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MATEMÁTICA

MATEMÁTICA. Progressão Geométrica. Prof. MANUEL. Razão : q = a 2 = a 3 = ... = K a 1 a 1. Razão: q = 4 = 8 = 16 = 2 2 4 8. PG  Progressão Geométrica. xq. xq. xq. (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ...). Ex: (2, 4, 8, 16, ... ).

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Presentation Transcript

  1. MATEMÁTICA Progressão Geométrica Prof. MANUEL

  2. Razão : q = a2 = a3 = ... = K • a1 a1 Razão: q = 4 = 8 = 16 = 2 2 4 8 PG  Progressão Geométrica xq xq xq (a1, a2, a3, a4...) Ex: (2, 4, 8, 16, ... )

  3. 2) Fórmula Geral: a2 = a1.q a3 = a2.q = a1.q.q = a1.q2 a4 = a3.q = a1.q2.q = a1.q3 an= a1 . qn-1 an= ab . qn-b  x2 Ex: (2, 4, 8, 16, ... ) an=ab.qn-b a1 a2 a3 a4 Calcule a6=? a6=a3.q6-1 a3=8 a6=8.25 = 8.32 = 256 R=2

  4. Sn= a1.(qn-1) q-1 S5= a1.(q5-1) = 2.(25-1) = 2.(32-1) q-1 2-1 1 a1 a2 a3 a4 a5 3) (2, 4, 8, 16, 32, ... ) PG q = 2 S5= a1+a2+a3+a4+a5 S5= 2+4+8+16+32 = 62  Soma Limitada Ex: S5= 2 . 31 = 62

  5. X1/2 S = a1 1- q S = 1 = 1 = 2 1-1/2 1/2 8 8 xq=2 4) Ex: (2, 4, 8) (a1, a2, a3) (a2/q, a2, a2.q) (4/2, 4, 4.2) 5)(1, ½, ¼, 1/8, ... ) 0 X1/2 X1/2 1+1/2+1/4+1/8+ ... Soma ilimitada

  6. 1) q=a2=a3= ... = K (razão) a1 a2 Sn=(a1+an).n 2 Sn=a1(qn-1) q-1 5) S = a1 1-q 8 +R xq P.A. (a1, a2, a3, ... ) P.G. (a1, a2, a3, ... ) 1)R=a2-a1=a3-a2= ... = K(razão) 2) Fórmula: an=ab+(n-b).R 2) Fórmula: an=ab.qn-b 3) Soma dos termos: 3) Soma dos termos: • (a1, a2, a3) • (x-R, x, x+R) • (a1, a2, a3) • (x/q, x, x.q)

  7. x1/2 x(-2) +2 +(-2) x2 NOTA!!! (2, 4, 6, 8, 10, 12, ... ) P.A. (R=2)  Crescente (R>0) (4, 2, 0, -2, -4, ... ) P.A. (R=-2)  Decrescente (R<0) (2, 4, 8, 16, 32, ... ) P.G. (q=2)  Crescente. (2, 1, ½, ¼, 1/8, ... ) P.G. (q=1/2)  Decrescente (2, -4, 8, -16, 32, ... ) P.G. (q=-2)  Alternante

  8. Sn=a1(qn-1) q-1 DEMONSTRAÇÃO:

  9. Sn=(a1.qn-1).q1-a1 q-1 Sn=a1.qn- a1 q-1 Sn=a1(qn- 1) q-1 an=a1.qn-1

  10. 1, 333... = P = 1 3 = 1 1 = 4 9...9 9 3 3 + x + 1, 4242... = P = 1 42 = 1 14 = 47 9...9 99 33 33 x DIZIMA PERIÓDICA D. P. Simples

  11. 1,2333 ... = 1,2333 ... x10=12, 333 ... 1 x1010 + x = 12 3= 12 1= 37 93 3 10 1010 = 37 . 1= 37 3 1030 D. P. Composta

  12. Nota: 1,999 ... ~ = 2 1,5999 ... ~ = 1,6

  13. S = a1 1-q 8 x0,1 S3= a1(0,13-1) = a1(0,001-1) q-1 q-1 S20= a1(0,120-1) = a1(0,00000000000000000001-1) q-1 q-1 S = a1(0,1 –1) = a1(0-1) q-1 q-1 S = a1 S = -a1 x(-1) = a1 8 1-q q-1 x(-1) 1-q Demonstração 1,333 ... = 1 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ... 8 8 8

  14. a)V2 / 2 b)V2 c)V3 d)5/2 e)7/2 6 +-V(1/2)3 = q 2 +-V1/2 = q +-V1 . V2 = q V2 V2 6 +-V1/8 = q +- V2 / 2 = q EXERCÍCIOS: 01.(UCS-98/1) Numa P.G. decrescente, se o primeiro termo é 24 e o sétimo é 3, a razão é: P.G. - decrescente a1=24 a7=3 q=? an=ab.qn-b a7=a1.q7-1 3=24.q6 1=8.q6

  15. x2 x2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 8 2 • 4 2 • 2 2 • 1 02.(UNEB-98) O número de termos da P.G (1/4, ½, 1, ... , 256) é: Obs: A ordem do último termo representa o nº de termos da sequência. (1/4, ½, 1, ... ,256) a)8 b)9 c)10 d)11 e)12 a1 a2 a3 an an=ab.qn-b an=a3.qn-3 256=1.2n-3 28=2n-3 n-3=8 n=11  11 termos

  16. X0,95 03.(UEFS-98) Um homem de 100 Kg começou uma dieta no dia 01/03. Pesando-se a cada 30 dias e registrando o seu peso em uma tabela, conforme ilustração abaixo, observou-se que, ao final de cada 30 dias, perdia 5% do peso registrado anteriormente. P6=? (100, 95, ...) a)100(0,05)4 b)100(0,05)5 c)100(0,50)4 d)100(0,95)4 e)100(0,95)5 Nota 5%= 5/100= 0,05 1-0,05  0,95 a6=a1.q6-1 a6=100.0,955

  17. 100 a)1/ V2 b)1/ V2 c)1/ 2999 d)1/ 2100 e)1/ 299 10 10 a1001=1.( V1/2)990 90 V 1/ 512 = q 90 V(1/2)9= q 04.(UCS-98/2) Em uma P.G. decrescente, o décimo-primeiro termo é 1 e o centésimo-primeiro termo é 1/512. O milésimo-primeiro termo dessa progressão é: a1001=a11.q1001-11 an=ab.qn-b a101=a11.q101-11 a1001=1.q990 1/ 512=1.q90 a1001= (1/2)99 10 a1001= 1/ 299

  18. =64-4.3(-3) =100 -b+-V 3 2a a2=V216 6q2=16q+6 q=8+-10 3 q a2=V23.33 = 6 6 05.(UCS-99) O produto de três termos de uma Progressão Geométrica crescente é 216. Se o terceiro termo é igual à soma 10 com os outros dois termos, então a razão desta progressão é: a1.a2.a3=216 a3=10+a1+a2 q=? (a1, a2, a3) a3=10+a1+a2 a)6 b)5 c)4 d)3 e)2 a2/q a2 a2.q 6q=10+6/q+6 a2/q .a2. a2.q=216 6q/1=16/1+6/q a23=216 6q2-16q-6=0 /2 (a1, a2, a3) q=-1/3 ou 3q2-8q-3=0 6/q 6 6.q q=3

  19. 5+5q+5q2=31q q =(-26)-4(5).(5) =576 x=-26+-24 10 06.(BAIANA-99) A soma dos três termos de um PG crescente é 31 e o produto deles é 125. A razão desta progressão é: a1+a2+a3=31 a1.a2.a3=125 5/q+5/1+5q/1=31/1 a)5 b)7/2 c)5/2 d)2 e)5/4 (a1, a2, a3) 5q2+5q-31q+5=0 a2/q a2 a2.q 5q2-26q+5=0 a2/q.a2.a2.q=125 a23=125 a2=5 x=0,2 ou x=5

  20. x2 0 1h 2h 3h 4h 5h 6h x = 3.212 = 128 27 x = 3.25 = 3.32 = 96 128 07.(UFBA-adaptada) Cetro tipo de bactéria se reproduz, dividindo-se em duas, de meia em meia hora. Se isto se sucede simultaneamente a três bactérias, em 6 horas haverá x bactérias. Calcule x/128. a13 3.212-7 3, 6, 12, 24 a13=a1.q13-1 a13=3.212=x

  21. +4 X2/5 (x-1)/2 = 4/x x (x-1)/2 08.(FABAC-98) Os números positivos x, (x-1)/2, 4/x formam, nesta ordem, uma P.G. Se x é o primeiro termo de uma P.A. de razão igual a 4, então o 5º termo da P.A. é igual a: (x, (x-1)/2, 4/x, ... ) PG Se os nº são positivos x=5 a)5 b)10 c)16 d)21 e)25 PG (5, (5-1)/2, 4/5, ... ) a2/a1=a3/a2 (5, 2, 4/5, ... ) PA (5, a, 13, ... ) ((x-1)/2).((x-1)/2)=x.4/x a5=a1+(5-1)R (x-1)2/4=4 (x-1)2=16 a5=5+4.4 x=5 x-1=+-4 a5=5+16 = 21 x=-3

  22. S7=a1(q7-1) q-1 S7=1/64 (27-1) 2-1 S7=1/64 (128-1) 1 09.(UESB-98) O sétimo termo de uma PG, de razão 2, é igual a 1. A soma dos sete primeiros termos dessa progressão é igual a: Sn=a1(qn-1) an=ab.qn-b a7=1 q=2 a)1/63 b)6/17 c)116/17 d)136/13 e)127/64 a7=a1.q7-1 1=a1.26 1/64=a1 S7=127/64

  23. S = a1 8 1-q 18= x 1-1/2 18= x 1/2 10.(FEBA-98) A solução da equação x+x/2+x/4+...=18 é: (x, x/2, x/4, ... ) PG a)múltiplo de 2 b)divisor de 3 c)um nº primo d)múltiplo de 3 e)divisor de 6 18.1/2=x x=9

  24. X1/2 11. (UCS-85) Quantos são os nº naturais que satisfazem a inequação: x-2 + x-2 + x-2 + ... < 3? 2 4 8 x-2 + x-2 + x-2 + ... < 3 2 4 8 S = a1 = (x-2)/2 < 3 8 1-q 1-1/2 (x-2)/2 < 3 x-2 . 2 < 3 1/2 2 1 0 1 2 3 4 a)infinitos b)1 c)2 d)3 e)5 x < 5 x-2 < 3 05 nºs

  25. X1/2 4 2+1+1/2+1/4+ ... = S = a1 P = 9 . 3V3 . V3 ... 8 1-q S = 2 8 1-1/2 S = 2 8 1/2 S = 2.2 = 4 8 1 12.Seja P = 9 . 3V3 . V3 ... Quando o número de fatores tende ao infinito, o valor limite desse produto é: P = 32 . 31. 31/2 . 31/4 ... P = 32+1+1/2+1/4... = 34 P = 3.3.3.3 = 81

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