíos A y B , A , una función vectorial , F, talque a cada vector de A le hace corresponder a lo más un vector de B , y = F(). Simbólicamente, F: A = F( )= ( …, ) Donde cada función componente es DOMINIO. F se llama CAMPO VECTORIAL. Los campos vectoriales reciben nombres de acuerdo a la interpretación física de los vectores que lo constituyen ,asi puede tenerse un campo de velocidades, de fuerzas, gravitatorio o eléctrico.

  3. Geométricamente F representa un campo de vectores. Ejemplo . Represente gráficamente el campo vectorial definido por: F : → / F ( x, y ) = ( − y, x ) Solución Para representar este campo vectorial se evaluará algunos puntos ( x, y ) en la función F ( x, y ) , como por ejemplo Punto Vector (1,1) F(1,1)= ( −1,1) (-1,1) F ( −1,1) = ( −1, −1) (-1,-1) F ( −1, −1) = (1, −1) (1,-1) F (1, −1) = (1,1) . Luego tomamos, el primer vector resultante (-1,1) teniendo como punto inicial al punto (1,1); procediendo con los otros vectores se obtiene la representación gráfica del campo FIg-.1 vectorial que se muestra en la Figura 1.

  4. Si se requiere tener una representación con mayor cantidad de vectores de estos campos Vectoriales computarizados, obteniéndose representaciones como las que se muestran en las Figuras, puede recurrirse a calculadores graficadores o programas Computacionales OPERACIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD Con campos vectoriales se puede calcular la suma, diferencia, producto por una función escalar, el producto escalar

  5. Algunas propiedades 1. 2. 3.

  6. DERIVACIÓN . Sea es diferenciable en a si F está definida en una Vecindad V( a, ) y existe una matriz A mxn de orden mxn , talque para todo a+h en V, Se cumple F(a+h) = F(a) + Amxnhnx1 + g(x,h) . Donde g(x,h) 0 , si h 0 A = DF(a) , dF(a,h) = A mxn h nx1 PROPOSICIÓN. La función es diferenciable en el punto a de su dominio si Y solo si cada una de las funciones componentes de F es diferenciable en a. F= … , Llamada Matriz jacobiana de F

  7. Teorema. Si F y G son campos vectoriales definidos y diferenciables sobre un dominio común D, y si X es un elemento en D, entonces D(F + G ) = DF + DG D(F . G )= F . DG + (DF) . G D(F x G) = F x DG + (DF) x G D(φ F) = φ DF + (Dφ)F , donde φ : R → R LA COMPOSICIÓN DE CAMPOS VECTORIALES Sean G : ; F : entonces (X) = F( …, Si U = ( …, entonces (X) = ( …,

  8. TEOREMA. A) Si G : es continua en A y si F : es continua en G(A), Entonces B) Si G : , y si de acumulación de Dom(FoG) , entonces

  9. TEOREMA. Si G : es diferenciable en D , siendo D un subconjunto abierto de y si F : D(FoG) = DF[G(X)] DG(X) = F’ [G(X)]G’(X) D(FoG) =

  10. DERIVADA DIRECCIONAL : de un campo vectorial F con respecto al vector v en el punto a es el vector denotado por : Ejemplo . Derivar y diferenciar F(x,y,z) = ( x sen y + cosz, x 2)F(x,y, z ) = 3) F(x , y ) = ( xcos(xy) ,

  11. EL OPERADOR DIFERENCIAL «NABLA» : ∇. ∇=( , de modo que si 1. GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR f es un campo escalar , entonces ∇f = 2.LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL. F(X,Y,Z) = ( ∇. F = ∇. F = Div(F)

  12. La notación de producto escalar utilizada para la divergencia proviene de considerar a como un operador diferencial en el siguiente sentido: De donde, + +

  13. INTERPRETACION . La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante Y el flujo saliente de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control; por tanto, si el campo tiene «fuentes» y « sumideros», la Divergencia de dicho campo será diferente de cero. Si F representa el flujo de un fluido, su divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Si div(F) < 0 , el campo se está comprimiendo, posee «sumideros» Si div(F) >0 , el campo se está expandiendo , posee «fuentes» Si div(F) =0 , el campo es incompresible Conforme el fluido se mueve el volumen (área) de control se comprime , expande O queda igual .

  14. 3. EL ROTACIONAL • En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es una operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. • El rotacional de un campo vectorial se define como la capacidad de un vector de rotar alrededor de un punto.

  15. Si F = Pi+Qj + Rk es un campo vectorial de y existen todas • las derivadas parciales de P , Q , R entonces el rotacional de • F es el campo vectorial definido por: • + • Por otro lado si se considera • tambien se tendrá • =+ • = rotF

  16. PROPIEDADES DEL OPERADOR « ∇» Sean F y G dos campos vectoriales y un campo escalar 1. ∇x (F ± G) = ∇xF ± ∇xG 2. ∇x (k F) = k ∇x F, k 3. ∇x (F) = (∇x F + () 4. ∇. ( F) = (∇. F + () 5. Div(F x G ) = G. rotF - F. rotG ; es decir: ∇. (F x G )= G. (∇ x F ) – F . (∇ x G)

  17. EL OPERADOR LAPLACIANO 1) Sea f : Luego, = (se llama «Operador Laplaciano» 2)Si F: es un campo vectorial talque F(x,y,z )=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)), entonces = (,,)

  18. CAMPOS CONSERVATIVOS. • El campo vectorial F es conservativo si existe una función escalar f tal que • Se llama «función potencial» • Si F ( x,y) = ( P(x,y) , Q( x, y )) es conservativo si • Si F(x, y, z ) = ( P(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z) ) es conservativo si rot (F) = 0 • comprobar si Fes conservativo y hallar la función potencial en caso de serlo. • F(x,y ) = • 2)F(x,y)= xzi + xyz j - • 3) F(x,y,z) = (2xy , , 2zy) • Solución 1) • Luego F es conservativo

  19. Debe hallarse la función potencial , existe un campo escalar f , talque , es decir Integrando 1) con respecto a x , se tiene, f(x,y)= f(x,y)= Derivando miembro a miembro 3) con respecto a y, e igualando a 2), resulta, Simplificando, queda Integrando ambos miembros con respecto a y , se obtiene; g(y) = Reemplazando 4) en 3) f(x,y)= + C , es la función potencial.

  20. Ejemplo 2. Si F = xzi + xyz j - ; hallar rot F Solución = =+ = (-2y - xy) i - (0 – x ) j + (yz – 0 ) k El campo no es conservativo Ejemplo 3.F(x,y,z)= (2xy, , 2zy) Rot(F)= + = ( 2x , 0 , 0 ) Luego el campo no es conservativo

  21. Ejemplo 3.determinar si el campo vectorial definido por F(x,y,z)= (2xy , +2yz, ) es un campo conservativo Solución El campo es conservativo si rot(F = 0 . Rot(F) = = ( 2y-2y , 0 , 2x-2x )= ( 0 , 0 , 0) ; entonces el campo es conservativo. Existe una función escalar f tal que Integrando ambos miembros de 1) con respecto a x, resulta f(x,y,z) = Derivando f con respecto a y e igualando con 2) Integrando ambos miembros de la última ecuación con respecto a y, resulta h(y,z) = Derivando con respecto a z e igualando a 3), se tiene, h(y,z)= + C ; luego de reemplazar en 4) , tendremos la función potencial f(x,y,z) =

More Related